Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 65
Текст из файла (страница 65)
ЭКОНОМИЧНЫЕ ФАКТОРИЗОВАННЫЕ СХЕМЫ 393 Покажем, что с, = р: гл. тп. экономичные гхзностныв схемы (Е+т'Е,) «ан, =Р, Р= П(Е+ т'Я,) д,+ «(Лу+ «р), (Е+ «1«а) ц«««о = «э(а-«) ц = 21 ' ' '~ р у = у + ™«р>. Для функций ц««,н а = 1, ..., р — 1 ставятся при к, = О, 1, следующие краевые условия: ш««1=(Е+т'Ез) ... (Е+т'Е,)!«„х« =О, !о ш«,! —— ~( (Е-1-тз~;>з)Р, пРи к,=О, 1,. з-аэ« Так как операторы В, = Е + т'Е„имеют диагональную матрицу коэффициентов с диагональными клетками, то компоненты вектора ш«кь а=1, 2, ..., р определяются независимо, й 3.
Метод суммарной аппроксимации 1. Составные схемы. Суммарная аппроксимация. Экономич- ные методы, рассмотренные в й 1 и $ 2, характеризуются тем, что исходное многомерное дифференциальное уравнение аппрок- симируется факторизованной разностной схемой. Решение раз- ностной задачи для факторизованной схемы сводится к последо- вательному решению разностных задач более простой струк- туры. Так, в случае двух переменных применяются экономичные схемы вида В у!+ «н = С д«+ т«р(, В,у«э« =С д«э«н+тр«, (1) 3 з где В«и Вз — экономичные операторы (обычно зто — одномер- ные операторы). Для продольно-поперечной схемы В, = Š— 0,5тЛо С, =Е+ О,бтЛм Вз = Š— 0,5тЛм Сэ = Е+ 0 5тЛ« Можно показать, что зта схема абсолютно устойчива и имеет второй порядок аппроксимации, «р = О (т'+16 !') и т = О (т'). Отсюда следует ее сходимость со скоростью 0(т'+! Ь)з).
Отыскание вектор-функции уьы сводится к последовательному от а к а+ 1 решению методом прогонки трехточечных уравнений вида (Е + т'1«',) и« = Р„. Воспользуемся, например, следующим алгоритмом 395 4 3 мвтод суммлвнои АппРоксимАции для схемы расщепления Ва = Š— отЛа Са= Е+(! — о) тЛр, а=1, 2. Принципиальным является требование эквивалентности задачи (1) факторизованной схеме В, В,д~. = Сд~+, рй (2) Эта эквивалентность имеет место не всегда, а лишь при согласованном задании правых частей и краевых значений для умчи Кроме того, иногда требуется попарная перестановочность В„, С (см.
9 2). Устойчивость факторизоваиной схемы имеет место, если В, и Вз перестановочцы. Это выполняется только для областей специального типа. Схемы, рассматриваемые в 9 1 и 9 2, применялись только для прямоугольных областей. Между тем, очевидно, что схема расщепления и продольно- поперечная схема могут быть формально написаны для непрямоугольных областей сложной формы. Однако при этом возникают трудности с определением аппроксимации, заданием краевых условий и доказательством устойчивости. Чтобы преодолеть эти трудности (они, впрочем, как мы видели в $ 2, имеются даже в случае прямоугольной области), оказалось необходимым провести пересмотр понятия разностной схемы и, прежде всего, отказаться от сведения системы уравнений (1) к факторизованной схеме (2) и от требования их эквивалентности.
Это привело к новому понятию разностной схемы, к понятию аддитивной схемы (см. А. А. Самарский [4), Я, [7), [12), [19)). Систему двух разностных уравнений (1), осуществляющих переход со слоя 1 к слою [+ 1, будем называть составной схеАяой. Для составной схемы следует прежде всего дать определение аппроксимации, выяснить, в каком смысле она аппроксимирует исходное дифференциальное уравнение. Пусть и — решение многомерного дифференциального урав- нениЯ. Вычислим погРешность аппРоксимации лз~ и фз на Решении и для каждой из схем (1) соответственно.
Назовем погрешностью аппроксимации составной схемы (1) сумму ф = ф1 + ф. Требование аппроксимации для составной схемы (1) означает, что ~~ф[ — б при й- О, т- О, где ~! !! — некоторая норма. При этом может оказаться, что ф, = О(1), фз = О(!). Составные схемы, погрешность аппроксимации для которых понимается как сумма погрешностей аппроксимации для промежуточных схем, будем называть аддитивными схемами. Дадим общее определение аддитивной схемы (А.
А. Самарский [19), И. В. Фрязинов [4]). Ра гл. Лг было введено понятие и-слойной разностной схемы как разностного (по переменному 1) уравнения (и — 1)-го !о!. ч!!. зко!!Ом!!ч!!ыв ехз!!Осп!ь!е схемы порядка с операторными коэффициентами: л-! '2) С,(Г!) у(ГГ+ -йт) =Ж) (п-1)т<ГГ(1о, з-о где Св — линейные операторы, заданные на линейном нормированном пространстве Оо. Для определения решения надо задать п — 1 начальных векторов у(0) =Уо, У(т) =У! У((п 2)т) = = У»-2.
Назовем п-слойкой составной схемой с периодом т (порядка т) систему разностных уравнений с операторными коэффициентами л! л-2 ~ С„з (Г!) У(Г! + Рт) = ~ лл, (г';) У (1! — Рт) + 1, (1;), (*) где оо = 1, 2, ..., т, (п — 1)т < г! ~ Го, с заданными начальными значениями у(йт), й = О, 1, ..., п — 2 (число слоев определяется числом начальных условий), причем г; принимает значения, равные Г; = (п — 1) т + йтт, й = О, 1, 2, ... Чтобы найти у(1! + пгт) = у,,,„по известным у; в, (1 = А, 1, ... ..., п — 2, где 1! = (т + п — 1)т, надо решить систему уравнений с операторной матрицей С = (С„з) размером т Х т, При т = 1 составная схема (») переходит в написанную выше обычную ц-слойную схему. При п = 2 получаем двухслойную составную схему с периодол! т: »»~о Са (Г!) У (Гг+ (1т) = Ваоу(!!) + !га(Г!) 1е а<~т, У(0) = Уо. аз ! Если для составной схемы (») погрешность аппроксимации ор определяется как сумма погрешностей аппроксимации ф отдельных уравнений, 2р = ф! + ...
+ ф, то составная схема (») назь!вается аддитивной схемой. Двухслойная аддитивная схема может быть записана в каноническом виде: !+апл /»(а- Иол В" +~'А,„уг+"' =орг„а=1, 2, ..., т, (3) з-о где В, А„з — некоторые линейные операторы. Экономичные аддитивные схемы характеризуются тем, что для них операторная матрица перехода Я = (З„а) является треугольной, так что систему уравнений (3) можно записать в виде: а-! У!+м = Х Я, У!+в! +т!Раг, а=1, 2, ..., т. (4) в о л х мвтод стммлянон лппгоксимлцин 397 Схема (1) соответствует частному случаю, когда гл = 2 и 3 = = (Я в) — диагональная матрица. Пусть ф„— погрешность аппроксимации на решении и исходного уравнения для одного уравнения (3) номера и.
Погрешность аппроксимации для аддитивной схемы (3) определяется ьак сумма $ = ф1+ $з + .. ° + Фи. Нетрудно убедиться в том, что все экономичные методы, записанные в виде (3) и трактуемые как аддитивные схемы, обладают суммарной аппроксимацией. Мы рассмотрим лишь простейшие примеры адднтивных схем вила и ульим С ~,<и — ше 1, ~р7 „1 2 . (0) 2. Методы построения аддитивных схем. Пусть дано многомерное уравнение —,=7-а+1'(х, 1), 0(~1~(1о л(х, 0)=ил(х), (7) где Л вЂ” линейный дифференциальный оператор, действующий на а(х,1) как функцию х = (хь ..., х„) — точки р-мерной обла. сти 6 с границей Г, на которой заданы некоторые граничные условия.
Для построения экономичных методов основную роль играет возможность представления оператора Л в виде суммы операторов более простой структуры, и 7.= Х 7.„. Естественно возникают вопросы: 1) Как построить экономичную аддитивную схему для уравнения (7)? 2) Как оценить порядок точности этой схемы? Попытаемся ответить сначала на первый вопрос (А. А. Самарский [16)).
Укажем общий подход, позволяющий получать схемы. обладающие суммарной аппроксимацией. Уравнение (7) или Уа = д — 1. а — 1 (х, 1) = 0 ди перепишем в виде и Х °вЂ” У,и = О, У и = — — — 7.,и — ), (х, 1), ! ди а ! Гл. чн, экОнОмичные Рлзностиые схемы где >'„(х, (), а= 1, 2, ..., р, — произвольные функции (из того же класса гладкости, что и 1(х, 1)), удовлетворяющие условию р Х ~.=1. а-! Введем на отрезке 0(г((а сетку а>(=(((=>т ! =О 1 ° ° ° 1а) с шагом т.
Каждый полуинтервал (!(, г(»(] разобьем на р частей, введя точки ((»а>р=((+а«7р> а=1, 2, ..., р — 1. полагая О(,> (х, 0) = и, (х), О(, > (х, (() = о(р> (х, ((), ] = 1, 2, ..., и(а> (Х> 1(+(а-Н>р) = О(а (>(Х, ((+(а-(нр), а = 2, 9» ' ' Р 1'= 0„1, ... (10) Каждое из уравнений (9) номера а заменим разностной схемой Пау(ю — — О, а=1, 2, ..., р (1 1) (аппроксимируя — и 7.„и соответствующими разностными выди ражениями). В простейшем случае (11) есть двухслойная схе- ма, связывающая значения у(„> = у>э (р и у( (> —— у л(а-(>(р.
Схема (11) аппроксимирует уравнение (9) ((омера а в обыч- ном смысле, так что, например, Ч' =П и(+'(р — (У и>>(+"р аар>,а/(, стремится к нулю (в некоторой норме) при стремлении к нулю шагов т и Ь„ сетки а>с„. Здесь и>, — «проекция» и на сетку; для упрощения записи индекс й в дальнейшем опускаем. Система разностных уравнений (!1) является аддитивной схемой для задачи (7).
В самом деле, пусть (р — погрешность аппроксимации на решении уравнения Уи = 0 для одной схемы (11) номера а. Величина (р„ определяется как невязка (]>„= П,и(+'(р. Представляя (р, в виде суммы (Р =(У,и)(+"Р+ Ч(, Обозначим (л„полуинтервал ((+(а (>(, < (~((> ьа(р и будем последовательно, начиная с а = 1, решать уравнения Уао(а>=0, хЯ 6, (е- =ба> а= 1> 2> ...
Р> (9) 399 А 3. МЕТОД СУММАРНОИ АППРОКСИМАЦИИ и учитывая, что (Уаи) '=(Уаи) ~А+0(т), получим ф, фа+ ф,', где фа = (Уаи) а [[ф'„[[-+О при т- О и [Ь)- О, где 1! й — некоторая норма в пространстве сеточных функций, заданных на ыь.
Отсюда следует, что Р р Ара ф =О, ф= ~[ф„' и 11ф11УО при Т-РО, ) ь ! — рО, (13) а 1 а-~ т. е. аддитивная схема (11) обладает суммарной аппроксимацией, если каждая нз схем (11) номера к аппроксимирует в обычном смысле соответствующее уравнение (9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
