Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 73
Текст из файла (страница 73)
" - — [Л,д/ч'Л+(Л,+Л,) д/), 3 '' /ч-'/3 д/ 1- '/2 - — '!Л,д'+ / + Л,д/+ ' + Л,д'+ /*), т 3 /Е / /+'/2 - — ~(Л,+Л,)д/ й+Л,д/ $, О т в е т. Схема ие является безусловно устойчивой (см. Н. Н, Яненко [6) ). Факторизоваииая схема имеет вид (Е-ЗЛ,)~Е-ЗЛ,)~Е-З Л)д'+'- ГЕ + 3 (Л~ + Лэ)) Е + 3 (Л2+ Лз)~ ~Е + — (Лэ+ Лз)~ д/ 6. (Е- атЛ ) д/+ /' = (Е+ (1 — а) тЛ ) (Е+ (1-а) тЛ ) д/, (Š— атЛ2) д/~' д/+ /*.
От вет. а) (Š— атЛ,)(Е-атЛ ) д Лд — (йа-1) тЛ,Л д. б) д/-ь! (Е-атЛ ) р/+' при х, =О, х, =/о в) Р(! Й! +тт) пря а=05. г) Схема ! 2 устойчива при а > —— 2 4т (Ь/ + Л~~) Указание. г) Пусть д) О, Аз — Лэ, А А, +А,. Запишем схему тэ в виде Вд/+1 - Сд/, где В (Е+атА/)(Е+ атА2), С (Š— (1-а) ГА/) (Е-(1-а) тА2), И воспользуемся достаточными условиями устойчивости Е-С>О, В+С~(й Злйлчм К гЛлвй т11 Эти условии выполнены, если А+(2о-1) тА!Аа>0, 2Е+ (2о - 1) тА+ (от + (1 - о)а) Са А, Ае > О. Так как А,Аа> 0 и 1 )А,гт~2д то 0,5 (В + С) > Е+ (а — 0,5) тА > ( + (о — 0,5) т) А > О, ! если ! о>05-,(НА Н+Н 4 Н), или «!Ьх 2 4т(Ь!+Ьх) Прн этом неравенство  — С>0 выполняется автоматически. Действительно, учитывая, что А>~( — + — ) А,Аь получаем !  — С А+(2о — 1) тА~Ае > ~ — + — + (2о — 1) т) А Аи !НА,Н НА Н Далее, 1 1 2 1 1 (2о — 1) т+ — + — >— НАюН НАаН НАюН+!Ае( НА|! Н Аа( + — + — >О, что и требовалось.
7. ! Š— — Л ! у!+ 1* — у! — — у! ( 2т ! ! + Е 2' Л ) у!+! у!+'Ь, ,) (Схема Бейкера-Олифаита [1].) л! (1 1 Ответ. а) (Š— тЛ+ — Л Л,.)! у, + те ( — Š— — Л+ — Л Л Уг, Лу- — Л,Л,У, Л Л,+Ли б) у!+!' М!+!- — Лии!+! прн к! О, !и в) 0 (1«!э+т). г) Схема устойчива при любых Ьа и т. 8. (Š— — Л! у!+ !' у! 2 ) Ю 1- — ) Е- — Л) Х 1у!+!+у!-! 2 '! 2 у!+Ъ 448 Гл чн. экОнОмиЧные РАЭИОстные схемы т' 1 / т' тс Ответ, а) )Š— — Л1)Š— — Л)У Лу — — ЛЛУ. 2 1) ) 2 2) Н 2 и1+~+ >1 б) У14'1а — — Ла(Н + Н1"') при х, О, 1ь 2 4 д'и в) Аппроксимирует уравнение — =(1ч+Е,) а с погрешностью дН О ( ) Ь Р + тх) г) Схема абсол~отно устойчива. у к а з а и и е.
При приведении к каноническому виду учесть, что У1е! + 1-1 2У1+ 2 1 Гл аз а У(о ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РАЗНОСТНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ При помощи метода конечных разностей задача Дирихле лля уравнения Пуассона аи = — !(х) в гл. 1'т' была сведена к системс линейных а.чгебраических уравнений. Порядок системы равен числу внутренних узлов сетки, т. е. 0(й-я), тле й — пгаг сетки, р — число измерений, и возрастает с уменьшением шага.
Применение прямых методов лвиейной алгебры (например, метода иск. лючення Гаусса) лля решения этой системы нецелесообразно, так как прп этом требуется большое число арифметических лействпй. Для решения разностных эллиптических уравнений обычно применяются итерационные метолы (или иетолы последовательных приближений). В й 1 этой главы мы рассматриваем современные экономичные итерационные схемы, применяемые Лля решения разностной задачи Дирихле в прямоугольнике.
В Я 2 — 4 дано изложение итерационных метолон как части общей теории устойчивости разиостиых схем (см. гл. У!). Поныв вопросом, возникаю. щим здесь, является выбор итерационных параметров. В Я 2, 3 рассматриваются одношаговые итерационные методы пля уравнения Аи = й гле А — линейный оператор, действующий в гильберговом пространстве 0, и «!(, )шО. В й 4 изучается схолимость некоторых лвухшаговых (трехслойных) итерационных схем й 1.
Двухслойные итерационные схемы для разностной задачи Дирихле 1. Итерационные схемы. Все итерационные схемы можно трактовать как методы установления для соответствующего не- стационарного уравнения. Поясним это на примере уравнения Пуассона. Решение уравнения теплопроводности со стационарными (т. е. не зависящими от времени) граничными данными и правой частью — =Ли+!'(х), хин О, 1)О, и)г=)х(х), и(х, 0)=ио(х), (1) ГЛ. У|И. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЪ| 450 (2) где о(х, Х) = и(х, !) — й(х) — отклонение от стационарного реше- ния, стремится к нулю прн 1- Оо и любой функции ое(х), В самом деле, пусть (ХА) и (шА(х)) — системы собственных значений и ортонормированных собственных функций задачи Лш+Хго=О, хан О, го!с=О, так что (шм ш ) = бд,„, где бд — символ Кронекера, а (го, о) = ) ш(х) о(х)йх, 1(го~~= )/(ш, го).
с Тогда решение задачи (3) имеет вид (см. А. Н. Тихонов и А. А. Самарский (6), гл. Ъ'1): о(х, ()= ~ се!ее(х)е А', се=(о„ше). В силу условия (гое, го ) = ЬА имеем так как 0<1|(Х,Е- ... ~)А~(... Отсюда следует, что 11 о (!) ||(е А'|!) оо|!. Требование 1!о(г)1! = 1)и(х, !) — й(х)!! < е!|ие — й!!, где 0 < е < 1— любое число, будет, очевидно, выполнено при ! ! г > — 1п — = !'. Поэтому, решая уравнение теплопроводности со стационарными граничными данными и правой частью н любыми начальными данными, мы при достаточно большом значении ! > !'(е) получим приближенное решение стационарной задачи с любой заданной точностью е > О.
Такой метод получения стационарного решения называют методом установления. Аналогичным свойством затухания начальных данных обладают многие устойчивые разностные аналоги уравнения теплопроводности. Более при г-+ОО стремится к решенн|о стационарной задачи Лй= — 1(х), хен 6, й)г=!А(х), т. е. к решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что решение однородного уравнения теплопроводности с однородным граничным условием ~"„ = Ло, о |г = О, о (х, 0) = о, = и,(х) — й (х), (3) д ь вдзностидя здддчд дщ пхлв того, можно утверждать, что итерационные методы решения разностных зллиптических уравнений являются методами установления.
Остановимся сначала на общей характеристике понятия итерационной схемы. Пусть требуется решить разностное уравнение (линейную алгебраическую систему) Аи =1. (4) Будем рассматривать А как линейный оператор, заданный на некотором линейном нормированном пространстве Н, 1е=Н— заданный произвольный вектор из Н. Метод итераций позволяет, отправляясь от некоторого начального приближения уд ~ Н, последовательно определять прибли>кенные решения уравнения (4) у> ум, уд у -н где й — номер итерации.
Значение уд44 выражается через известные предыдущие итерации дд, дд „... Если при вычислении уд+> используется только предыдущая итерация у>„ то говорят, что итерационный метод (схема) является одношагавь>м. Если же для нахождении уд+, используются две предыдущие итерации уд и дд ь то говорят, что метод итераций является двдхшазовь>м. Любая одношаговая итерационная схема, в соответствии с определением, может быть записана в виде Вдув+, = Сддд+ тд+,1, (5) где Вм Сд — линейные операторы на Н, зависящие от номера итерации, тд+> — некоторые числовые параметры.
Обычно к итерационным схемам предъявляется естественное требование: решение и ен Н уравнения (4) при произвольном 1ев Н должно удовлетворять уравнению (5), т. е. Вди = Сди + тд+>>. Так как и не зависит от й, то это уравнение и уравнение (4) будут выполнены, если потребовать Вд — Сд = тд+,А. Выражая Сд через А и Вд, перепишем (5) в канонической форме Вд д+' д +Адд=), й= О, 1, 2, ... (6) дд! Чтобы определить отсюда последовательно уь дд, ..., Уь надо задать начальное приближение уд. Итак, получаем задачу Вд ~~~ д +Адд=г> й=О 1' ° Уа задано. (7) д+1 Итерационная схема (6) при любых Вд и «де, точно аппроксимирует уравнение (4) на его решении и.
Это значит, что гл, тпь итявхционныь мвтоды 452 разность хо=уд — и, где и — точное решение уравнения (4), уд — решение задачи (7), удовлетворяет однородному уравнению Во ~~~ + Лзо О, я О, 1, ...> го=уо и. (8) оы Говорят, что итерационный процесс (схема) (7) сходится, если 11 у» — и11=112»11- О при й- ао, где 11 ° 11 — некоторая норма. Сравнивая (6) с двухслойной схемой, рассмотренной в гл.
Ч, мы видим, что одношаговая итерационная схема по форме совпадает с двухслойной схемой для нестационарных уравнений вида Я вЂ” -1-,2>и = ). о'и Ю Поэтому вместо слов «одношаговая итерационная схема> можно говорить «деухслойная итерационная схема». Таким образом, любой итерационный процесс вида (6) сводится к решению нестационарной задачи. Различие между итерационными схемами и схемами для нестационарных задач заключается в следующем: !) при любых Во и т»ы решение и исходной задачи (4) удовлетворяет уравнению (6), 2) выбор параметров тмы и операторов Во следует подчинить лишь требованиям сходимости итераций и минимума арифметических действий (экономичности), необходимых для нахождения приближенного решения с заданной точностью (в случае нестационарных задач выбор шага подчинен прежде всего требованию аппроксимации).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
