Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 70
Текст из файла (страница 70)
метод стммлвнон лпплоксимлцни кв пишется и при х~ О, причем в узле х~ уп — о, у, (-~ 'Ун> 0,55, = 0 полагаем (-) У! 'Р'= 555, ' им 05 уИ ~ уК+'Г. 0,5т =Л (1~~,)у "+Къ(1 )у '+%(, уГ+' ~ = р~~', у'+'~' ~ = 1л~+'л, у (х, 0) = и, (х), тл,2 тл, ~ (61) где 1л — выражение, определяемое по формуле 1л1+ч = 0,5 (1л + 1' + ) — 4 ((Лзр) — (Еу)!. Таким образом, и в этом случае вводится поправка в краевое условие при хенул г Здесь Л,(1 +, )у~~'~*=(а,(х, 1 „, )у~~'л), Л (г)у~ =(а,(х, 1) уД), (р~ =)ч+'л. Пусть и=и(х, 1) — решение исходной задачи (32) из $1, у1, уважь — решение задачи (61).
Полагая г1= у~ — и~, г~+'ь = у~~э — 0,5(и~+ пью), получим для г задачу г~+ ь — г~ о 5 = Л, (1~ ~ ч ) г э 'ь + Лз (11) г~ + ф( х/+ хГ+у ° = Л, (1, ) а~~у + Л (г,) гг+ ' + ф1, хl+') =0 я~+а( =тг+'* х(х 0)=0 т э т ю ~ э (62) Этот алгоритм предложен И. В. Фрязиновым [2], который показал, что полученная локально-одномерная схема сходится равномерно со скоростью О(т+ (Л(з). 10. Продольно-поперечная схема как адднтивная схема. Метод суммарной аппроксимации позволяет формулировать краевые условия для схемы переменных направлений в случае ступенчатой области, эти условия обеспечивают точность О(т'+ ~ Ь ~ з). Итак, пусть С составлена нз прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат.
Если отрезки, нз которых составлена граница Г области 6, параллельные оси Ох„, а = 1, 2, соизмеримы, то можно ввести равномерную по х„сетку с шагами й„. Будем считать, что сетка йл(С) равномерна по х, и хь Рассмотрим задачу (32) из 3 1. Схему переменных направлений, следуя 3 1, возьмем в виде по Гл. чн, экОнОмичные РАзнОстные схемы 428 где ф и фх — погрешности аппроксимации для промежуточных схем: и/+ и/+' и/+' — и/ и/+ и/+' и/+ — и/ р(=Л,(/„,,) "," +Л,(/,.„)и/. " -" +,р/, т'+'* = — 4 ((ЕНх) — (ТФ) ) Так как Л„и=К„а+ 0(йх), то ~р/=ф+$1'/, ~р/=ф+$,'/, где р'„/=0(й:+ "), "Р/= - 2 1Р'и)"'-Р ")'1 = - 2 ('и)' Р/=т(' и)' ° Отсюда видно, что ~р, + ~>, =0 и Ф1 + ~Рх = 0 (х' + ( Ь 1'), т.
е. схема обладает суммарной аппроксимацией второго порядка по т. Положим г/= о/, г/+/ — о1+/ г/~'/ = О/4'1 + х//+'1 где Ч/+'/ = Г' / — 4 (Цхи)1 при 0«(х/«1О 0(хх(/х. Тогда для о получим задачу (62) с однородными граничными и начальными значениями о/| =О, о/+'/1 =О, о(х, 0)=0 и правыми частями тх,, тх,~ р,=,р', +л,(/„„,)и *, р,=,р', +л,(//„,„)и '/ /./й "/ '/ И '/~ так как х//4'1~ определена н при х/ = О, х, = /ь то(1 л~ (//+ч,) х//+' ~(= = 0(т'+Ах), если существует непрерывная в /;/1, производная — (й/ (/гх — ) ) = Т./~.хи. ДлЯ о/+' воспользУемсЯ полУ- дх1 1 ' дх~дх,( х дх2) ченной в $1 априорной оценкой (41) и учтем, что г/е'-о/4'. 1~ е — тЛх (//+/) х ~ «( Х т ( ~ 1Р/ ~! + ~~ 13~г 1).
Отсюда и следует сходимость со скоростью 0(т'+ ~ й)'), в частности, в сеточной норме Ц, т. е. ~1 г/+111 е-М(тх+16 1') (так как ~)х — тЛхе1!>(~ г11). Если й,= сопз1= 1, то при этом достаточно, дзи чтобы существовали непрерывные в (/1, производные д'и д'и дхй дхх/ дхх~ д/ % з. метод скммлюзои лппгоксимлции 429 11. Локально-одномерные схемы для многомерного гиперболического уравнения второго порядка.
Метод суммарной аппроксимации позволяет получить абсолютно устойчивые сходящиеся локально-одномерные схемы для уравнений гиперболического типа (см. А. А. Самарский (10), (12)). Рассмотрил1 уравнение д ди , =- )~~~йии+((х, г), й,и= — (/г,(х, г) —,), и =! Йа(х~ Г) Ъ с1) О, с~ = сопз(, (63) где х = (х„..., х„) — точка р-мерного пространства с координатами хь ..., х„.
Пусть 6 — произвольная р-мерная область с границей Г, С = 6+ 1', г,) = 6)с(0<г<т1 я~= 6 х (0(г<т). Требуется найти непрерывное в цилиндре 6т решение уравнения (63), удовлетворяющее краевому условию и=и(х, () при хяГ, 0 <1< Т, (64) и начальным условиям и(х, 0) = пи(х), ' = йи(х) при х ~ 6. (65) ди (х, О) и Как обычно, предполагается, что эта задача имеет единственное решение и = и(х, г), обладающее всеми требуемыми по ходу изложения производными. Относительно 6 остаются в силе те же конструктивные предположения, что и в случае параболического уравнения (см. и. 5).
На отрезке 0 <1 < Т построим равномерную сетку ы, = (Г, = ут, у = О, 1, . ) с шагом т. В 6 выбирается такая же сетка ыы что н в п. 5. Если 6 — р-мерный параллелепипед, то для численного решения задачи (63) — (65) можно построить экономичную факторизованную схему, имеющую точность 0(т'+161'). Такая схема была исследована в 3 2. Прн построении локально-одномерной схемы поступаем по аналогии с п.
5: аппроксимируем с шагом т/р последовательно операторы дии У„и= — д, — (1.„и+1„), а=1, 2, ..., р, (66) где )„удовлетворяют условию и 430 гл, ))и, зкономичньш гхзностныв схимы !)1 д'а Для аппроксимации производной —, с шагом т7р используются выражения а<а)-2а<а о+й<а) 1 (д2а )) ча-))<З 1 а=!, 2 при р=2, где и<,) = и<+а'-', й<м— - и< '<."', и<а) —— й = и<-', иа) = и), <а) а<а-П ~<а-а) + й<а) и< ) а а т2 9 др' а=1, 2, 3 при р=З, (68) где и< и = йш = и<< ')+'<, и< а) = й<,) =и<-'<ь ДлЯ аппРоксимации Е„и+ 7а на пРостРанственной сетке а)ь воспользуемся однородным разйостпым оператором второго порядка аппроксимации Л„у + <ра. Коэффициент оператора Л„ и правая часть <р берутся в момент ~;=~, ()+ЯР+~< „.,Р)= „„.,=~< (Iр-~Л)' где )/, при р=2, )/з при р=З, а у«дается формулой (67) при р = 2 и формулой (68) при р = 3.
При р = 2 получаем трехслойную адднтивную схему, при р = 3 — четырехслойную схему. В этом отличие от параболических уравнений, для которых вид локально-одномерных схем не зависит от числа измерений р. Уравнение (69) можно записать в виде 2Уа о+2а,та<Р пРи Р=2, (Š— а т'Л)(< +" )= (70) Определение ука сводится к решению трехточечного уравнения (Š— а т'Л,) у„, = Ра вдоль отрезков, параллельных оси Ох„ так что Ла =Ла((а) <)<а = <))а(х, (а).
Напишем теперь локально-одномерные схемы для гиперболических уравнений: у< „=о Л,(у„,+у„,)+2о <р,, а=1, „р, р=2, 3, (69) ф О.МЕТОД СУММАРИОИ АПЛРОКСИМАЦИИ 431 что можно сделать методом ирогонки, пользуясь краевым условием Уев=12(х, ! „, ) пРи х = У„'. (7! ) Первое из начальных условий и(х, 0)=ио(х) аппроксимируется точно: у (х О) = ио(х) (72) если р=2; ( )'- 4 !!-! !' '!' 4 2)("! »ч! = ио + йа+ т Л!ио+ т ! !»! (Ли+ !»)) 2 2 3 13 6 2-о ~2 т ~3 !2 д (Ли+!)) (74) если р-З. Остановимся более подробно на локально-одномерной схеме для случая двух измерений (р = 2): у(х, 0)=и,(х), (Š— 4 Л!)у1*=г! при (=052, (75) у!+'/» 2у!+»»1-'!» 1, 1 4 " = —,Л,У+ +~~Н- —,~1, )=(, 2, ...
!+! — 2 !+ !'+ ! 1 1 Краевые условия имеют вид у1+'А и(х, !! „) при хан у'„, у!+ = 12(х» ! !) При х ен уо (77) Функция у!+!» находится из уравнения у!+и !»~ у!+»!» — Ф! 1» Для вычисления промежуточных значений уь =у(х, 272) при р=2 и уч =у(х, т/3), у'! =у(х, 22/3) при р=З применим следующие уравнения: ( 4 !)У (73) ! Ио+ !!о+ 4 !ио+ ! !» ! (Ли+») 2 4 8 !2-о ГЛ.
Н11. ЗКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫВ СХЕМЫ Н1 432 где Ф1 — известная правая часть, с краевыми условиями (77), 1 а У1» — из уравнения (78) где Фа= 4 Ла(иа+ 11а) «1 1 + О 5Ф« ! (79) — погрешность аппроксимации для одного уравнения (66) номера о=1,2. Погрешность аппроксимации для локально. одномерной схемы (75) — (77) определяется как сумма Ф=%+ чт (80) Покажем, что схема (76) аппроксимирует задачу (63) — (65) в суммарном смысле, Ф = 0(т + (й)').
В самом деле, учитывая, что 0,5Ла (на+ йа) = (7-«11) + О (Ьа) при х е=ыА, а, 0,5Л«(«а+ й,) =(Ь„и)1~" ~'~~+ 0(й,) при х ен е«ла 1йа«1«41а-НМ « — ( "~ 1 Р(, а), )1а1«-1УЕ 1 Р(.Е) получаем Ф«=Ф,+Ф;, где Ф,=0,5(1'.,и — 0,5 ««+7„) а=1, 2, Ф О (5„1+ т1) при хеи а« $„"=0(й,+т') ПРИ ХЕИ1«„' т2 т!» — — Л «1Ы1 = ф7»а 4 т где 91+' известна, с краевыми условиями (77). Каждое из урав- нений решается методом одномерной прогонки. Рассмотрим погрешность г1М = г11.«" = У1+'«е — и(х, 1РР«11) схемы (75) — (77), где и — решенве задачи (63)-(65), у — решение задачи (75) — (77). Подставляя у1« — -г1«1+ «1+"е в уравнение (76), получим — — Л 1«1« 4 а ( 1«~ 1а1) 111а при 1) т, ( т2 1 г« при 1 = 05т, а(х, 0)=0, х~й1« г1„1=а~+а~-'=0 при хеиу„',, а=1, 2, З з мстод стммлююп лппгокснмлцнн Отсюда следует: ф(+ ~Ц' ~' = О 5 (Е,и — О 5й + ~,)'+ О 5 (Еги — О 5й + 1,)Ы Л = =0,5((Е, + Е )и — й+), +)г)'+ О,бтфгп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
