Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Воспользоваться соотношением — и!+!-2п!+ — е! ' тп!+ тяп!. 11. Рзссмотрим задачу для системы уравнений параболического тяпа л ди!н %~ д ! димч ! д! ая( дК ( дК l' ! ! и!О(0, !) О, и!О (1, !) =О, и!О(к, О) из!О(к). Известно, что ~я~~ зт ( г-! г, 1-! г ! Пусть Л!!у = г!а!гуя )к, а! !гкг, !) й! (к! !гз, !), Л у угкз ~у аЛ у о> 4 Ау!!' - — ~я~~ Л!)у!!!. ! ! Показать, что схема уУ~+ т~Вуф~+ Ау!о - О а) устойчива при любых Л и т, б) имеет точность О (йз+ тз), Глада У|) ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОИ ФИЗИКИ и 1.
Метод переменных направлений (продольио-поперечная схема) для уравиеиия теплопроводиости 1. Об экономичных схемах. Выясним па простейших примерах предпосылки к написанию экономичных равиостных схем, Рассмотрим р-мерное уравнение теплопроводиости: д'н Ьи=~' Е,и, Ь,и —, х~ О, х а а и]à — — О, и(х, О) = ио(х), 1еи(0, ]р). ди — =Си, дС Одним нз важных достижений в вычислительной математике является разработка экономичных разностных методов для решения многомерных [с несколькпмн пространственными переменными хь х,, ..., хр) уравнений в частных производных, В настоящее время имеется большое число экономичных схем для многомерных уравнений параболического, гиперболического и элнптического типов. Экономичным методам посвящены работы В.
Б. Андреева [Ц вЂ” [6), Бейкера н Олифанта [Ц, К. А. Багриновского и С, К. Годунова [Ц, Вашпресса [3), Гана [Ц, Е. Г. Дьяконова [Ц вЂ” [8), Дугласа [Ц, ]4), Дугласа н Гана [2), А, Н. Коновалова [2] — [6], Г. И. Марчука и Н. Н. Яненко Щ, Пасмена и Рэкфорда [Ц, А.
А. Самарского [4] — [!6], [Гй], В. К. Саульева [Ц, И. В. Фрязинова [2) — [6), Хаббарда [Ц, [2), Н. Н. Яненко [!] — [?) и др. Мы суммируем результаты этих работ, проводя нзложенве с единой точка зрения и опираясь на общую теорию устойчивости, изложенную в гл, у?1 Основное внимание будет уделено принципиальным вопросам теории экономичных разностиых схем. 6 ь метод пвгвмвнных нлпглвлвнин Пусть б = бля — р-мерный куб, (0<х <1, а =1, 2, ..., р), йл = (((,йь ..., /„й„) ~ 0) — кубическая сетка с ша~ом й по всем х, сс = 1, ..., р, й, — сетка с шагом т = /л/лл иа отрезке О <1<'/,, дли Оператор /.,и = —, аппраксимируем разностным оператодхл~ ром Л,у = у„„, так что Л = 2.'~ Л,.
Напишем двухслойну|о "а"а а-1 схему с весами у~ =Л(ау+(1 — а)у), хан ел, О(/=пт</, 1 у 1т = О, у (х, 0) = ил(х). (2) Схема (2), как было показано в гл, т'1, $ 1, устойчива по начальным данным при 1 а2 а л — — — = а,. 2 4рт Полагая а = О, получим явную схему у,=Лу или д =у+ тЛу, (3) устойчивую прн условии т <О,бйз/р. Если (1) — уравнение с переменными коэффициентами, т. е. йаи= д (йа(х, () д )» 0<да(~сь то г Л,у=(а ух ),, Л= Х Л, 0<а,(сз а ! и явная схема (3) устойчива при т (0,5/г'/(рс,), Отсюда видно, что допустимый шаг т для явной схемы надо уменьшать с ростом числа измерений и ростом максимума коэффициента теплопроводности. Последнее требование является особенно жестким в случае задач с сильно меняющимися коэффициентами. По этой причине использование явных схем для решения не только многомерных, но и одномерных (р = 1) задач, часто оказывается нецелесообразным.
С другой стороны, явная схема обладает тем достоинством, что решение у = у„+~ на новом слое („+~ - 1 + т находится по явной формуле (3) и при этом в каждом узле сетки ел затрачивается конечное число действий, так что общее число арифметических операций при переходе со слоя на слой пропорционально числу узлов сетки ал (есть величина 0(!РР)). гл.
у!ь экОнОмичные РАзностные схемы Рассмотрим теперь чисто неявную схему с а = 1. Она устойчива при любых т и й. Для определения у получаем задачу у — тЛу=у, у1т О, у(х, 0)=и,(х). Для решения этой системы Ийэ уравнений, например, методом исключения Гаусса требуется затратить 0 (1/Ь ' ') действий (если учесть при этом специальный вид матрицы Š— тЛ). Итак, явная схема требует небольшого числа действий, но ее устойчивость имеет место при достаточно малом т; неявная схема безусловно устойчива, ио она требует большого числа арифметических действий, Возникает вопрос: можно ли построить схему, сочетающую лучшие качества явной и неявной схем, т. е. 1) безусловно устойчивую (как неявная схема), 2) требующую для перехода со слоя на слой затраты (как и для явной схемы) числа арифметических действий Я, пропорционального числу узлов сетки аь так что Я = 0(1 1йе).
Такие схемы принято называть экономичными. Приведем один пример для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, показывающий, что существует неявная схема, требующая меньшего числа действий (более экономичная), чем явная схема. П р и м е р (А. А. Самарский (9)). Рассмотрим систему дифференциальных уравнений — + Аи О, 1) О, и (0) = из, ч'и где и (ип>(1), ..., ием(1)) — вектор, А ° (ан) — матрица. Предполагаем, что А симметрична и положительно определена. Явная схема у„+~ = у„— тАу при переходе со слоя на слой требует 2гпэ + 2гп арифметических действий.
Пусть А = (ас~) — нижняя, А+ (а,')) — верхняя треугольные матрицы, причем а,, =ач-О,баи. Обе эти матрицы (операторы) положительно определены в смысле скалярного произведения (,) в й, так как А- (А+)' и (Ах,х)=(А+х,х) + + ((А+)'х, х) - 2(А+х, х) 2(А-х, х). Рассмотрим схему "'"+' ~'" +А уь,+,+А~у =О, (4) Е'"+'+А уы, +А+уж, О, а=О, 1, ... (5) Для определения уз„+~ и уз +з надо обратить треугольные мат- рицы (Б+,тА-) и (Б+ тА+).
4 ь метод па»именных нлпелвлвння зйй Нетрудно показать, что написанная схема абсолютно (при любых т) 0) устойчива. Исключим из (4) и (5) уал+ь Вычитая (5) из (4), найдем 2уол+1 угл + уолло + тА (уз»+о угл). После подстановки этого выражения в (5), получим схему В "'"+' о'"+Ау, =0 А=А +А+, 2« ол оператор которой — =Еи+1(х, 1), х~ бол, 1~(0, 1о). и ~г = 1л (х, 1), и (х, 0) = ио (х), дои (и=Ли=(Е,+1Ди, Е и —,, а 1, 2.
дал (7) Область 1лоо = бо = (О (х„(1, а 1, 2) — прямоугольник со сторонами 1~ и 1ь à — гранйца «о бо+ Г. В 'йо построим равномерную по х„сетку йл с шагами Ь1 = Идешь Ьо = 1»1Л1о. Пусть ул — граница сеточной области олл, содержашая все узлы иа сторонах прямоугольника, кроме его вершин, ал = ело+ум Оператор Е заменим разностным оператором Л„: Л,У=У„, Л=Л,+Ло о"о В =(Е+тА )(Е+«А+) есть произведение двух сопряженных друг другу «треугольных» операторов ( — факторизованный оператор), так как А+ = (А-)'. Очевидно, что  — самосопряженный оператор. Остается проверить выполнение достаточного условия устойчивости:  — 0,5(2«А) = Е+ «А+ т А А — тА ) Е, так как А-А+) 0 ((А-А+х,х) зА+х1Р) 0).
Схема (6) абсолютно устойчива. Она имеет, очевидно, второй порядок точности. Пусть Х+ — треугольные матрицы, отличающиеся от А~ только тем, что элементы на главной диагонали заменены нулями. Будем запоминать при решении уравнения (4) вектор Л-уо„+ь а при решении уравнения (5) — вектор Л+уо„+ь Тогда для схемы (4), (5) число действий, затраченное при переходе от слоя 1гл к слою 1гл+о равно Я~ 2т'+ 12т, в то время, как для явной схемы оно равно Яо л— л 4то+ 4т, т. е. 111 к.'.Яо при т )~ 4. 2. Схема переменных направлений (продольно-поперечная схема). Рассмотрим двумерное уравнение теплопроводности Гл.
ч!1, экОномичные РАзностные схемы Збо Напомним, что в случае одномерного уравнения теплопроводности неявная схема на каждом слое приводит к разностной краевой задаче вида А,У,, — С,У, + В,УЫИ = — Р1, 1= 1, ..., !!à — 1, уэ = р„ум = р„А; > О, В1 > О, (8) С;>А, + Во которая решается стандартным методом прогонки с затратой числа 0(1/л) = 0 (У) действий, пропорционального числу У узлов сетки й„= (х, = И, 0 (1' (Лг).
Обратимся к нашей двумерной задаче н прямоугольнике. Сетку еь можно представит, как совокупность узлов, расположенных на строках 12 = О, 1, ..., ЛГ2, или как совокупность узлов, расположенных на столбцах 1, = О, 1, ..., Л21. Всего имеется 12'1+ 1 столбцов и Л22+ 1 строк. Число узлов в каждой строке равно Л21 + 1. а в каждом столбце имеется У2+ 1 узлов.
Если иа каждой строке (или столбце) решать задачу вида (8) методом прогонки при фиксированном 12 (или 1,), то для отыскания решения на всех строках (или столбцах), т. е. во всех узлах сетки, понадобится число 0(1121222) арифметических действий, пропорциональное числу узлов двумерной сетки, Основная идея большинства экономичных методов и состоит в сведении перехода со слоя на слой к последовательному решению одномерных задач вида (8) вдоль строк и вдоль столбцов. Весьма четко эту алгоритмическую идею выражает неявная схема переменных направлений (продольно-поперечная схема), предложенная Писменом и Рекфордом (1) и Дугласом !!) в 1955 году. Наряду с основными значениями искомой сеточной функции у(х,1), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
