Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Первое слагаемое, в силу уравнения (63), равно нулю; (Е,+ Е,;)и — й+1=0, ) =~, +),. Поэтому (81) т. е. схема (75)-(77) обладает суммарной аппроксимацией. Рассмотрим теперь сумму грг + 2гр, + ггг = 05 1(Е,и — й + ~г)~~ '+ (Еги — й + )г)' "1 + +(Еи — й+ 7)'=((Е, +Ег)и — й+~, +)г)'+ + (юг-~'Ь 2ф! .~ г);1-'6) = тг(~> ) А т. е. Ф + 2фг + фг = т' Йг) г, = 0 (т'), (82) Дальнейшие рассуждения, для упрощения взложення, проведем в предположении, что область 6 — прямоугольник, 0=(О~~хи~~(а п=) 2) и сетка ыл равномерна по каждому направлению: йл =(х,=Цап (гйг), 1„=0, 1, ..., М„, й,=ЦК,). В пространстве 11 сеточных функций, заданных на сетке йл и равных пулю на ее границе ул, введем скалярные произведения у,-~ сп — ! Л~ %-1 (у, о) = ~чп, ~ч; ур,.й,й,, (у, о), = ~ч", ~ч'„ уги,й,й„ и-~ ь-1 ь-1 ь-~ Ж,-! Ж.
(у п)г= Х Х угиАйг. и !и ! Покажем, что схема (75) — (77) абсолютно устойчива и сходится, по крайней мере, со скоростью 0(т+)й)г). Решение задачи (78) представим в виде а = я+ о, где $— решение задачи (78) с правой частью гр„= гр, а и — решение задачи (78) с правой частью гР,=гР", ГЛ. !»Н. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫБ СХЕМЫ и! 434 Найдем априорную оценку для $, учитывающую свойство суммарной аппроксимации (8!). Умножим уравнение (78) для $„скалярно на~„-~ т($ )г Учтем, что ~! ~! ($! ~2) + 62 ~!) Й!» + ~2»)' з -~='й!.+~2,) (Л.й.+~.) ~.-~.)= (" Ч (" ~'.1. ~'. ((Ф )..)' Предположим далее, что а(х, Г,') удовлетворяет условию Липшица по 1, т.
е. а,((! +сгг)й . Тогда можно написать (а,, $2 ~ ~((1+ с,т)(а,, гягг ~ . В результате получаем энергетические неравенства 1В!à — !ВХ+ 4 (ап ФЫ < 4 (1+ )(б ° ВЫ +'("р Вп+В,) )~~! !! !1~! ~~ + 4 ( 2' ~2~12~ 4 ( + г )( 2' ~Й1~ А' ~ь ~п) Складывая эти неравенства, найдем 7((1+сР)У+ т(грн $, +$ь)+т(грн $, +М (83) где (84) 2 1 ~! 1 + ( !' ь !! + 4 ( 2' ~2 12 Используем теперь свойство (81) и преобразуем слагаемые » 'у+»/» содержащие гр! и фг = 2)и!+а! т(2Р! Е2,+ь!)+т(2Рг» $2,+~!») т(2)»н 6!)!)+т(2Р. » (ьг)!)' Подставляя сюда Ф2= — Ф!» г! Ф2+'ь-тФ»гр -(гг'+ь-гргг)1 * получим А тг(,Р гь ) 1. и(,Р (Ц) (2Р2 2,) (гь 1ь)+ (гьмп 2 ) (2Р~2, ~ )' Гл. нн.
экОнОмичные РАзностные схемы и! Подставим теперь выражение для Х, в формулу для Х/+, и учтем неравенство т (ф//+'/*, е//+/) — т(ф~//+'/*, ц/'ь) ( »( 2 (!! ~/+ ! !!! + (и( ($1 )/+'//)) + + — ! ф/+'ь !!! .1 ' !! ф/+'а !(!) ~! Тогда получим / Хьы »<2(е+с,) Х тХЛ+Р/, 1=1, 2, ..., /' ! (85) где Для решения неравенства (85) применим лемму 6 из гл. !/1, $1, согласно которой из (85) следует оценка ( г ч 2с~ (а+с!) // (а .1- сз) Х тг '. /' (86) Если существует вторая производная по / функции ф, = 0,5 (Х.,и — О,бй + Хт), то Р/ = О (т').
где /~1 4( !' А1! 4(4' АЙ' (88) Для выражения 8 =т(ф'н (о,),)+т(ф,', (о,),) ((ф " ) + (ф ое)) (ф ) —. (ф'„, б,) Таким образом, для $ справедлива априорная оценка (86), Обратимся теперь к задаче для функции о. Вместо (83) получим неравенство К»((1+ с,т) /!; + т (ф'„(о,)) + т ®, (о,)), (8/) $3. МЕТОД СУММАРНОЙ АППРОКСИМАЦИИ !и 437 имеет место оценка ~< 1(Р )+(Р )! + 4 (Жп,,), +(б, И+ ) —.(8„((2((Г~ — „', (2'(() гдее) 0 — любое число. Подставим эту оценку в неравенство(87): К,, ~< (1 + (с + е) т) К, + т ()р,(, О) + (), + + т ((р ) + А, О(+') + — ( — $(~)р*)' ($2 -(- — $ (р'(' "( () ) (89) На первом слое имеем тождества ((2(( 4( ' *,(*-:)1-(2( (УТ)) 11 О, (х, )~' + — (а, ~х, †), О„ (х, )~ = ~( О, ((х, Ц' + + ()р, О (х, т) ), ) ( ) ( Р(' ) ) ( Р2' 2)' Просуммируем (89) по 1'=1, 2, ..., 1 и учтем (90): ! К(ч) <(со+а) ~~з~тК(,+()р)), (+')+()р,"( ', О)+')+ )' ) ( 7 22 (2 + Е Х (,ВС, ((22)( ~! + ЗС, (((с22 )(7 ' /' ) Учитывая затем неравенство (р' )+%' )~ з К)+)+ (з„йМ ()2+~Й~Ч)' применяя лемму 6 нз гл.
Л, 5 1 и полагая е = 1/(2Т), получаем К, =м гпах ()!2ф",)'(2+)/)Р',)+А!)2+(1(Р',)'/()+/!Щ+м~/2), (91) оси<2 где М вЂ” положительная постоянная, зависящая только от с„ с, н Т. Объединяя оценки (86) и (91) для $ и О, приходим к сле))ующей оценке для г = д — Рн з1 '1! +1~а! ]1 ~ ~(Мт п)ах ДФ2д+м)+1(()22;'261+11(Р)+А~)+ ~ М Х (((2')"""" ((~.(((2 )г "чц()) (92) о<гхт ( -) где М = сопз! > 0 — зависит только от с(, со и Т. 4ЗВ ГЛ. ЧН.
ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ пз Из этой оценки следует, что локально-одномерная схема (75) — (77) сходится со скоростью О(т+ ~Ь~'), если решение и = и(х,1) имеет непРеРывные в Ят пРоизводные по х до четд'и вертого порядка включительно и производные —, удовлетводк„ ряют условию Липшица по 1; правая часть 1 должна быть дважды дифференцируемой по 1.
12. Аддитивные схемы для систем уравнений. Рассмотрим задачу (83), (84) $ 2 для системы уравнений параболического типа. Прежде чем переходить к написанию аддитивной схемы для решения задачи (83), (84) 5 2 представим оператор 1, в виде суммы двух треугольных операторов, 1. = 1.— + 1,+.
Для этого представим матрицы й„, в виде суммы й,„= йаа+ байи, где йаа = (йаа ), йаа = (йаа ) — треугольные матрицы с элементами -РР! РЕ +Рт 1-5Р! ЮР! йаа = йаа, йаа = О прн п1<з, Йаа = ь йаа = 0 прн и$ > 3, йаа = йаа = О,бйаа Матрицы й„и ййи сопряжены друг другу, так как й„' — — йй„ Отсюда следует, что + ~ д /~ ди1 1аа=1аа+1аа 1аа= '(йаа дка ( дка ) Введем операторы а-! а 1-а и = 1- и + Х 1 аа и =,~', 1.иаи, в-! 1. Еи=1иви при ~<а, Р Р 1-а и = 1-йии + Х 1 ааи Х 1йаи> й-а+1 в=а 1.йаи = 1.,ви п ри р > а, и представим 1. в виде Р Р 1,=1 +1.", 1, и= ~ 1.ии, 1,+и= ~~.", 1,йи. (93) а=1 а-1 Решение системы уравнений (83) $ 2 или д! (таи+1йи) — (7и +1й))=0, (94) а-! где ~~'„~ (1,, +)й) 1, сведем к последовательному решению а ! а 2.
МЕТОЙ СУММАРИОИ АппРОксИИАции 439 системы 2р уравнений ! Уа АГ ~ а о+ (а> ~Г+(а-1)Г(2Р)«»>«»ГГ+аГ(2РИ (95) ЕР а( — УГ = ) а о + >Та > ГГ+1-аГ(2р) «» Г «» ГГ+1-(а-1)Г(2Р)> ! а='1,2, ..., р. Аппроксимируем Г'.,* операторами Л» вида а Р Л.- = ~ Л.-,, Л„' = ~ч" ,Л,',, В а Л»аи = 0,5 [(Г(»аих ) + (Г(» и„) Очевидно, что Л„аппроксимирует Е» со вторым порядком. Коэффициенты Г(»а будем брать в один и тот же для всех а н й момент Г = Г +, или в какой-либо другой момент реп(ГП Г Напишем теперь аддитивную схему а УГ+'Г('Р)- УГ+('-')('Р) %2 Г+а)(2Р) > 1!+аГ(2М = Р Л,ау Р +(ф,) +' 3-1 Р ;>»аау + (фа/ > а а=1, 2,..., р, (96) где а, =2р+ 1 — а, 81 =2р+1 — 8 и а, меняется от р+! до 2р, прн этом а меняется от р до 1.
При х ен у,", задаются обычные краевые условия: у)+ал'Р)=)(Г+а)(2Р) при х еи у'„, а =1, 2, ..., р, у(+а,)('Р) )(Г+а,Г(2Р) при х ануа, а, =р+1, ..., 2р. (9У) Начальное условие удовлетворяется точно: у (х, О) = иц(х). (98) Для определения у(+а(2Р)=у И уГ+'ГОР)=у ПОЛуЧаем Сн(а) (а>) стемы уравнений (Е ТЛаа) У(а) = Ра > (Е ТЛаа) у(а>) = Ра+> а-1 ра = т Х Лаву(а) + тфа + у(а-и> а 1 Р г а, = т ~2 Лаву(а,) + т(р, + у(.. + ~> + + а+) ГЛ.
ЧН, ЭКОНОМИЧИЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ вг Так как Фаа — диагональная матрица р Х р с клетками, являющимися нижними треугольными матрицами, то из системы уравнений (Š— тАаа) д1а! = Ха последовательно от з к а+ 1 методом прогонки находятся компоненты у,'„, а= 1, 2, ..., и, вектора р„!. Двигаясь от а к а+! и от з к а+1, мы при помощи формул прогонки для трехточечного уравнения последовательно определим векторы у!ы, а= = 1, 2, ..., р.
Аналогично от а+1 к а и от з+! к з из системы (Е тАаа) У!а! = !'а, определяются векторы р1р+!ь ..., 91гр!. Последний вектор 91гю /Е1 и есть рещение р =у,гр! на слое 1= 11.Р1. 1ак как система дифференциальных уравнений (98) аппроксимирует уравнение (83) 5 2 в суммарном смысле, а каждое из уравнений (96) номера !х аппроксимнрует уравнение (95) того же номера в обычном смысле, то адднтивная схема (9б) — (98) аппрокснмирует исходную задачу с порядком т + )11(г! Р 2, (кр- + ф+) О (т+ ! й ! ) а Рассмотрим пространство й сеточных вектор-функций, заданных на сетке й„и равных нулю на границе ух сетки. Введем в Й = Н скалярное произведение: (у, о) = ~ (у', о'), (о', ок) = ~л~~ о (х) о'(х) Ь Ьг...
Й», к 1 кяаЛ Рассмотрим операторы А = ~ А,, А+ = ~ А,+, а 1 а-! а Р Аау= с~~ Ааааа, Аау = — ~ла~ А~аар, у ~ г!. а-1 !1=а Покажем, что операторы А и А+ сопряжены: (А у, о)= (у, А о) для любых р, ой!1, если матрица Й =(Ф;а) симметрична, т, е. Еыполнеио условие /гМ7 = йра'. 4 3. МЕТОД СУММАР!ЮИ АППРОКСИМАЦИИ 1г) 441 В самом деле, так как )гаа = йао, то (А у, о)=0,5 ~ а-! = 0,5 з Р =0,5 Х а ! Р = 0,5 ~ а-! что и требовалось доказать.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
