Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Отсюда следует, что (А у, у) = (А+у, у) = 0,5 (Ау, у)» О,бс, (Ау, у), Р где Ау = — ~ уг „, так что а ! хаха' Р Р (Ау, у)= ~4(1, уху [ >8~ г (~У~Р а ! а а Таким образом А и Л" положительно определенные опех раторы: А ~ ~бЕ, Л ) бЕ, б = 4с! ~х~~~ )а а-! Чтобы доказать устойчивость схемы (96) — (98), воспользуемся теоремой ( из п. 4, согласно которой для задачи а я, =~Л-Х, +~.-. и. = ~ Л+а„о+р„+, яса) О, х,а) — — 0 при хану„", а(х, 0)=0 кч имеет место априорная оценка Р /+! !! ( М ~х~ ((р-)г+ангР) 1 (р! )) +! ы-1)!ьа)) о<1 <1! а-! + й4г )~т !Пах .с~~ (!!()Ра) [+!/()Р ) [[) о<Г<!а Отсюда следует, что аддитивная схема (96)-(98) сходится со скоРостью О()) т +(8 1г) в сеточной ноРме Ьг.
а Р ~ [(й, ух, ~ [(й;.у„ Р ~ [(й+ от, о;,) + (й,оу„, о„ )1 = о, ) + (й„- у„, о„ )[ = о )+(й,у,, о )[= уг ) + (й,)во„, у„) [ = (у, А+ о), ГЛ. ЧН. ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ !!о 442 Перейдем теперь к задаче (96), (97) 5 2 для системы уравнений гиперболического типа (см. А. А. Самарский [12)): Р Р ~~~,~ —,' ф+(Е. +©и+~.) =0, '~', ~.=~.
(99) а-! а-! а — у! ! = д~ Лаоу!з! + 7з Л>еу!о)+ фа о ! з а а = 1, 2, ..., р, (х, 1) ен о!о Х оо„ У<а! »о(х> Уа) ха 0 1а> и !> 2» ' ' ' Р> у (х, О) = ио(х), (101) где ф =1,(х> г',), Т,'=г! ! „; коэффициенты !газ беРУтсн в момент 1,', УТ, определяется одной из формул (67) или (63), аа ор —— 0,5 при р= 2, ор— - 1,5 при р= 3.
Второе начальное условие аппроксимируем, полагая У =ио(х)+ йо(х)+ а о (Еио+>Р(х 0)) а=! 2> ° р 1 Полученная аддитнвная схема, очевидно, обладает суммарной аппроксимацией ф = ~ч'„ор, = О ( +1й ~о), а ! Для определения вектора уеь! = У<р> получаем систему уравнений (Š— о тоЛ ) укя = Ра, где ра выражается через векторы у,, р < а.
Эта система решается последовательно от а к а + 1 й от з к з + 1 прн помощи обычных формул прогонки. Меняя ролями Л, и Л+, получим вторую схему а Р У! ! = ~Я~ Лазу + ~а~и~ Л ауз!! + ф ° (102) аа з-а Решение этой системы сведем к последовательному от а к а+1 решению (с шагом т/р) более простых уравнений (100) Аппроксимируя каждое из этих уравнений в обычном смысле„ получим аддитивную схему ЗАДАЧИ К ГЛАВЕ УП 443 В этом случае счет идет от а + 1 к а и от з к з + 1. Чередование схем (101) и (102) дает третью схему.
Пользуясь энергетическим методом, по аналогии с предыдуп(им пунктом, можно получить априорную оценку для погрешности г = у — и, нспользуюп(ую свойство суммарной аппроксимации. Из этой оценки следует сходимость аддитивиой схемы. Задачи к главе АГП Здесь будут рассмотрены экономичные методы для решения уравнения теплопроводностн и(х,о)=и»(х), р 2,3, л д1 дхц в цилиндре б Х [О ~~ 1< 1»1, где б — прямоугольник (0~(ха(~1а и=1, 2) прн р = 2 или параллелепипед (О~(ха~~1а а 1, 2, 3) при р 3, На границе Г области б задано краевое условие первого рода и [г — — р(х), х=(х„..., хр).
В б вводится сетка й», равномерная по каждому направлению х (сс 1, ., р) с шагом Ь„; пусть у„„,— множество граничных узлов при ха = О, х„1и. Как обычно обозначаем Л у = ухала Пусть Н» — пространство сеточных функций, определенных на й» н равных нулю на границе у» сетки, (у, и)- ~ у(х) о(х)А, ... Ьр.
хе в» где суммирование проводится по внутренним узлам хшб сетки. На отрезке О ~ (1(» 1» введена равномерная сетка с шагом т. Будем рассматривать здесь только те экономичные схемы, которые экви- валентны факторизованной схеме. Требование эквивалентности, как мы отмечалн, означает, что для проме- жУточиых значений Уз+иге кРаевые УсловнЯ на У» е Должны быть заДаны специальным образом.
Следует иметь в виду, что прн изучении устойчивости мы предполагаем, что у[ = О. Только прн этом условии можно рассматривать у(х) как влет» мент пространства Ню Если дан какой-либо экономичный метод, то надо: а) исключить промежу- точные значения н написать фанторизованную схему, б) сформулировать крас- ные условия для у>+егг, прн которых имеет место эквивалентность этой схемы соответствующей факторизованной схеме, в) оценить порядок аппроксимации, г) исследовать устойчивость факторнзованной схемы (пользуясь общей тео- рией .
каждой задаче требуетса выполнить все четыре пункта, ГЛ. Щ/. ЭКОНОМИЧНЫЕ НДЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ 444 Прн изучении устойчивости факторизоваиной схемы Ву,+Ау-ф, где В = В, ... В„, В»= Е+ тР», рекомендуется использовать следующий критерий. Если схема с В Е+ т ~~", /1» устойчива и операторы Ра положи- а-/ гольные, самосопряжениые и попарно перестаиовочныц то факторизоваииая схема с В = В» ... Вг также устойчива.
/+»/» / /е/ /е»/» У -Л,у/+'Л+Л,у/, " " -Л,(у/е/-у/). т т (Схема Дугласа — Рекфорда (!).) Ответ. а) (Š— тЛ,) (Š— тй,) у/ Лу, й Л, +Лз. 6) у/+/' р/+ — тЛ,(р/+ — р/) при х, О, 1ь у/~' р/+! при х» О, 1». в) Схема имеет аппроксимацию О ((й !»+ т). г) Схема устойчива. У к а з а н и е. Приведем схему к виду у/+»/» у/ (Š— тЛ») Лу/, Л Л» + Ль у/+1 у/ у/+»/» у/ (Š— тл,) т т /е»/» Отсюда сразу исключаем уне/' — у/ и получаем факторизованную схему. 'е» Краевое условие для у'+/' следует из второго уравнения. у/т»/» у/ / 2.
-а,Л,у/+/*+(!-а,) Л,у +Л,у/, у/т / у/+»/» а»Л» (у/+ ' — у/). т О та ет. а) (Š— о,тй,)(Š— о тЛ )у/ Лу, б) у/+/'=р/"' — то Л (р/+' — р/) прн х, О, 1ь в) Схема амеет аппроксимацию О (т»+(Ь(»)+ О ( ! ໠— 0 5! т)+О (! о» вЂ” 05(т), т. е. О (! АР+ т) при о, = аз =05. г) Схема устойчива при 1 ! ао)О и о ) — — „, а 12. Схема абсолютно устойчива при оа) 0,5. Указание. г) Пусть у! О.
Тогда Аа — Л»„А А»+Аь А» и А»в Та положительно определенные, самосопряженные и перестановочиые опера- торы, так что А»А»>О. В данном случае В (Е+»т,тА,) (Е+ оетА,) Е+а/тА» + а»тА»+ о»азт»А»Аа,  — 0,5тА Е+(о, — 0,5) тА, +(а,— 0,5) тА»+о!аат»А!Ат в ~ Е+(о/-'0,5) тА»+ (оа-0,5) тАз, зддАчи к ГлАВе ти 445 так как а,а,«) О. Учитывая затем, что Е) Аа/!!Аа!! и требуя 0,5Е + (а„— 0,5) тАв, «) ( —, + (аа — 0,5) т) Ао ) О, 1 а - 2!(Аа!! 1 получаем аа «> 0,5 — —. 2т !! .да 1 ' у!+ /в 31 3. -,Л,у/~-"+(1-а,) Л,у/+(Лз+Лз) у/ у/+Ов у/+'/в = а,Л,(у/+ /в у/) т /+! /+ /в =азЛз(у — у ) т (грн о, - а, = оз 0,5 — схема Дугласа (4) ).
з Ответ. а) (Е-о,тЛ,) (Š— о тЛ )(Š— а тЛ ) у Лу, Л ~к~~~ Л, а-! б) у/+/'= р/+ т(Š— а.тЛ ) (Š— азтЛз) р/ при х,-О, 1!, ву/~/' р/+'— — т о Л р,' прн хз О, !з. в) Схема имеет аппроксимацию О(! Ь ! +т ) при а,-оз-аз 0,5, 0(!6)з+т) прн пав 05, а 1, 2, 3. г) Схема устой- чива при оо) 0,5, а 1, 2, 3. У к а з а н и е. а) Обозначим -( /+ /з- ~/)) Тогда уравнения записпутся в виде (Š— о,тЛ,) ю! = Лу, (Š— озтЛ,) юз иво (Š— а,сЛ,) юз юз. / Последовательно исключая отсюда ю, и ю! и заменяя из=(у + -у )/т /+! получим искомую факторизоваииую схему. у/Ев/в у/ 4.
= о, Л, у/+ /' + (1 — а,) Л, у/, у/+ ! у/+в/в овЛзУ/ь + (1 а!) Лзр/+/5 Ла Показать, что при аа — — —, и 1, 2, эта схема имеет аппроксимацию 2 12т' О(!А!в+та) Ответ. а) (Е-а,тЛ )(Š— о тЛ ) У,=ЛУ+(1-а,-а ) тЛ Л у, б) у/+/'= = авР/+ — авазтЛзн/+!+(! — св) Р/+(1 — а) (1 — а) тЛзР/ пРи х, О, /о /+! Если а!-а 05, то у/+/' 05(р/+р/+') — — Л и/прих! 0,/п в) Схема "о при а о, - О 5 имеет точность 0 ( ! Л !'+ т'), а при о„= — — — — точность ! 2 12т /2 0(!Л!в+ с').
г) Схема устойчива прн ао)0,5 н а„ 2 12т' Указание. а) Перепишем уравнения в виде (Š— а,тЛ,) у/+/'-(Е+(1 — аз) тЛ,) у/, (Е+ (1 — о,).тЛ,) у/+ /' (Е-а,тЛ,) у/+'. ГЛ. УН, ЭКОНОМИЧНЫЕ РАЭНОСТНЫЕ СХЕМЫ 446 Умножая второе уравнение иа аь первое — иа (1 — а,) и складывая их, получим д/+/' = а, (Š— а тЛ2) д/+'+(1 — а~) (Е+ (1 — аэ) тЛ ) д/. Подставим это выражение в первое уравнение и после очевидных преобразований получим (Е-а/тЛ,)(Е-а,тЛ,) д/+' (Е+(!-а,) тЛ,)(Е+(1 — а,) ГЛ,) д/ (при этом перестановочиость Л, и Лг не используется).
6) Краевое условие при х, = О, х/ /, следует из полученной выше ~ормулы для д/Ч'/2. в) Пола грешиость аппрокснмапии схемы при а = — — — исследована И. В. Фря. а й 13т зиновым (6), 3 а и еч а ни е. И. В. Фряэинов (6) показал, что эта схема имеет точность Р(161'+ т') в случае, когда область Р— ступенчатая, т. е, составлена нэ прямоугольников со сторонами, параллельными координатным осям, причем не только лля первой краевой задачи, но и для третьей краевой задачи. /+У2 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
