Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Рассмотрим операторно-разностный аналог задачи (37): у — д 06 — — —,4,У- А!У+ф„0~~1=от(1е ОŠ— А!У вЂ” А!в + фм У(0) Ум где А, = А!(1), Аз = Аз(! + т), А! и Ае — линейные операторы, заданные иа Н. Пусть (,) и ЦУЦ= )т(у, у) — скалярное произ- ведение и норма в Н. Будем предполагать, что А! и Ат яеотри- цательные (несамосопряженные, вообще говоря) операторы. Л ем м а 1, Если А ~ 0 — линейный оператор в Н, то Ц(Š— (1 — с!) тА) у Ц(Ц (Е+ атА) у Ц пря а ) 05.
(39) Действительно, Ц (Е + атА) у ~(! — Ц (Š— (! — а) тА) у Цз = =2т(АУ, у)+2(а — 05)тзЦАУК~)0 при а)05, откуда и следует (39). Перепишем (38) в виде (Е + 0,5тА,) у = (Š— 0,5тА,) у+ 0,5тф!, (Е + 0,5тА,) У = (Š— 0,5тА,) 17+ 0,5тфг. Воспользуемся неравенством треугольника и леммой 1: Ц (Е + 0,5тА,) у !1 ( Ц (Е + 0,5тАХ) у Ц + 0,5т !1 ф, Ц, Ц(Е+ О 5тА) УЦ(Ц(Е+ 05тА,) УЦ+ О 5тЦ фзЦ. Отсюда находим Ц У(! + т) Ца !Эт! ~~Ц У(г) ~~т н+ О 5т(Ц ф! (г) Ц+ Ц фт(Г) Ц) (38) где Цу(1)Ц<, „=~1(Е+05тА,(())у(1)Ц)ЦУ(1)Ц при Ат'= О. (40) Суммирование по 1= О, 1, ..., (и — 1)т = 1„— т дает с-т (! у (1) Це ! (~Ц у (О) Цо,,>+ О 5 лс!! т (Ц 'р! (У) Ц+ /) фз (1') Ц) (41) 4 а экономичныв флктоеизовлнныв схемы звт Нетрудно убедиться в том, что априорная оценка (41) сохраняет силу, если норму!| 1)оз заменить нормой )~ ° Ц, где 11 У 1~,ч = ~( у 11'+ — 1! Агу Р.
(42) Тем самым доказана Т е о р е м а 3, Схема (37) абсолютно устойчива (при любых т ) О, Ь~ > О, Ьг > 0) и для нее верна оценка (41) с ф~ = фг = ф, в которой норма 11 ° 11<г1 дается формулой (40) и Аг = — Лг. Однако априорная оценка (41) сама по себе не позволяет доказать сходнмость схемы (37) со скоростью 0(тг+161г).
Этот вопрос будет рассмотрен в 3 3. Отметим, что оценка (41) верна и в том случае, когда с« есть ступенчатая область (со сторонами, параллельными осям координат). й 2. Экономичные факторизованиые схемы !. Схемы с факторнзованным оператором. Рассмотрим двухслойную разностную схему ВУ,+АУ=ф, 0~((=!т<(о, 1=0, 1,, У(0)=ус (1) Пусть известно значение у = уг на /-м слое, требуется найти уг«'. для него получаем уравнение Вугю =Рг Р!=( — тА)уг+тфг, /=О, 1, ..., (2) где Рг известная правая часть. Пусть для вычисления Рг затрачивается число 0(Л') действий, пропорциональное числу М узлов сетки оч, (это имеет место для всех разностных схем с шаблоном, не зависящим от сетки оол).
Из (2) видно, что устойчивая схема (1) экономична, если для решения уравнения (2) затрачивается число действий 0(М), Пусть В, а = 1, 2, ..., р — «экономичные> операторы, т. е. такие операторы, что для вычисления решении уравнения В о Р (3) требуется 0(М) действий. Тогда схема (1) с факторизованным оператором В вида (4) будет также экономичной, так как для решения уравнения (2) с оператором (4) потребуется 0()Ч) действий.
В самом деле, ешение авнения Р ур В,В,... В,у + = Рг (5) может быть найдено в результате последовательного решения р уравнений вида (3) „точнее В~уш =Р э В«У~«~ = У(о-~р а = 2~ Зо ' 'г Р (6) звв гл. ш!. экОнОмичные РАзностные схемы н так что у/+! =у . Здесь у =у/+!/Р ... у =у/+'~Р ...,у (Р)' о) ~ '''~ (а) " '''' (р-!) у/+(а-и/Р— промежуточные значения. Из предыдущего следует, что устойчивая схема (1) с факторизованным оператором В, являющимся произведением конечнога числа «экономичных» операторов В!, ..., В„, является экономичной. Схемы с факторизованиым оператором В будем называть фанторизоеанными схемами.
В 3 1 было показано, что неявная экономичная схема переменных направлений( продольно-поперечная схема) эквивалентна факторизованной схеме с оператором В=В,„«=Š— 0,5«Л„Л,у=ух „, а=1, 2. (7) Рассматривались (см. В. К, Саульев 11)) также факторнзованные схемы с а их ! Е» В!у =,)~~~ — „', В,у = — ~ — „', (8) В = В,В/ь В,=Е+ тВ«, а а ) у/+! у/+ тп// где и/ есть решение уравнения В!В»... Ври =Ф/, Ф' =(р/ — Ау/. (9) где В! и В» — «треугольные» операторы (соответствующие им матрицы являются треугольными, так называемая, «явная схема переменных направлений»). Для решения уравнения (3) в этом случае получаются формулы явного («бегущего») счета. Заметим, что й! и Ва не являются самосопряжениыми, а сопряжены друг другу. Часто используются «одномерные» разностные операторы В вида В„= Š— отЛ„, где ˄— разностная аппроксимация дифференциального оператора Ь, содержащего производные только дан по одному аргументу х„.
Так, например, если Еаи = —,, то ха Л,у=у» „„есть трехточечный оператор и уравнение (3) решается методом прогонки. Отметим, что для факторизованных схем (с одномерными в некотором специальном смысле операторами В ) используется также название «схемы с расшепляющимся оператором» (см.
Е. Г. Дьяконов [3)). Одну и ту же факторизованную схему можно свести к последовательности простых схем несколькими способами. Укажем еще один способ, Из (1) найдем з е экОнОмичные ФАХТОРНЗОВАнные схемы 369 Для определения и>< можно воспользоваться системой р уравнений В<<Фи< =<А><> В„<э<,ч — — и><, и, и=2, 3, ..., Р, (10) полагая затем (11) Интересно отметить, что первые экономичные схемы (см.
Пнсмен, Рэкфорд Щ, Дуглас [1], Дуглас, Рэкфорд (1)) составлялись так, чтобы можно было легко исключить промежуточные значения; это приводило к факторизованной схеме <в целых шагах», связываюшей значения у> и у>+'. 2. Краевые условия. Требования устойчивости и аппроксимации предъявляются к факторизованной схеме (!). Уравнения (6) или (!0), (11) можно трактовать как вычислительный алгоритм для факторизованной схемы (1).
Такая эквивалентность, как было отмечено в работе Е. Г. Дьяконова (3), имеет место лишь при согласованном задании краевых условий. Поясним это на примере. Пусть требуется решить первую краевую задачу для уравнения теплопроводности в прямоугольнике С<> = (О < х, < (н 0 К.. хз (1г) с границей Г: л< =-(Е<+ Е )и+)(х, Г), и ! =<А(х, Г), и(х, 0) = и (х), (Гй) д>и 1,>и= — з> и=!, 2.
х>> Пусть е>А ((<А,<зйх)) — прямоугольная сетка в В, с шагами ><< и Ьь Л„у=у„„. Напишем факторизованную схему (!) В,В,у, =Лу+ р, у< 1т р<, у'= и,(х), (13) где В = Š— атЛ, Л Л, + Л<ь уь — граница сетки е>А. Для решения задачи (13) при переходе со слоя на слой воспользуемся алгоритмом (6): В<у<И = г>, г> =(В<В, + тЛ) у + т<рг, Взуг ы = упн (14) с кРаевыми УсловиЯми У1ы !т„= !А«<.
Так как оператор В<ВЕ ойределен на е>А (включая границу х< — — 0 и х< =1<), то уравнение Взу!+< у<п должно удовлетворяться не только при 0 (х< ((ь но и на границе при х< = О, (ь Поскольку у<+< !„„=!АГР> известно, то отсюда следует, что уп< = (Š— атЛЕ) !А<+< = !А<+< — атЛзр<+< при х< — — О, 1<. (15) ГЛ.
ЧН, ЭКОНОМНЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 370 Если у<!2 при х! = О, 1! определяется по этой формуле, то задачи (13) и (14), (15) эквивалентны, в чем легко убедиться исключением уи! из (14). Для второго алгоритма В!и!!н — — Ф2, Ф! = ЛУ2+!Р2, Вэп!! ! = юо2, У2+! = У!+ та!!2! (!6) краевые условия задаются так !-!.! ! и!!и =(Š— птЛ2) ' „2-!-! „! П2!2! = при х,=О, 1„ (17) при х2=0, 12 Заменяя В и С факторизованными операторами В=В, ... Вр, С=С! ... Ср, Ва=Š— птЛа, С Е+(1 — п)тЛ, перейдем от схемы (19) к факторизованной схеме Вд! = Сд!. (29) (т. е.
п2<!! = О, п2!2! -— — О на ул, если р не зависит от !). Отметим, что при записи схемы (1) в матричной (операторной) форме краевые условия можно считать однородными, изменяя соответствующим образом правую часть !р в приграничных узлах. Для факторизованной схемы получим также однородные краевые условия (у<п = у2 = О, п2<!! = 2е<2! = О при ха уз), однако для сохранения порядка аппроксимации в правую часть факторизованной схемы в приграничных узлах при 2! = ! и 2! = 22! — 1 2 2 — 2 надо внести поправки — от Ь! Л2!2!. 3. Построение экономичных факторнзованных схем.
В литературе описан ряд способов получения экономичных факторизованных схем. 1) Метод расщепляющегося оператора (см. Е. Г. Дьяконов [3)). Строится факторизованный оператор В = В! ... Вр, например, В = Š— отЛ, где Л„одномерные операторы, и рассматривается факторизованная схема Ву2+! = Су2+ тч26 (18) Оператор С выбирается так, чтобы схема (18) была устойчивой и обладала аппроксимацией. 2) Метод приближенной факторизации (см.
Н. Н. Яненко [6), Г. И. Марчук и Н. Н. Яненко [
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
