Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Позтому для погрешности г/+'2 = у/+'/2 — и, г/+' = у/+' — и получим однородную задачу 2/ /~ 2/ Лг/+ь+Л2г/ г/+»10 т!и ' ' «» /+ ! 2/+ — 2/!» =Л,г/+'/+Л,г/+', г/+!~ =0 г,=иа — и. Рассмотрим сеточное пространство Н„введенное в предыдущем пункте, и обозначим А,г = — Л!г, Азг = — Л»г, где г — любой вектор из Н. Операторы А, и А2 обладают, как показано в гл. !Ч, $ 2, следующими свойствами: 1) А! и А2 самосопряженные операторы, 2) А! и А, положительно определенные и ограниченные операторы: б Е <А„(Л„Е или ЦЕК)2(~(А„г, г)~(л„!г!2 для всех г я и, (34) (33) где б = — з(п— 4 ° 2 ила а,2 ю а а Ла- —,соз' —, а=!, 2, (35) 4 2 ила а а 3) операторы А! и А, перестановочны.
Последнее свойство выполняется только для прямоугольника, т/и )О т/2/ >Π— числа. Эта схема с т!'! =т/а =0,5т= сопя! /+! ' /+! гл! /+! была рассмотрена для уравнения теплопроводности в гл. Ч!1, $1. Так как в данном случае граничное значение и)г = /2(х) не зависит от /, то для вычисления у/+'/*~ поправка не ввотл дится, и у/+/ ! =/2(х). В гл. Ч!1 был описан алгоритм решет» ния методом прогонки системы алгебраических уравнений (31), (32). Он сводится к последовательному решению по строкам уравнений вида з ь РАзностнхя 3АдАчА дияихлв 459 Перепишем задачу (33) в виде (Е + т<,", А,') г'+ь = (Š— тД, А ) г~, (Е + то~~, А ) г1+' = (Š— т)2~~, Л,) г1+'А.
(36) Задан произвольный вектор г~ из Н. Исключая, как было показано в гл. Л2П, гып2, получим фак-' торизованную схему (Е+ тю А )(Е+т<>,А )гl+'=(Š— т~п А )(Š— т2 ),А)гй (37) В силу перестановочности А, и ЛЗ отсюда следует: (38) Применяя формулу (38), найдем гА = Т„го, где ҄— разрешающий оператор, равный (40) Т„=П5. 1 ! (4! ) Оператор Т„представляет собой произведение перестановочных самосопряженных операторов и, следовательно, является само- сопряженным оператором.
Из самосопряженности Т, следует, что Н Т„И= шах! ЛА(Т„) !, (42) где ЛА(Т,) — собственные значения оператора Т„. Найдем выражение для ЛА(Т„). Для этого нам понадобится тот факт, что перестановочные самосопряженные операторы А и В имеют общую систему собственных функций, а также легко проверяемые свойства: 1) если А = А*, В = В*, АВ = ВА, то Л(АВ) = Л(А) Л(В), Л(А + В) - Л(А) + Л (В), 2) Л(В ) = л(н), где Л(А) и Л(В) — собственные числа, соответствующие одному и тому же собственному вектору. гыи = 52+2г2 где 5~ — оператор перехода, равный 52 = 52 5~, и) и) 5~'~ =(Е + т~2пА~) (Š— т) ~А~), 5~~я = (Е+ т2~иА2) .
(Š— т)' А2). (39) ГЛ, ЧП1. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 460 Пусть Л(м — собственное значение номера !г, = 1, 2, ..., !)/,-1 оператора А,. Тогда будем иметь (номера я, опускаем) (2) (П (П (2) Л З ) ( ) <щ ' т/ ! <«п ' '! 1+ (пх<п ( / ! 1+ ЩЛ(э т/ и, следовательно, т( 'Л") 1 — т(! )Л(2) ~! !— Л (5/) = 1+ (43) (!)Л<О 1+ (2)Л(2) ' / ~/ Т(в)(!) 1 .(!)Л(2) 1+ 2(!)Л<!) 1+ 2(2)Л( ' ' / / (44) причем б < ЛА, </1)!, б <ЛА, <Л„ и) (2) где б!, 62 и Л), Л2 определяются по формулам (35). Из (40) получим оценку 1[ел[[я 1[Т [[[[во[! Норма оператора Т„согласно (42) и (44), равна (45) (2)) (!) 1 ( П) <2) 11 Т„[1= !пах П и) <2) -«"«- 1+«<пью 1+2()л(2) ««А"., !-! / Ц (46) < )Л<') 1 — 2<')Л< ) ~ / / ппп гпах П <„о, «„и . (47) ['В Ю "" [« ~ 1«2' '121 Точное решение этой задачи найдено Жорданом (см.
Вашпресс [3]). Мы изложим основные этапы его рассуждений (без обоснования заключительного этапа). Кроме того, мы дадим приближенное решение задачи минимакса; это решение может Так же, как и в п. 2, мы приходим к следующей задаче минимакса: найти такой набор параметров [т</!)) (т<2)), чтобы норма оператора Т„была минимальна при заданном и. Заменим в (46) Л</," ,и Л(А", непрерывными аргументами Л(!) Еи[б(,Л!], Л<2) ен[6«,Л«]. При этом правая часть в (46), вообще говоря, увеличится и знак равенства в (46) следует заменить знаком (.
В результате мы приходим к следующей задаче минимакса: найти такие положительные числа т<'), ..., т<!) т<'), ..., т<'), и = и(е) (О < е <! — любое заданное число), при которых достигается 5 !. РАзг!Остнля ЕАдАчА днРихле 461 быть использовано и в других случаях (напрнмер, для схем 0(йг) и 0(64) при р = 2, 3). 4. Выбор итерационных параметров. Две системы параметров [т!)!)[ и [т((2)[ выбираются в (31), (32) потому, что собственные значениЯ опеРатоРов А! = — Л, и Аг= — Лг Расположены на разных отрезках. Если б! = Лг = б и Л, = Лг = Л, то выбирается одна система параметров (т,), т. е.
т(р = т(" = т) Если же б! ~ бг и Л! ~ Лг, то с помощью дробно-линейного преобразования переменных Л(!) и Л(2) задачу (47) можно свести к задаче мннимакса для случая, когда спектры операторов А! и Аг лежат на отрезке [ч, 1), где ч > О. Тогда вместо двух параметров то' и т(у) можно взять один параметр. Итак, рассмотрим функцию 1 — т(2)Л(!) 1 — т(!)Л( ) [(т(!) т(2) л(!) л(2)) !+то'л(') !+т(2)л(М ' где (!) , (г) .(и т(2) + г (!) ' + (2) Вернемся к системе уравнений (49).
Выразим () и г через р: 2Л, Лгг = Л! — Лг+ (Л, -1- Лг) Р, д = г + (1 — Р)Ь!. (52) Подставив (52) в (49), получим два уравнения: [б! (Л, + Л,) (! — Ч) + 2Л2(Л, — б!)[ р б)(! Ч)(Л! Лг)+2Л2(Л(Ч б!) [62 (Л! + Лг) (! + ч) — 2Л2 (Л, + бг)] р = (53) = — бг(1+ 21)(Л, — Лг)+ 2Л2(Л)Ч вЂ” бг), (б! ) где ЛО) ж [б), Л!), Л(2) еи [бм Лг). Вместо Л(!) и Л(2) введем новые переменные а и р, меняющиеся на отрезке [ч, 1[, где ч > О. Для этого положим Л(!) " Р Ла) Р Р (48) Ч вЂ” га ' д+гр ' где р, (), г — постоянные, подлежащие определению, Требуя, чтобы а = [) = Ч при Лп) б, Л(2) = бг и а = [) = ! при Л(') = Л), Л(2) = Лм получим четыре уравнения для р, (), г, 21: 6 (() — Ч ) = Ч вЂ” р, Л (() + Чг) = Ч+ р, ! Л)() -г) =! — р, Л2(Ч+ г) =! + р..1 Прежде, чем решать эти уравнения, преобразуем функцию ): (50) гл.
шц, итегхционные методы 462 Введем вместо т) новую постоянную $ = (! — т))/(1 + т)), так что т)=(1 — 5)/(!+в). Тогда уравнения (53) преобразуются к виду [(А1 — бт) лт+ ть61 (61 + Лз)[ Р = (Л~ 6~) Лт (ля+ 6~) М [(Л вЂ” 6И +Р (6 +А)[Р= — (Лт — 6т)61+(Л +бе)ЛЛ ) (54) Перемножая эти равенства, исключим р и найдем / (л, — л,)(л — л ) е= у (л,+л)(л,+л) "= )-ьй. (55) Зная й, определим р из (54) и д, г из (52): тт — $ (л~ — л~) лт А лт+ (л1+ лт) Р ) Р и+6' я (л,+лбл, ' ' ал,л, ' и "+ л, (56) Нетрудно убедиться в том, что к) $ и р) О. Таким образам, / преобразована к виду (50). Так как аи> и вн> входят в (50) симметрично, а тт и р меняются на одном и том же отрезке, то полагаем ып) — етии — ы о — н Э Тогда вместо (47) получаем задачу о нахождении минимакса Вводя обозначения 0= — т)т~! + — т)'/ о= —.
/ 1 2 2 ) 2 2! 16 'т 2 /' 2/ ю ю ' 'з э и р=ппп шах Д ~ '~) . 1) Выбор параметров «по Жордану». Решениезадачи (57) найдено Жорданом и приводится в статье Вашпресса [3). Оно довольно громоздко и мы не будем его излагать. Приведем здесь лишь формулы для вычисления оптимальных параметров ти~ и т6'. Пусть задана точность е итерационного ! ! ' процесса и пусть известны границы операторов Ао Аьс баЕ ~~ '1а » ~~-~аВ~ '-~а ~ ба ~ 0 или 6 (Х(А ) (6„, а = 1, 2. Зная б„и Л, по формуле (55) находим т) =(1 — $)/(1+ $) н по формуле (56) — коэффициенты Р, д, г.
После этого вычисляем число итераций п(е), обеспечивающих заданную точность е, по приближенной формуле п (е) = —, )п (4/е)! п (4/т)). (58) 4 >. гкзностнкя зкдкчл дигнхлв 463 получим для вычисления ь» формулу (>+ вв) (>+ в') аа"а(>+В> ь+В>+") Теперь остается определить, согласно (51), искомые параметры т>и = чи>+ г чи> — г та> (59) > > — и При этих значениях параметров для задачи (31), (32) справедлива оценка !! а'!! < е !! гь!!. После этого можно приступать к решению задачи (31), (32). Рассмотрим частный случай; б, = бз = б и Л> — — Лз = Л.
Формула (55) дает: У„И ( > ), 0<»~<а~<1. > > (60) Набор параметров (т>) представляет собою /гь циклов параметров т„т„..., т„, так что т = т, т „= т„, ..., где ча Параметры т„т„,. „т выберем так, чтобы У.,~<р<1, (61) где р не зависит от >!. Л е м м а 2. Пусть даны функция /( ) = ~ —,',„")' и два числа т>0 и М>0, т<1<М. Тогда >пах /(х)=>пах~( ), ( — ) ~=р<1. (62) $ = (Л вЂ” 5)/(Л + б), т! = б/Л.
При этом и = в, р = г = О, д = 1/Л и преобразование (48) примет вид Л»> = аЛ, га> = 6Л и ь>»> = Лги>, ь>а> = Лтг». Условие ь>»> = ь>п> дает т>>> = т>з> = т. 2) Циклический набор параметров. Другой, более грубый, способ выбора параметров (ь») для разностной зазачи Дирихле в квадрате на квадратной сетке был предложен в 1955 году Писменом и Рэкфордом (!] (см. также А. А. Самарский, В. Б.
Андреев [11). Преобразование, проведенное в начале этого пункта, сводит задачу для прямоугольника с Ь> Ф.йз к задаче для квадрата с квадратной сеткой. Поэтому, достаточно рассмотреть задачу о минимаксе функции (заменим в (57) «» на т;) ГЛ. ЩЦ. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 464 Найдем /'(х) =4(х — 1) (1+х)-'. Так как /'(х) (О при х(1, ['(х) > О при х > 1, то /(х) принимает наибольшее значение либо при х=т,либо прн х=М. Из леммы 2 следует, что, если условие т«(т»а- М (63) выполнено хотя бы для одного/ = 1, 2, ..., и при любых аее[ть Ц, то гпах г"л ~ р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
