Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 63
Текст из файла (страница 63)
4 Выбор регуляризатора Р как для двухслойных, так и для трехслойных схем проводится по одному и тому же принципу. Важно отметить, что одним и тем же регуляризатором Р можно пользоваться для различных операторов А, Рассмотрим задачу (12) с операторами (23) (пример 1). В этом случае Рау= — ОсеЛеу Леу=у., 4о>1+е, е>0, еааа Лу= ~ (аауе ), Ау= — Лу. Оператор А = А(1) липшиц-непрерывен, если ((й ),~ е.'.сей„. При решении системы разностных уравнений (52) можно воспользоваться алгоритмом В,твтн = — Е, х~ а„, твттт =В2Рт пРи х, =О, 1„ Взтиит топи хааа твтм 122 при хе=0, 12, Ут ы — )тт+ ттвтеи где Ва = Е + 2тРа Š— 2тос.Л„.
гл. ще экОнОмичные РАзностные схемь! Для задачи (26) оператор Е аппроксимируем разностным оператором (см. гл. 1Ч, й 2): Р ЛЯу= 0,5 ~ ~(lг, (х, г)у„) +(й, (х,1)у„) Ау= — Л(1) у. Операторы )т„— те же, что и для предыдущей задачи, 11 — ~)1, Еу — — осЛу Лу у а=~ Липшиц-непрерывность оператора А в Н = йа обеспечивается требованиями Р Р ) (Йаа)~ ) ~ (СМ С~ Х,~ $<~ 'аа 2~~ аа (Х~ 1) Еаза а Са ~Х~~ а ~ аа~ а где се)~ с~ ) О, са ) О. Аналогично проводится построение факторизованной схемы для исходной схемы вида Р (Е + ™) уи + Ау = ~р Рассмотрим конкретный пример. Для уравнения гиперболического типа в прямоугольнике 0 = (О ~ (ха ~ ~1а~ и = 1~ 2)' —;=(Е,+Е,)и+~(х), Ьаи= — ", хен 6, 1ен(0, Т) ха да! и ! - р, и (х, 0) = и,(х), — ! = йа(х), х еи О, и!,, выберем исходную схему с весами уи=Л(оу+(1 — 2о)у+оу)+~р, 1 1т, 1 1, 2, ..., Л=Л,+Л, Л у у, 4о~~1+ У!т=и, У(х, 0)=и,(х), У,(х, 0)=йа(х)=й,+0,бтра.и,+1(х,о)), Записываем эту схему в каноническом виде (Š— отеЛ) у, Лу+ ~р (56) и переходим от нее к экономичной факторизованной схеме, например, (Š— от'Л,) (Š— от'Л,) у, = Лу + ~р.
(57) э г. экономнчные ФАктогизОВАнные схемы 381 Если исходную схему записать иначе (Š— отгЛ) у, Р', Е = (Š— отгЛ) у, + т (Лу+ ф), факторизации получим экономичную факторизованную то после схему (Š— отгЛ,)(Š— отгЛ )у, =Е илн (Š— от'Л-т — Л,Лг) ун + о'т'Л, Л,у. = Лу + ф, (58) Обе полученные факторизованные схемы (57) и (58) имеют второй порядок точности по т при любом о и устойчивы при 4о.'-1+ е. Нетрудно построить экономичные факторнзованные схемы для случая, когда Ь„определяется формулой (23).
В этом случае в качестве исходной выбираем схему (Е + тг)т) уп = Лу+ ф, где йг — — йг+ 0,5т(Ли+1) 1,, Эта схема абсолютно устойчива и имеет второй порядокточности по т и 1Ь!. 6. Схема повышенного порядка точности для уравнения параболического типа с эллиптическим оператором, содержащим смешанные производные, Пусть О = (О 4х, (1а, и = 1, 2)— прямоугольник с границей Г.
Рассмотрим в цилиндре Ы )С 10 а 1 < Т) ПЕрВуЮ КраЕВув ЗадаЧу дпя ПарабОЛИЧЕСКОГО уравнения ~, =Си+1(х, 1), хеи О, 0<1(Т, и(х, 1)=р(х, 1), хепГ, 0(1(Т, и (х, О) = иг(х), х ен 6, (59) где г Лу= ~ч'., (а,уг '), Яу= — оЛу, Лу=у, +у,, а Параметр о выберем так, чтобы выполнялось условие устой- 1 чивости Яу, у)~ )4 ( — Лу, у) при любом уенй, где гз — мно- жество функций, заданных на гвл и равных нулю на границе сет- ки уь.
Для этого, очевидно, достаточно положить о = сг/4. Заменяя оператор Е+ тг(Е, + Яг) факторизованным опера- тором (Е+ тггс,)(Е+ тггсг), где гс,у = — оу „, а = 1, 2, получаем экономичную схему (Е+ 'Е,)(Е+ 'йг)уч=лу+ф, у~ =р, у(х, О) и,(х), у,(х, 0)=й,(х), Гл.
ю1. экономичные РАзностные схемы 382 где 1 и = 1.1и+ 2ан1.ми+ 1'.Еи, д и д'и йаи= —,, а=1, 2, 1ни= Условие параболичности имеет вид 1а1 ((1. Напишем для задачи (59~ экономичную факторизованную схему, имеющую точность 0(т + Л'), где т — шаг сетки й,=(Г1=1т, 1=0, 1, ...) и а — 1наг квадратной сетки йа = (х1 = (11Л гсй) 1а = О 1 ~ 1ча й~Иа =(аэ а = 11 2). Пусть у — граница сетки йю йа = ыь + у.
В гл. !Ч, э 2, и. 5 для стационарной задачи йи = — 1(х), х ен О, и ~г р(х) а аэ Л'у= Лу+ — „Л,Л,у, Лу = Л,у+ 2а12Л11у+ Лау, Л,у=у„,, а=1, 2, Ь 1+2а',— З~а1а~, а~а Л„у=05(у,„+у„) при аы(0, Л,у= + Л+у= 0,5(ух„+у„„) при а, >О, 1р=(+ —,, Л1, Эа (61) Было показано, что оператор А' = — Л' энергетически эквивалентен оператору А = — (Л1 + Ла): с,(Ау, у)((А'у, у)(сэ(Ау, у), уев 0, сэ>с1>0. (62) Для получения схемы повышенного порядка точности, аппроксимирующей нестационарную задачу (59), применим следующий формальный прием. Заменим в уравнении (60) была построена схема, имеющая точность 0(й'). Эта схема имеет вид Л'у= — 1р(х), х~ы„, у), =11(х), (60) где 4! 4 2.
экОнОмичные ФАктогизоеАнные схемы звз функцию !2(х) выражением ф=)+ — "„' М=1+ — 12 Ц+0(й"), ди где ! =!' — —, и и — решение уравнения (69). В результате получим ф =() + ~ Ц) — (~ + ~ ). д )+0(й!). Подставим сюда Еи= — — 1! ди д! ди Ь' ди ди Ь' д'и Ь' д1 — + — й — = — -!- — — — —— д! 12 д! д!+12 ди 12 д! и заменим производные по ! разностнымн отношениями: Отбрасывая слагаемые 0(22+ 64), получим А2 Ь' 12 Н~~!' Г ~ 12 !, ))' Произведем, наконец, замену и на у=у! и подставим функцию ф в правую часть уравнения (60). Тогда получим трехслойную схему У) + 12 "и ' У+ ч" ! 4,=1+ — ',", (Л)+):, (63) Из построения следует, что погрешность аппроксимации равна ф = Л'и + Ч2 — и.
— — и = 0 (т + Ь'). 2 12 н (64) Схема (63), как следует из общей теории устойчивости трехслойных схем (см. гл. !!1, $2) устойчива при условии Ь' те 21' бс~ Напишем безусловно устойчивую схему с тем же порядком аппроксимации. Для этого выберем регуляризатор 1+а ) У ( !+Й2)У ИЛУ и 4 см е>6 где )с' у — НЛ„У, уыь) и с2 — постоянная из (62).
Отсюда и из (62) видно, что )с~ )4 А, Гл. »н. экОнОмиЧные РАзностные схемы 384 Отправляясь от (63), напишем схему у. + ( — Е + твЯ) ун = Л'у + <р. (65) Безусловная устойчивость этой схемы следует из того, что для нее при любых т и Й выполнено достаточное условие устойчивости А! — Е+Я) — А', А'у= — Л'у, уев Я.
12»' 4 В самом деле, а' 1+4 И2 вв ' Ьв — Е+ Д вЂ” — А') — Е+ Р— — ' А ) —,Е)0. 12»' 4 12»' 4 12»в Погрешность аппроксимации схемы (65) !Р = ~Л'и + <р — (и; + —, ин) ] — тв)(!ип. Из (64) следует, что ф = 0(т'+ лв). Перейдем теперь к построению факторизованной схемы. Перепишем исходную схему (65) в виде: ((1+ — „) Е+2»Д] у,+((1 — — „) Š— 2тЯ]у,= 2(Л'у+ср) (67) (66) и заменим оператор при у! — ") + 8 ) Е+2т!г = — (Е+ от(Р, + Йв)), о = 1+АН(8») «! ! 2 2 факторизованным оператором — (Е+ отЕ!)(Е + атаев) = — (Е + от)4) + 2отД!Р,. Тогда вместо (67) получим (Е+от)1!)(Е+от)сг) у,=Р, а! ь'! Р=о(Л'у+ !р) — ' — (1 — — )у +отДу.
~ (68) и начальные условия у(Х, О) и,(Х), ХЕИ гвв, ув(х, О) йв(х), йв(х) Еив(х)+1(х, О)+ — (Рив(х)+Ц(х, О)+ Па.' О)). Это уравнение выполняется во всех внутренних узлах хеявь и всех 1= (т) О. К нему надо присоединить граничное условие у ~ = р (х, 1), 1 ев гв, 4 2, ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОЕН»ЗОВАННЫЕ СХЕМЫ Ззб Первое начальное условие является естественным, второе ус- ловие строится по правилу, указанному в гл. 1, $ 1, п. 6, Задача (68) может быть решена при помощи следующего алгоритма переменных направлений (Е+отР)шо>=Е, .к~за», шн> — — (Е+ отР,) и„х, = О, х, =(о (е+ отР») ш,24 — — шнн х ~ еа», ге<2> =рь ха = О, х2 =12, 14 = У+ тгасан Функции шш и шо> находятся по формулам прогонки вдоль строк и столбцов соответственно, Запишем задачу (68) в каноническом виде (Е+ от2Р Р,) у* + ( — Е+ 22Р+ — Р,Р2) у,= Л'у+ Ч» у[ =1»(х, 1), у(х, 0)=и»(х), ус(х, 0)=йа(х).
Пусть у = у4 — решение задачи (69), а и = и(х,1) — решение исходной задачи (59), гз = уа — иа — погрешность схемы. Подставляя у = г+ и в (69), получаем для г следуюи»ую задачу; Вг;+ Вги+ А'г = Ч", г(х, 0) =О, г,(х, 0) г в(х), г [ =О, (70) где А'г= — Лг, В=Е+асзР,Р2, В = — Е+ 2Р+ —,РсР2, и — ' л' 2 ат' 2 ) (71) !2 ' 2 ' 2' 1+»Ч(ьт) ' Очевидно, что В, В и А' можно рассматривать как линейные (72) где ф — погрешность аппроксимации схемы (65). Из (66) и (72) следует, что Ч' = О (Ьа + т') (73) в классе фУнкций и(х,1), имеющих непРеРывные в акт = = са Х [О ~ 1 = 7] производные по хь ха до шестого порядка, по 1 до третьего порядка включительно, а также смешанные Га А. А. Самарсккй операторы, определенные в пространстве Н = ») сеточных функций, заданных на сетке й» и обращающихся в нуль на ее границе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
