Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Этот факт объясняется тем, что система дифференциальных уравнений (9) аппрокснмирует многомерное уравнение (7), (8) или Уи = О в суммарном (интегральном) смысле. В самом деле, погрешность аппроксимации для уравнения У„опи — — О номера а на решении и = и(х, г) уравнения Уп = О есть невязка ф„(1) = У и(1), где 1ен Ь . Так как У„и=(У„и)'~А+ 0(т) прн т~ [Ги Гг~,[, то фа=ф,+ ф'„, где ф„=(У,и)~~ А, ф*„= 0(т). Отсюда следует, что Х Ф, = О, ф = Х Ф. = Х ф*, = 0 (т), т. е.
аддитивная система дифференциальных уравнений (9) аппроксимирует уравнение Уи = О с первым порядком по т. Суммарная погрешность аппроксимации для системы дифференциальных уравнений (9), (1О) может быть определена также следующим образом: О+а!р — ар, и'г. Оыа-шр Нетрудно заметить, что при таком определении ф в приведенных выше рассуждениях изменится лишь последняя фор. мула: О+а/р — ф', й= 0(т). а-1 Оыа-шр Из устойчивости системы (9) и суммарной аппроксимации следует сходимость решения задачи (9), (10) к и(х, 1). гл.
юь экономичныв эхзпостныв схемы 400 Важно подчеркнуть, что суммарная аппроксимация для (9) и (1!) на достаточно гладких решениях задачи (7), (8) гарантируется выполнением двух условий: 1) оператор Е есть сумма С = (.1+ ... + Ью 2) правая часть ) есть сумма 1' = ~~ +... + Гр. Эти условия, очевидно, можно ослабить, потребовав, чтобы » (.и — ~ Л«и = О (т), !' —,'Р !'„= О (т). а ! Условие (8) используется при построении экономичных методов всеми авторами.
Вопрос о близости решений задач (9), (!О) и (7), (8) изучался Н. Н. Яненко Д. Рассматривалась задача Коши в полу- пространстве 1х) < оо, 1) О для системы уравнений = Цх, 1, О) и+ г'(х, !), где и(х,(), 1(х, !) — векторные функции векторного аргумента, Е,(х,1, О) — линейный дифференциальный оператор, коэффициенты которого зависят от х, й Предполагалось, что оператор 7.
представим в виде (8). Задача Коши заменялась составной задачей Коши (9), (1О) в предположении, что )„= ~/р. Используя свойство суммарной аппроксимации (вытекаюшее из условия (8)), которое интерпретировалось как некоторое свойство слабой аппроксимации коэффициентов дифференциально~о уравнения, Н. Н. Яненко Д доказал, что 11о(х, 1) — и(х, 1)11=0(т) (при условии достаточной гладкости и(х, 1)). Мы показали здесь один из простых способов получения аддитивных схем.
Его удобство в том, что сначала многомерная задача заменяется цепочкой более простых задач для дифференциальных уравнений; при этом легко выясняется характер краевых условий для п~ ь вид правой части )„и т. д. Если (-„ содержит лишь производные по переменному х, то такой оператор 7 «называют одномерным, а соотвегствуюшие уравнения й" пы> — — Π— одномерными уравнениями.
В этом случае говорят, что решение многомерной задачи (7) сводится к решению последовательности одномерных задач (9). Прежде чем переходить к изучению сходимости и точности аддитивных схем, остановимся на вопросе о близости решений задач (7) и (9). 3. Аппроксимация «многомерной» задачи Коши системой «одномерных» задач Коши. Обратимся к задаче (7). Пусть иа Г заданы однородные граничные условия. Будем рассматри- 4 3, матод суммАРнои АппРОксимАции 40! где,Ф вЂ” линейный оператор в банаховом пространстве Н,.
Область определения Я(лГ)~На оператора М является всюду плотной в На и состоит из функций, удовлетворяющих однородныч граничным условиям на Г. Область значений Л(Ф) оператора .рр принадлежит На. Пусть .Ф представлен в виде суммы и м=~,м, (15) а-> линейных операторов,>Ф„пересечение областей определения которых есть Я (лг). В этом случае решение задачи Коши (!4) можно свести к последовательному решению задач Коши того же типа. и> с операторами Ф„вместо Ф. Остановимся на двух способах такого сведения. Пусть на отрезке 0 (! ( !р введена сетка а> =(>у=/т, /=О, 1,, ° °, !р) с шагом т.
По аналогии с и. 2, представим [ в виде суммы Р— и перепишем (14) в виде а > р ~)~~ ( — — „, +.Ф,и — 1,) О. а > !!а отрезке [!ь !>+>) введем =!Рр >р,а=1,2,...,р — 1и "р>а> ап +заао<а> = !а а = 1, 2, промежуточные значения йа> = рассмотрим систему задач Коши ., Р, (ьыа-п>р р= ! е=.(>+а>р (10) с начальными условиями и»> (0) = ир, пп> (!>) = О>р> ((>), о>а>((>+>а-П>р) = п>а-и (!$+>а-П>р)> 1=1, 2, ..., О, 1, ..., а = 2, 3... , р, (17) вать функцию и(х, !) как функцию х в качестве элемента некоторого линейного нормированного пространства На. Тогда Т, будет линейным оператором в этом пространстве, а и=и(!)— абстрактной функцией ! со значениями в Нр(и(!)ен Н, для всех ! ен [О, !а)).
Вместо частной производной в (7) можно писать обыкновенную производную по й В результате мы приходим к абстрактной задаче Коши: — +Фи=!(!), 0(~!(~!а, и(0)=ирен Н„(14) гл. чн. экономичныс рхзностныа схвмы р'рц> и + рр< (<) оц> (!) = >< (!) !< (~ 1 ~~ 1; е„ <<< +>~а (Й) о<а> (у) [и (О !/ «~ ! е !<р<~ (18) — <р + Фр (!) о <р> (!) = !р (!), !> ~( ! ( !<р<, с начальными даннымп о<,>(0) =им оц>(т>) = о<р>(!<), 1=1, 2, ..., о<„>(1;)=о<„,>(1<+,), а=2, 3, ..., р, /=О, 1, 2, ... 1 (19) Решением задачи (!8) при ! = !рр> является, по определению, элемент о(1<,,)=о<р>(!<.,>), 1=0, 1, 2, При ! = О полагаем о< и (О) = и (0) = и,. (20) Пусть известно о(!!).
Из первого уравнсння при оц>(т,) = = о(г,) определяем о<п(1ре>), которое затем используем в качестве начально~о значения при ! = 1, для оа>(!), решаем второе уравнение (при а = 2) и т. д. После решения всех р задач найдем о<р>(!рр<) = о(1;~<). Это и есть решение системы уравнений (\8) — (20) при ! = (>+>. Если .Ф„ не зависят от ! и [ = О, то обе задачи (!6), (17) и (!8) †(20) эквивалентны. полагая о(1,) = ор(1;). Будем называть решением этой задачи прн ! = !>р< функцию о (!ре>) = ор(!>ж>).
Эта конструкция (совпадающая с конструкцией из п. 2) была использована (см. А. А. Самарский [4[ — [16[, [!9)) при построении экономичных аддитивных схем для многих многомерных задач математической физики и, в частности, для параболического уравнения (см. п. 5). Исследование связи задач (14) и (16), (17) показало, что решение задачи (16), (1?) о(г!) = = о<р>(1,) сходится при т- 0 к решению задачи (14), причем о(!>) = «(!!)+ 0(т), точнее Цо(1;) — и(!>)Ц <Мт, где М = = сопя!) 0 не зависит от т, Ц ° Ц вЂ” норма в Ор (см. Н.
Н. Яненко [6), Н. Н. Яненко, Г. В. Демидов [1)). Если оператор ,Ф =,Ф (!) зависит от ! (является переменным), то более точным оказывается второй способ аппроксимации задачи (14) системой задач Коши (А. А. Самарский [15]). На всем промежутке г>-(! (<ре< последовательно решаются р задач Коши 4 з мгтод стммхенои лппгоксимхции 4оа Покажем, что задача (18), (!9) аппроксимирует задачу (14) в суммарном смысле. Пусть и(1) — решение задачи Коши (!4), о<м(1), а =1, 2... „р — решение задачи (18), (19). Рассмотрим их разность а>а)(1)=о>а)(1) — и(1)„)) при а=2, 3, ..., р, зго ()) = и))) (1) — и (1) при ! ен [1), 1)~)), Подставляя ом) (1) = г)а) (1) + и)», и)+' = и (1)+,), и = 2, ..., р н оо) (1) к а) (1)+ и(1) в (18), (19), получаем +-1-,)а),(1) оы) (1) = )!)„(1), 1; ~~1( 1;+„1 ~(а < р, Гп)(1))=е)р)(1;), )'=1, 2, ..., е)(0)=0, а<а) (1)) = а)а-)) (1)+))> ! = 0 ! и = 2 3 ' р> г(1)+)) = а),) (1;,)), где )!)а(1)= — лба(1)и)+'+)",(1), а=2, 3, ..., р, Ф(1)= — А (!) я- д, +т)я е =[! 1)+)) Отсюда видно, что ))) = )Р) (1) + + )Ра (1) = 1 (!) — — „, — л4) (!) и (1) — ~~ А (1) и~+ '.
Учитывая, что и>+' = и(г)+ 0(т) для любого а = 2, ..., р, 1 е= [)ь 1рь)), получаем )))а = )р, + )!)а", )))', = 0 (т), Фа = )а(1) )~а(1) и (!) ба, ) ц > где 6„,> — символ Кронекера. Таким образом, а-) а=! а-1 и, следовательно, а ф=Х р.=о(,), т. е. система дифференциальных уравнений (18), (!9) аппроксимирует задачу Коши (14) в суммарном смысле с первым гл. у!ь экопомичныа Рлзностные схемы 404 порядком (при этом требуется существование и ограниченность дги 1 (в некоторой норме) Ф,(г) — „,, ). Представляет интерес сравнение решения о(1;) задачи (!8) — (20) с решением и(1,) исходной задачи.
Приведем без доказательства некоторые результаты. А. Пусть 1=0 и все 1,=0. Если постоянные операторы .4„попарно перестановочны, .М,Ф~ —— .4вФ„, а, р = 1, 2, ..., р, то при любых т имеет место равейство о(1;)=и(1,) для всех /=О, 1, ..., 1„, (21) где о — решение задачи (18) — (20), а и — решение задачи (14). Если гке .4„=М„(1) зависят от 1, то (21) имеет место при перестановочпости операторов хЕ,(1') и .М„(г"), а Ф р, взятых в разные моменты времени, К Ф1", так что з$я(К).4з(1") =Аз(1").4„(1'), а, 8= 1, 2, ..., р, для лгобых 1', 1" е=-(0, Гг), Приведем несколько примеров. П р и м е р 1. Рассмотрим задачу Коши и +аиЯ=О, 1)0, и(0)=и„ где а) 0 — число.
Очевидно, что и(1) =и„е-". Представим а в виде суммы а =а, +аг и напишем задачу 18)-(20) де + а, о ц > (1) = О, о и > (0) = и„О ( 1 ( 1, деаг — +а иеп(1) =О, оси(0) = оси(1), 0(ге= 1", где Г) Π— любое число. Решая эти уравнения, находим цо (1)= иге '', о<,1(1) = оп~(Г)е "'=и,е "' "". Отсюда видно, что о,(Г) = и(Г). Пример 2 (В. Я. Гольдин, Г.
В. Данилова, Н, Н, К а л и т к и н (1) ). Рассмотрим задачу Коши для уравне ния переноса — +Ли+1.и=О, Л и= —, а=1, 2 ди ди дг ' 'г ' " дхц ' — оо(х„<оо, Г~)0, и(х, 0)=р(х). з а метОд суммАРИОЙ АПЛРОксимАцнл 405 Решение втой задачи есть бегущая волна и (х, 1) = р (х, — 1, х, — 1), если (А(х) дважды дифференцируемая функция. Так как операторы 1'.! и Сз перестановочны, то сс (х, 1") = о, м (х, 1*), где о!11(Х„1") — решение системы уравнений + — — О, 0<1(1, он,(х, О) — р(х), дх! де> в деон + О, 0<1(1, о!я!(х, 0) — он!(х, 1 ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
