Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 60
Текст из файла (страница 60)
с у = у~ и у = у"", вводится промежуточное значение у=у"+'", которое можно формально рассматривать как значение у при 1=1„+п2= 1„+ т/2. Переход от слоя л к слою л+ 1 совершается в два этапа с шагами 0,5т: пчн2 л =Л,у+ +Л,у + р, (9) а+1 ю+1/2 — Л 2+п2 ! 12 ус+1.! Чп 0,52 2 Эти уравнения пишутся во всех внутренних узлах х=х, сетки ыь и для всех г=(„>0. Первая схема неявна по направлению х1 и явна по хз, вторая схема явна по х, и неявна по х2, К уравнениям (9), (!0) надо добавить начальные условия у (х, 0) = и, (х), х 2н й„ (1 1) 4 с. метод пеРеменных нАпРАВлении и раэностные краевые условия, например, в виде у"+' = р"+' при ст 0 и (з = !)(и у"+с(с = 1с при 1, = О и с! — - А(с, (12) (13) где „-= ' („+ +„) — 'А,(„+с-„). 2 4 .
(14) Смысл краевого условия (!2) ясен, а условие (13), опреде- ляюсцее граничное значение у, будет пояснено ниже. Отметим, что это условие было указано в более поздних работах (см., например, С. А. Кряквина (11), Таким образом, разностная краевая задача (9) — (14), со- ответствующая задаче (7), поставлена. Остановимся на методе решения этой задачи. Перепишем (9) и (10) в виде 2 — у-А,д=д, (15) -2д-Л,у=у д= — д+л,д+~, 2 ) — 2 д= — д+л,у+р, ) Условимся о следующих обозначениях: х,=(ссй„1,йт), г =гсс. у = ус с, при этом, если в уравнении один из индексов фиксирован, то мы его не пишем.
Тогда (15) можно записать в виде (8), т, ел ! (! !сс ! — у — 21( —,+ — у + — у = — д, Эз с,-с ~ас ) с, Аг с,+с с,! лс с т с 1! = 1, 2, ..., сУс — 1, у = й при с, О, А(„ (16) ! (! !! ! —,у — 2 —,+ — д -1- — у = — р ')дс ) с, з с,+с= с 2 т 2 ст=1, 2 . А(а — 1, у=9 при сз= О, А(,. Пусть задано у = у". Тогда вычисляем Р, затем методом прогонки вдоль строк ст = 1, 2, ..., А(т — 1 решаем задачу (16) и определим у во всех узлах сетки сэл, после чего вычисляем Р и решаем задачу (17) вдоль столбцов сс = 1, 2, ..., А(! — 1, определяя д = у"".
При переходе от слоя л + 1 к слою и + 2 процедура счета повторяется, т. е. происходит все время чередование направлений. 3. Устойчивость. Для исследования устойчивости схемы (9) — (14) проведем исключение промежуточного значения у. Вычитая из (9) уравнение (10), находим 2у = у+ у — 0,5тдт(у — у)! х~ сээ. (18) гл. чн. экОнОмичные Рлзностные схемы зб2 Учитывая, что у = у+ ту!, преобразуем (!9) к каноническому виду (Š— 0,5«Л,) (Š— 0,5«Л«) у! = Лу+»р. (20) Из предыдущих рассуждений ясно, что формула (18) должна выполняться и при х! = О, х! =1! (иначе значение (Л!У)с не определено при л! = 1 и л! = Л! — 1).
Так как у = р, у = !л при х! = О, х! = 1!, то из (18) следует ! у= — (р+р) — — Л»и,=лл при х, =О, х, 1„ что совпадает с краевым условием (13), (14). Тем самым доказано, что решение задачи (9) — (14) удовлетворяет уравнению (20) при дополнительных условиях у!т =р У3, =лл, у(х 0)=ил(х). С другой стороны, решение задачи (20), (21) является также решением задачи (9) — (!4), В самом деле, введем у по формуле (18), найдем из (18) (Š— 0,5тЛ») ф 2У вЂ” (Е+ 0,5«Л») у и подставим это выражение в (20); после несложных преобразований получим уравнение (9). Из него и из (18) следует (10).
Тем самым доказана эквивалентность задач (9) — (14) и (20), (2!). Она имеет место при согласованном задании граничных значений у по формулам (13), (14), Исследование схемы (9) — (14) можно заменить исследованием схемы (20), (2!) «в целых шагах». Применим общую теорию устойчивости двухслойных схем. Краевые условия предполагаются однородными, т, е. рассматривается задача (Š— 0,5«Л,) (Š— 0,5«Л,) у, = Лу+»р, 1'=»0, 1 (22) у (х, 0) = ил (х), у !„„О.
! Введем пространство Н сеточных функций, заданных на ыл и обращающихся в нуль на ум со скалярным произведением м-! и»-! (У» о)= Х У(х)о(х)л!йз= Х х«!У(л!и! лзйл)О(~!и!» ллйл)й!пл «м»л» ! ! ! ! и нормой 1)у!! 3/(у, у). Будем обозначать А = — Л = = — (Л! + Лл). Оператор А саллосапряжен и положителен в О, (21) Подставим (18) в (9): — — — Л,(й-у)= Л!(у+у)- — Л!Л,(Р-У)+Л,у+ р. (19) у — у 1 ! т 4 1. метод пеРеменных нхпРАвлений Норма в энергетическом пространстве ВА имеет вид № №-1 ))дй~~= ~~'.' ,~~.", (дх (1,Ь„1Ь))'Ь,Ь + .Я .Я (д (1,ЬП1Ь,))4Ь,Ь, или ~~ д ~~А 11 д» !11П 11 дх~ 111в (23) рассматривая д д(1) как абстрактную функцию 1ене1, со значениями в Н, запишем схему (22) в виде Вд, + Ад = ф «), 0 ~(1 = пт < 1,, у(0) = и„(24) где В=(Е+0,5тА,)(Е+ОбтА1), А,= — Л„А=А, +Ам Операторы А1 и Аз — самосопряженные, положительные и перестановочные (в силу того, что исходная область — прямоугольник). Поэтому и А1Аз > О.
Из (24) видно, что В>Е+ 0,5тА, (25) т. е. схема (24) устойчива в ВА. Действительно  — 0,5тА =(Е+ 2 А+ 4 А1А1) — 2 А Е+ 4 А,А,>Е. Из условия (25) следует, что для схемы (24) верна теорема 8 из гл. 1/1, $1 при е = 1, в силу которой решение задачи (22) удовлетворяет неравенству 1 » '/в йд«+.)йл~йд(О)~~„+ — ', ~~т~~ф«)~Г) . (28) 11'-О Нетрудно получить априорную оценку / 'га ~! д «+ т) й < П у (0) ~) + ~ ~х~ т ~~ ф «') ~|'„-~~ . (27) Так как Аь Ам А-' > 0 — перестановочные и самосопряженные операторы, то А-1А1АА > 0 и В > А-' + 0,5тЕ. Поэтому, в силу теоремы 10 из гл.
1/1, З 1 верна оценка (27). Таким образом, справедлива В самом деле, применим к обеим частял1 уравнения (24) оператор А-' > 0: Вд+АУ ф, А=Е, ф=А ф, В=А '+ — Е+ 4 А А1АН (28) 664 гл. чи. экОнОмичные РАзностные схемы Те о р ем а !. Схема (22) устойчива по начальным данным и по правой части. Для решения задачи (22) верны априорные оценки (26), (2?). 4. Сходимость и точность. Изучение сходнмости и точности схемы (9) — (14), в силу ее эквивалентности схеме (20), (21), будем проводить для задачи (20), (21).
Пусть и = и(х,() — ре- шение задачи (7), у = у(хо („) — решение задачи (9) — (14) ч (20), (21). Подставляя у = г+ и в (20), получим для погреш- ности схемы (20), (21) задачу Вг! = Лг+ ф, хан ьУА, 0((=пт<(ь, г!у =О, г(х,О)=0, (29) где В = (Š— 0,5тЛ!) (Š— 0,5 гЛА) и ф — погрешность аппроксимации на решении, равная ф = юр+ Ли — Ви, = 0,5Л(й+ и) — и, — т'Л!Л,и, + <р, (30) Отсюда видно, что $ = 0 (~ й ~'+ т'), ~ й ~' = й', + й!, если и = и(х,1) имеет ограниченные в Сут = 6о Х (О, 1ь) произ- водные В самом деле, 05(й+ и) = й+ 0(т'), где й = и(х,1„+ 05т), Л!Л,и, ограничено, и, = и+ 0(т~), ф =Ей — и+1+ 0(те+161) = 0(т'+16 !у).
Так как для задачи (29) справедлива оценка (26) прн г(0) = = гь = О, то имеет место Теор ем а 2. Если выполнены условия (31), то схема (20), (21) сходится в сеточной норме (23) со скоростью 0(те + ~ п1'). 5. Схема для уравнения с переменными коэффициентами.
Напишем схему переменных направлений для уравнения тепло- проводности с переменными коэффициентами — =Еи+?, (х, 1)ен Ят, и ~г=р(х, 1), и(х, 0) =и,(х), (32) Еи=Е,и+Ееи, Е,и дх (уу,(х,() дх ), ?е„(х,1)>0. д ди У Все уравнения (9) — (14) записываются без изменения, меняется лишь формула для Л„: Лиу= Ла(г)у=(аа(х !)ух 1, а = 1, 2, 1=(и+ О 5т, кьу кь з 1.
метод пеРеменных нАпРАВлениЙ В)ЕЕ+О,бт(1 — с т) Л, 0(е(1, (ЗЗ) где с, зависит от максимума производных даа д'а« дха ' дх, дха ' а = 1, 2. Для решения задачи (20), (21) с однородными краевымн условиями при достаточно малом т(та(с,), где та( (1/(4с1), справедлива оценка 1 1'А !! У (~ + т) !!Я Ш ~ ~М !1 У (0) !!А 1м + Мх ~ Х т 11 ф (/ ) !( (34) где !1 У(/+т) !!А„, —- (а, (х, !), (Ух (/+ т))'), +(а (х, 1), (ух (1 +т))'-'1, (Зб) Л, Л,-1 Л,-1 Л, (У, 1,= Х 2 уннон.,й,йа, (у, о),= Х Хуььо„й,йа (Зб) Оценки такого типа можно найти, например, в работе Е. Г. Дьяконова (4).
Из (34), очевидно, следует сходимость схемы со скоростью О(т'+16!х). Заметим, что требование достаточной малости шага по времени т (та(с,), прн котором верна оценка (34), является весьма жестким, так как в случае сильно меняющихся по х, и х, коэффициентов /5„(х, /) величина та может оказаться столь малой, что условие т (та не выполняется при практически допустимых значениях т, обеспечивающих требуемую точность решения задачи. Оказывается, однако, что требование малости т связано с методом исследования устойчивости. Ниже будет показано, что схема (9), (10) в случае не зависящих от / коэффициентов й - й„(х) абсолютно устойчива (при любых т > 0 и Ьа > О) в другой норме.
Если й (х, /) зависят от (, то этим свойством абсолютной устойчивости обладает ! 0 5«1 где аа, например, определяется по формуле а, =й, ' или а«=0,5(/5,+ й( ' 1), а=1, 2, что обеспечивает второй порядок аппроксимации для Л,: ЛаИ / «И = О (йа). Все рассуждения, показывающие эквивалентность схем (9) — (14) и (20), (21), и в данном случае сохраняют силу, Схема (20) имеет на решении и = и(х, /) аппроксимацию 0((й~х+ т'), если, кроме условий (3!), выполнены очевидные требования гладкости йа(х, /) по х1, хх, й Отличие от случая постоянных коэффициентов обнаруживается при изучении устойчивости схемы (20).
Операторы — Ль — Лх положительные и самосопряженные, но не перестановочные, Поэтому положительность 151Лх ниоткуда не следует. Вместо В)~ Е + 0,5тА удается доказать, что ГЛ. Ю!. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 366 несколько измененная схема ОО Ет" = Л! (1) У+ Л (1) У+ ф О 6" = А (1) У+ дз (1 + т) у+ ф, (37) при однородных краевых условиях у!тА=О, у~тА=О, у(х, 0)=и,(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
