Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 76
Текст из файла (страница 76)
а~ »ч. и (64) Последовательность (т») выберем так, чтобы для каждого а а= [11, Ц нашлось хотя бы одно значение т», / = 1, ..., по, такое, что выполняется (63) и, следовательно, (64). Построим последовательность интервалов (еь ~»+1), покрывающих отрезок [ть Ц, полагая $о=ть е»(е»~„ /=О, 1, ..., п„где $„(1, а $„~,)! (числа $„6„..., Е„,„! и ко подлежат определению). Тогда любое значение а ~ [»», Ц будет принадлежать некоторому отрезку [е -н Ц, т. е. , «(а«(Е», и, следовательно т»е» ! ( Т»а («т»зп Потребуем, чтобы выполнялись условия ТД» 1=т(1, т»З» — — М>1, Зо=ть (65) где т и М вЂ” положительные числа, не зависящие от т!.
Отсюда находим А! 1 1» = — Ь-1 = — 1»-1 т о $»= —,. т1, д= — (1. (66) Требования 6„(«1, Е„1)! будут выполнены, если 11(»/~ Т!)»/л,+! Отсюда следует, что ! (!»ч! ! „!Е(!/ч) ( по « (,„ (!/41 (67) Из (65) определим последовательность (т»). Так как т»+14» — — т т»$» — — М, то т»+1 = »/т» 1- 1* 2~ ° ° »»о 1, »/= т/М, т1 = »и/т! (68) Таким образом, т„т„..., т„образуют убывающую геометрическую прогрессию.
Из (67) видно, что число параметров (т») !. РАзностнАЯ зАдАНА диРихле равно ио> )и (!/ч) )и()/0) — !. В частности, для задачи Дирихле в квадрате на квадратной сетке с шагом й имеем т) =б/Л=1ио(ий/2) = = пой~/4 и, следовательно, ио — — 0(1п(1/й)). После ио итераций с параметрами т„т, ..., *„в силу (64) справедлива оценка 11 ел~ )1 ( р 11 ео 11 (69) где (70) т и М вЂ” любые числа, удовлетворяющие условию 0 < ги < 1 < М. Проведем теперь йо циклов с набором параметров , определенных выше, полагая ин то„~ =тл й=1, 2, ..., й — 1, 1~(/(и.
В силу (69) имеем 1)г"" !((р11 г!'-!!" 11, й= 1, 2,, „й, Отсюда следует, что )! в мп, 1! ( рм )1 ео 1! (71) Условие 1! Е! ~ (! ( е 1! ЕО 11 (72) будет выполнено при р'"(е. Отсюда находим ! и (!/0) ! (!/й) ' (73) Таким образом для решения задачи (3!), (32) после йо циклов с набором параметров т„т„..., т„(по ним из формул (59) находятся т!'! и т!/!), где ио и йо определяются согласно (67) и (73), для общего числа итераций верна оценка и (е) = иойо ". .Но 1п (1/о))! и (1/е), (74) где ио — — (!п(1/р)!п(1/!/))-! — постоянная, зависящая от параметров т и М.
Так как !/ < 1, р < 1, то хо убывает с убыванием !/ и р. Поэтому при фиксированном !/ число яо минимально, если минимально р. Минимум р, очевидно, достигается при (! — т)/(1 + т) = (М вЂ” !)/(М + 1). Отсюда находим М = 1/т и /! — ги)з ! Р=! !+,„/ ~ о= !+щ ! ° 4 !п — !ив !-т т Минимум но(т) находится численно: т = 0,4 и но = 0,32. Сравнение (74) с (68) показывает, что циклический набор параметров не является оптимальным, Однако асимптотические гл.
чш. итвелцнонныв методы порядки формул (74) и (58) совпадают (с точностью до множителя): л = 0(!п(!/6)!п(1/е)). 5. Итерационная схема для разиостиой задачи Дирихле повышенного порядка точностие). Для задачи (13) рассмотрим схему повышенного порядка точности на прямоугольной сетке с шагами й) и Аз) Ь')+ Ь,' ЛЪ (Л,4.Л .~.
' ЛА) — ~)») * „) р) ) )7)) где Л„о = о;,, а= 1, 2. Эта схема была получена в гл. 1Ч, $1. Здесь й2 й2 )р=/+ — 'л,/+ — ' л /. 12 12 Схема (75) имеет точность О(! А!), ! 6!'= Ь)+ Ьк ~а на квадратной сетке (й) = йк = /1) прн соответствующем выборе Ч) — точность 0(6'). Рассмотрим соответствующее операторное уравнение (неоднородные краевые значения учитываем изменением правой части в приграничных узлах): А о=Чей Л =Л)+Аз (х)+хг)А)Ам х)>О, хк)О, (76) где А) и Аз — линейные операторы, заданные на Н. Предположим, что 1) А) и Лк самосопряженные операторы и бкЕ(А„(К,Е, 6„)О„а=!, 2.
2) А, и Ак перестановочны, А)Аз= А,А,. 3) хк(!/Л„так что существуют положительные операторы (Š— х А,) '. Лемма 3. Если выполнены условия 1) и 3), то операторы А, =(Š— х,А„) ' А„, и= 1, 2 (78) имеют границы 5, и Л„, т. е. баЕ ( '4а (АаЕ~ где б, и Л, определяются формулами б Ь а 5 а (79) 1-к„б ' к 1 — к Ь„' ~! См. А.
А. Самарскнй !221. з <. Рлзностнля 3АКАчА днгнхлв — 1 -1 Представим А, в виде А,=(А, — х,Е) . Из условия (77), в силу самосопряженности А„А,' н А,' — х,Е)0 следует, что (1!Ла хь) Е ~( Аь хьЕ ~((1/ба хь) Е. Так как х„<!/Л„то Ь,Е (А, = (А,' — х,Е) (Л,Е. Лемма доказана. Ле м м а 4. Если выполнены условия 1) — 3), то уравнение (76) эквивалентно уравнению (А,+А,)о=<р, <р=(Š— х,А,) '(Š— хтА,) '<р, (80) где А, и А, определяются согласно (78) и являются самосопряженными положительными операторами с границами б„<ь< бх б2 В самом деле, перепишем (76) в виде А, (Š— х,А,) о + (Š— х, А,) А,о = <р. (81) Применяя к (8!) оператор (Š— и<А<)-'(Š— ххАЗ)-< и учитывая перестановочность всех операторов, получим (80). Обратный ход рассуждений очевиден.
Итак, решение уравнения (76) сведено к решению уравнения (80) с самосопряженными перестановочными операторами Л< и Ям границы которых определяются по формулам (79). Для уравнения (80) можно воспользоваться продольно-по. перечной схемой. Однако, имея в виду переход от Л„ к А„, будем исходить из факторизованной схемы (Е+ т<н А )(Е+ т<'> А.) у = (Š— т~> <А<)(Š— т"',А,) у + (т<<<~~< + та<< <) <р. (82) Применим к обеим частям этого уравнения оператор (Š— х<А,) (Š— хтАЗ) и учтем, что все операторы перестановочны и (Š— х,А,)(Е+ т<<<< <А<) = Š— х,А, +т«< <(Š— х,А,)А, = Е+(т<<<<< — х,) Ан (Š— х, А,) (Š— т<<2< <А,) = Š— (т<", + х,) Аг В результате получим схему (Е+ (т<п, — х) А<)(Е+(т~~ < — х) А ) у - (Š— (т<<м < + х,) А,) (Š— (то< < + х ) А,.) у + (т)н < + т<<я+<) <р.
(83) 468 ГЛ. ЧИ1, ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Записывая эту схему в каноническом виде ~Н ' ' т'1'+1+ т)1(.1 убеждаемся в том, что она точно аппроксимирует уравнение (76) на решении о. Итерационная схема (83) эквивалентна продольно-поперечной схеме (Е+(тг'1,— х,)А,)у „ч =(Š— (т1'1,+к,)А,)у +(т111»„1 — х,)»р, (85) (Е+(т)'1, — хе) А,)у, =(Š— (т1", +х,) А,)у, +(т1,'1, +к,)»р. (86) Эквивалентность (83) и (85), (86) деказывается по аналогии с гл.
1?П, $ 1. Из (85) и (86) находим (умножая (85) на тг+1+к1» (86) на — (т11+1 — х1) и складывая результаты): 1т)+1+ тг+1) у1»гг» 1тгг.1+ к1) (Е 1тг;1+ хг) Аг) уг+ + (т11+11 — х1) (Е + (т111+11 — к,) А,) уг „и (87) Подставляя (87) в (85), получим (83). Обратный ход рассуждений очевиден. Для погрешности е,+1 — — уг 1 — о, очевидно, получим однородное (с »р = О) уравнение (83), которое эквивалентно однородному (с»р= О) уравнению (82). Поэтому разрешающий оператор схемы (83) равен разрешающему оператору схемы (82), который был рассмотрен выше (в п.
3 н п. 4). Тем самым задача о выборе итерационных параметров для схемы (85), (86) или (83) свелась к уже решенной задаче о выборе итерационных параметров для схемы (82). Нужно лишь всюду в формулах п.п. 4 и 5 заменить б„, Л„величинами б„, Л„. Общие рассуждения для операторного уравнения (76) закончены. Обратимся теперь к схеме повышенного порядка точности. Сначала опишем вычислительный алгоритм. Подставляя в (85), (86) вместо А„оператор — Л„получаем $ (88) (Š— (т~га 1 — х ) Л ) уг, =- (Е+ (тгл 1+ к,) Л,) у ч + (тга 1+ х,) »р, Как ставить граничные условия? !) Если правые части»р учитывают в приграничных узлах неоднородные краевые условия, то положим у,=у, =0 при хауз. 2) Если же мы хотим поставить граничные условия на уы не меняя »р в приграничных узлах, то следует учесть, что уравнение 4 !, я»зностн»я з»д»ч» диянхлв 469 (87) должно выполняться не только при О <х! (1!, но и на границе при х! = О, х, = 1!.
Полагая в (87) у; = у;+, = р, получаем у, = р, )»=)»+(н!+яз)Л»)», х, =О, (89) у/.»! =у/=)» х~у» Следует иметь в виду, что я, =й-'„/12, а = 1, 2. Порядок счета: 1) вычисляются б и Л„по формулам (79), 2) зная Л„Л и пользуясь результатами п. 4, находим параметры (т!)н) и (т~'-!), соответствующие схеме (88), 3) после этого методом прогонки по строкам и столбцам решаем систему уравнений (88) с краевыми условиями (89). В п. 4 была получена приближенная формула для числа итераций л(е), обеспечивающих точность е> О. Для задачи (88), (89) она имеет вид (90) л (е) —, (п (4/т)) ! и (4/е), где — ! - !!(!Ь,— Ь!!ь -! ))з !+$ ' (.(а!+Ь,) (а,+6!)/ Пользуясь этой формулой, нетрудно сравнить число итераций для схемы второго порядка точности (л(е)) и для схемы повышенного порядка точности (й(е)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
