Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Задача об отыскании (п(~~Т„!! сводится к задаче об отыскании нижней ~рани нормы оператора перехода 5. Эта задача хорошо известна и для конечномерного случая решена в 9 1 (лемма 1). В произвольном гильбертовом пространстве имеет место аналогичная Теорема 2. Пусть 5 = Š— тС и вьгполнены условия С = С', у! Е < С < у Е, у, > О. Тогда ~~ 5!!<1 при 0 <т< 2/у„а 1п1!15!! достигается при т = те', 1п1 !! Š— тС !! = ~! Š— теС ~! = ре, где 2 1 — с Ч, Д о и а з а т е л ьс т в о.
Так как 5 самосопряженный оператор, то !! 5!!= зцр ! (5х, х) 1, !!хН-1 *) Вопрос о вычислительной устойчивости схемы (20) исследован также а работе В. И. Лебедева и С. А, Финогенова 1!), где вредложеи устойчивый набор М р(р1) параметров (рь) и дано его обоснование методами, отличными от изложенных выше. (Добавлено при корректуре.) э и теОРия итеРАционных дбухслопных схем ОбщеГО ВидА 49! где (Ех, х) = !! х 1(с — т (Сх, х) = 1 — т (Сх, х). Учитывая, что у,Е(С(у,Е, получаем: 1 — ту,«((Зх, х) (1 — су, и, следовательно, !! 5 !! = Гпах (! 1 — ту, 1, ) 1 — ту, !). Функция )(т) = гпах(!1 — ту, !, ! 1 — туз(), как было пока- зано в $1, достигает минимума при т= то = 2/(у, +у,) и равна )(т~) = р„т.
е. п(!! Е !!-!! Е(то) !!- ро, что и требовалось доказать. Следствие. Для схемы (23) при оптимальном значении параметра т = то верны оценки !!Є— и! (Роо)Уо-и~, В=А или В=Е. 3 а м е ч а н и е 1. Теорема 2 следует из теоремы 1, если положить и = 1. При этом т = то и 1 — Е Ч1= с =Ро= 1+р( 1+$ ус 3 а м е ч а н и е 2.
Теорема 2 следует из необходимого и до- статочного условия р-устойчивости схемы (24) (см. гл. П, 9 1): — РЕ<С( ~Е и условия ограниченности С, у Е<С <уЕ. 1-р !+р В самом деле, из равенств ' = уь — = у, сразу пот с лучаем т = то и р = ро. Для выбора оптимального итерационного параметра т = то и вычисления пип!!5!1=ро достаточно знать постоянные уь уо эквивалентности операторов А и В (т. е. границы оператора С).
Поэтому отыскание у~ и ус при заданных А и Е является основ- ной задачей теории. В следуюгцих двух пунктах приведены при- меры нахождения !и! ~٠— нижней грани нормы оператора пе- рехода для операторов специального вида. 3. Вычисление нормы оператора перехода двухслойной схемы с весами. Рассмотрим оператор 5 = (Е + соА) ' (Š— ГоА), А = А* ) О, (25) гл, чн1., гйеРАционные методы где в сопз! > О. Это оператор перехода схемы (Е+'вА)гА+1= =(Š— вА)гд.
Требуется найти оптимальное значение в = во из условия 1п1 11Я. Представим 5 в виде 5-Š— 2вА(Е+вА) '=Š— ТС, где т- 2в, С (А '+ вЕ) '. Найдем границы у, и уо оператора С или гранины !/уо и 1/у, оператора С-'. Будем предполагать, что А А', бЕ(А(ЛЕ, б)О. (26) Так как б-1Еч, А-! 4.'.б 'Е, то (Л '+в)Е(С ' =А '+ вЕ~((б '+ в) Е, так что у!Е(С ~уоЕ, у, б/(1+ вб), у, =Л/(1+ вй). (27) Воспользуемся теперь формулой то=2/(у, +у,) или 2во(У!+Уз) 2 во(1+в з+ 1+ а) =1 вобл 1, т.
е. во !/)/й, т, 2/)/Я. Подставляя это значение в в (27), находим а луч з у 1+Уч 1+Уч' а' у! а «Г вЂ” 1-$1 — )! Ч 1 = т'Ч ро= — = уо аУ Ч ' 1+5 1+у'Ч ' Таким образом 1п111 811 !И11(Е+вА) '(Š— вА))= 1, в=в,= —. (28) «! Ф 1+)гЧ' ' у за ' Тот же результат можно получить, если записать схему го+1-Яга с оператором перехода (25) в канонической форме е — са В А+' +Аг =О, В Е+вА. 2в Отсюда и из (26) сразу находим (/о ' + в) А н,:, В ((б ' + в) А, т. е. у! б/(1+'вб), уг = Ь/(1+'вб).
Дальнейшие рассуждения, приводящие к (28), остаются без изменения. 4. Неявный метод переменных направлений для случая неперестановочиых операторов. Перейдем ко второму, более сложному примеру применения теоремы 2. Пусть А=А,+Ао! $! 4 Х ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОИИЫХ СХЕМ ОБШЕГО ВИДА 493 где А! н Ах — самосопряженные и неперестановочные операторы с границами би Л! и Ьв Лх: Аа Аа, ЬаЕ » (Аа «(ЛаЕ, а * 1, 2.
(29) Для решения уравнения (!) в этом случае применяют двух- параметрическую схему переменных направлений (Е+ «з!А!) у«+ !, =(Š— !«!Ат) уь+ !«н», й О, 1, ..., (29') (Е + !««А!) у«+! =(Е !««А!) Уь+'!» + «4» У«ен Н. / Для погрешности ЕА = уь — и получим однородные уравнения (Е+!«!А!)Еь+»а =(Š— !«!А«)еы 6 О, 1, ..., 1 (30) (Е+а«А«)еь«! =(Š— а«А!)еи.»А, а« ~ Н.
Обозначая оь = (Е + а«А«)гы после исключення еь+»а получим уравнение оь« = Еоь, Е = Е!Ем й = О, 1, . ° о«ен Н (3!) с оператором перехода ~1~2 Е! =(Е+!«!А!) '(Š— в,А!), Е, =(Е+!««А«) '(Š— !«!А,). (32) Введем обозначения » » » » Ь! =б!+вы Л! =Л|+с«, ба=᫠— с«, Л«Л« — с«, ) (33) с« = (Ьх Лг — Ь! Л!)/(б! + 6«+ Л! + Л«).
Теорем а 3. Пусть выполнены условия (29), где Л, > О, Лх > О, б! > О, бт > О. (34) Тогда для оператора перехода (32) при значениях параметров «»« »«и ! ! «!Х» !««=== (35) !+ «с«! - «с«Р'6'Ь' УЬЬ'Л,' верна оценка ! — 'Р'Ч1 ! — ф'ч', - 11 Е 11«(р, р = —.,' !+)'ч! !+ уч,' » —,, а=1, 2, (36) Ьа гл, чш, итег»ционные методы 494 т. е. для итерационной схемы (30) имеет место оценка 1) (Е + в»А») г„(1 ~( р"!! (Е + в,А,) го 1!. Доказательство. Нетрудно видеть, что из условий (34) / 1 следует положительность величин Л„бв а = 1, 2. Произведем преобразование А~-— А1+соЕ, А»= А» — соЕ, (37) так что А, + А» = А1+ А» = А, б„'Е < А,' ( А»Е.
Постоянная с, выбирается из условия 61о) =6»Л». В результате преобразования (37) оператор (32) принимает вид 5=5 =5~5», Я~ =(Е+а1А1) (Š— а»А~». 5» =(Е+ в»А») (Š— в~А»), где а1 в1Н1 в1со) во вл1 + а»со)' (38) Для определения а', и в', и оценки ~~Я~! представим схему / в»+~ 5~5»о» в виде последовательности двух схем с Р о»+~ = В~ о»+ум о»+ч, = Зоо», каждую из которых запишем в каноническом виде ~ о»+~ г»+Ч, Г» В~ ',, ' + А1о».»а =О, В1 Е+в1Ао а) + в» , о»„Ч вЂ” о l » В» +, ', + А»о» О, »— - Е+ а»Ав а1+ в» где ~а аа уьа 1 ~а~ ю уаа ~ ~акю в ° а=1 2. ва а ач ч Параметр к= а',+ а', для обеих схем один и тот же.
Учитывая, что (1/Ьа+ ва) Аа а Ва ~((!/Ьа + ва) Ап, а = 1, 2, получаем неравенства / / уь аВ» ~ (Ао ~(уа аВи 41 з я таош!я итаелционных двххслоиных схим оащаго аидл 4зз Пользуясь формулой т(у, +уз) =2, по аналогии с предыдущим пунктом, находим 1 1 (39) ~13~)<13',!ЯЗЯ< ' ~"'. ~-"" ,=(ь 1 + ч! ! + ч2 / / / / т1а = ба/Ла, а = 1, 2. Из (38) и (39) следуют формулы (35) дчя итерационных пара- метров /а! н !ов Теорема доказана. Замечание. Теорема 3 остается справедливой, если вме- сто 6! ) О потребовать 6, + 6з > О, 6! (1 + бз (1/Л, + 1/Л,)) + 6, Ф О.
При этом возможен случай, когда л!! < О, гол > О. Пример. В квадрате С/ = (О = х„хл(1) рассмотрим за- дачу Дирихле для эллиптического уравнения Е!и + /.ли = — / (х), х = (х!, хл) е= 6, д (Ь(х) д )/ а=1,2, д Г ди! дха для) и )г = р (х), О < с, ( Ь (х) ( с„ где à — граница квадрата. Пусть ал=(х!=(!!Ь, !лЬ)~ 6, !л=О, 1, ..., ЛГ, а=1, 2, Ь=1//!/) — квадратная сетка с шагом Ь, Л = Л, + Лм Л„о =(а/ох ), а„=0,5(Ь+ Ь( а)), а= 1 2. а Сформулируем разностную задачу Дирихле: /(х) х~/лл о~т =1!(х) т1, где у/, — граница сетки. Для решения этой задачи применим метод переменных направлений (29'), где формально положим А„= — Л„.
Пусть й = Н вЂ” множество сеточных функций, заданных на йл и равных нулю на границе уж Рассмотрим оператор Ао = — Ло при о ~ л), А А,+Ам А,о= — Лзо, Ало= — Л,о при оый. и т а таовия нтегхционных двтхслоиных схем овщаго вида 4дт где р дается формулой (36), т = е~ + ем ы~ и ыт определяются согласно (35).
Доказательство. Первое утверждение леммы доказывается непосредственным вычислением. Докажем второе утверждение. Согласно теореме 3, ~|Ях)Р (рЦхР для любого хе= Й, т. е. 1~ (Š— тС) х К(2 = 1! х т — 2т (Сх, х) + т' ~~ Сх 1г ( ррв 1( х )~ Отсюда получаем О) тЦ~ Сх!Р— 2т(Сх, х)+ (1 — р')Ц х'(~) ) т' !~ Сх /~ — 2т Ц Сх Д х ~1 + (1 — р'И~ х 52. Решая неравенство 5т — 25+ (1 — рэ) ( О, 5 = т ~~ Сх 1~ Д х 1~, получаем 1 — р«(5 (1 + р, нлн — ~! х1«(11 Сх1( ~~ х 1~. (44) Отсюда и из (44) следуют неравенства (42), (43).
3 а м е ч а н и е. Если А1 и Аэ перестановочны, то В = = (Е + кчА1) (Е + ыэАт) — самосопряженный оператор и из оценки )|Я~ р следует где р и т = а~ + еэт даются теоремой 2. Таким образом, нам в этом случае известны постоянные эквивалентности операторов А н В: у, =(1 — р)/т, ут — — (1+ р)/т. 5. Факторизоваииые итерационные схемы. Оператор В в итерационной схеме 'естественно выбирать в некотором допустимом семействе операторов так, чтобы 1) отношение 5 = уйуэ было максимальным (рс — минимальным), 2) В был экономичным оператором (число действий 1г(в) минимально в некотором смысле, например, по порядку относительно 5 при $-+О).
При построении В обычно исходят из некоторого оператора 77 = = В* > 0 (регуляризатора, ср. гл. ЧИ, 3 2), энергетически эквивалентного А и В: с|тс «( А «(сэр, сэ ~ )с, > О> (45) у,В(К (у,В, у,) у, >0. (46) Тогда справедливы неравенства у В(А(у,В (47.) ГЛ. 71П. ИТВРАЦИОР!НЫВ МВТОДЫ С ПОСТОЯННЫМИ у, с,у„ у, = с,у,. (48) Зная у! и уи можно пользоваться теоремой 2. Оператор й выбирается обычно как регуляризатор для не- стационарной задачи (задачи Коши) с тем же оператором А. Примеры выбора й демонстрировались в предыдущей главе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
