Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Заметим, что уравнение ! Со=!р устойчиво по правой части с константой 1/у1; !!о!!-~ ~"!! ф!уу!. Предполагая, что ~1 — — О, получим '(20!! =!!Т„ой(20!1+Я !!ф(! 4 а твоаия итягхционных двххслойных схем овщвго видх 483 где л чп ~4т! 1! Тп ! 11=«1 11 52 5«11+т211 53 ' 5«11+ ' '+тп Л 5«1!+ тю ! ! Потребуем, чтобы Я„(1/уи т. е. 11г.1! =4 11я01!+1~ф!1/у и покажем, что зто требование позволяет упорядочить множество параметров (тх» таким образом, чзо полученный итерационный процесс будет устойчив по отношению к ошибкам округления. Опишем сначала «устойчивый набор» параметров (тз», а затем покажем, что для него Я„(1/уь Параметры тх будем определять по формуле ть — — ' й=! 2 ...
п !+вчн» ' где рх выбирается из множества нулей полинома Чебышева: 2! — ! рьян%„=~соя — и, 1=1, 2, ..., п~(. Рассмотрим сначала случай, когда п есть степень числа 2: и=2~, р>0. Основной принцип построения «устойчивой» последовательности параметров ри )и, ..., и„ в случае, когда п кратно 4, п = 4т, т = 1, 2, ..., состоит в выделении групп по 4 параметра ( †с й, соз й, — ейп й, з!и й).
Этой четверке параметров соответствует произведение (блок) 54(р) = 5 ( — р) 5(р) 5( — т)) 5(т!), и=совр, П=з!пр, 5 (р) = Š— т (р) С, т (р) = тс/(1 + р4р). Будем определять !44!4„а = 1, 2, 3, 4 по формулам р444~ соз ()44.и р44«з = соей!+и где ИФ!43 З1П()!4! Р4!44 = З!П ~!4.И где ! = О, 1, 2, ..., п/4 — 1. Последовательность (рд» задана, если указаны п/4 параметра !)и (), ..., р„и. При построении устойчивой последовательности (рх» будем исходить из минимального ()=/( ) гл.
шп. итз»лпионпыз методы 484 и рассмотрим последовательно множества из 4 2з, 8 2', 16 = 2', ..., 2з и т. д. параметров (рз). Эти множества строятся по рекуррентным- формулам М,Щ) (- соз(3п соз()п — з)п()п з!п8Д, МзЖ)=М %)() М (и/4-0) М!б (р1) = МВ а) () М8 (Я/8 — (11), М а(Р,)= Ы,~-~(Р,)()М,а ~(п/2 ' — Д,), й=З, 4, ..., р — 1. Множество М,~()1,), очевидно, содержит все множества меньшего индекса. Полагая п = 2», получаем Мз»%) = Ю!» (рД Р, = и/(2п) ь и/2» '.
Из формул для М,ь(6,) видно, что (1и-, + ))и = и/4, 1= 1, 2, ..., и/8. Поэтому для задания последовательности М,»ф,) достаточно указать лишь параметры бз нечетного номера /' = 21 — 1, всего и/8 чисел. Формулируем правило для вычисления рзд+,. При определении 8м~.~ для 2' ' «й «( 2 следует найти 8,~+, по формуле 13„-, = и/2'+ — бп после чего воспользоваться формулами для ()и~, при й ( 2'-', предварительно увеличив в этих формулах все индексы на одно и то же число, равное 2'-' (сдвиг индексов вправо на 2'-'). Таким образом, надо находить лишь йц при й = 2*'+ 1 и пользоваться указанным только что правилом при переходе от / к с+1. Пронллюстрируем это правило.
Итак, задано йь Полагая 1= 1, ! = 2, найдем ~ =(),,„,=и/2з — ~3,=п/8 — (3п 8 =8,, и/2з — 8, и/16 — 8. Чтобы найти ~,-йи+„возьмем формулу для 8, и увеличим входяшие в нее индексы 3 и 1 на 2з 4: р, - и/8 - !)з. 1! $ е теория итеРАциониых дзухслоииых схем Озшего ВидА 466 Далее, положим Г'=3 и определим йр = йр,, и/2з — 6, = и/32 — 6Р Применяя затем правило сдвига на 2з 8, сразу напишем 61~ = я/8 8р Ом = я/16 — 8р 8м = и/8 — йм н т. д.
Если, например, и =64, то остается лишь найти четные ()д, — и/4 — 6„, Если а=128=2', то нужно вычислить еще 8 параметров 6ЕГГ, нечетных номеров. Имеем 6, =йз,, =я/26 — 8 =и/64 — 8и Правило сдвига индексов вправо на 2' = 16 дает. (1ж = и/8 — йи Ь = я/16 — 0и рез = я/8 — реи йрз = я/32 — 11и, Гам = и/8 — (3зз ()рр = я/16 — 6м йм = и/8 — 1Ь. Перейдем теперь к доказательству устойчивости схемы (2) с последовательностью й4,р®) параметров ~1А Д.
Множеству А4 А(6) соответствует произведение операторов 5еь(13)=5,А-~(Щ5ер ~(я/2 — р), й=2, 3, ..., р, 54 (р) 5з (р) 5г (и/2 — р), где 5, (6) = 5 ( — соз (1) 5 (соз 6). Нам понадобится норма произведения 5,А(8), й=!, 2, ... Так как 5,А(()) есть полипом Р,А(С, 6) степени 2 относительно самосопряженного оператора С С', то вычисление нормы рер (0) = ~~ 5ЕА (РЦ сводится к нахождению максимума полинома г',е (з, 6), зеи (уи у.]. Найдем выражение для р,р(6). Начнем с й=1.
Вводя обозначения 1А=созй, а()А) 1/(1+р,1А), Ь(р)=1-рффи' 1/(а(-р)а(р)), получаем Р,(з,й)=(1- (- )з)(1- (р)з)= =а(р)а(-Н)(1+ран-ту)(1-р1А-т,з)- ((1 тез) рр1А )/(Ь (1А) ) = /е (ГР 6) где / (Ги Я=оеВЯ-р'), а,(6) =р,'/(Ь(р)), 1, =/1-т,з)е/рз. 16 А. А, Самврскиа гл. чн!. нтвр»ционныв методы Так как О ~<! 1 — тза ! з=! 1 — тот! ! = ! 1 — тоуз ! р„то !! ен(0, Ц. Аналогично находим гз(з, и/2-Р) /з(!з, и/2 — Р)=рог! — т~~!(ь(з))), т3=з!пР, т. е.
/з(!„и/2 — !3) =аз(п/2 — !3)(Е! — з)з). Рассмотрим теперь 7з»(/», !3) при 1=2, 3, ...: Уз(!з Р) =Уз(г! Р) /з(г! и/4-Р) =аз(Р) аз(п/2 — Р)(г! — Р')(!! — т3») = - а, (Р) а, (и/2 — Р) (гз! — г! + 3»зт3з) = — а, ф) (г, — з(п- 2Р), где гз = 41! (1 — !!) ~ [О, Ц, а, ф) = а, (!3) а, (и/2 — Р)/4. Г!родолжая рассуждения, найдем /з(гу, Р) =/,*(~з Р) =/4(Ез Р)/4(гз, л/4 — Р)- — а„ф)(!~ — з!!г»4Р), !з = 4!з (1 — !з) ~ (О, Ц, аз ф) = аз (Р) а, (зз/4 — !3)/4, /,»(г~ Р)=/,»-~(/~ р Р)/,~-~(1» ! и/2 — Р) = = — а,»ф)(! — з!и 2» 'Р), где а,»ф)=аз» !(Р)аз» з(зз/2 ' — Р)/4, ! =4!» !(1 — !» !)еи(0, Ц, Покажем, что верна формула 2о» 2р~! а,»(Р)= „, где д = 1 — д,» со»2 Р 63 При /з = 1 имеем а ф) - роз/(! — розрз).
Подставим сюда р, = -2р/(!+р~): 4рз! 4р! 24» азф) 22 2 2 з з (1+ р ) — 4р р 1+ р — 2р! со» 2Р 1 — Чзсо»2Р Пусть формула для а,» верна при Ь = И. Покажем, что она верна и для й = Ь'+ 1. Обозначая л»=2», получим 1 ззз аз (Р) = — а ф)а !1 — — Р) = 4 оз ! — д„,саз тР ,1 ззз 4рь!з (1+ р~!~)~ — 4р~!'з соз озр ! + разо' — 2р~з~ (2 созз озр — 1) 1 — оззсо»2»зр что и требовалось доказать. и $2. теОРия итеРАциоииых двухслойных схем ОБщеГО ВидА 4ат Учитывая аатем, что а' при а»~ )0,5, Гпах 1! — а'! = Ф е 10, !1 1 1 — ао при а»(0,5, находим искомую норму р»»((3) ~(а»»((3) Гпах ! !» — Б!и 2~-!р ! =а»»((3)х»(р), ! 1о,п где )' соа22» !0 при 2» !(3 =я/4, »(() ( Б!и'2» !~ при 2» !()~~я/4. Перейдем к оценке 1;1„, предполагая, что а =2».
Нам понадобится величина о»((3), определяемая по формулам о (!3) =а ((3)Б!по(3, а»(р) рог/'(! — Р2!»2), ро =сов!3, о„(!3) = о»(Р) о,(я/2 — 9), оо((3) =О»(Р) и,(я/4 — !3), ... о,»(0)=о~ !(0)о,» !(я/2»-' — р), /2=2, 3, ... Отсюда и нз формулы для ао»()3) видно, что о»(!3) ао»(р)е!И22»-!~(1, /2=1, 2, ..., р. Сравнивая формулы для ро»((3) и о2»((3), видим, что р»((3) =а»(0), если 2» !~)я/4.
Рассмотрим сначала выражение А ((3) . !! с !! ! . т»Р»(1+Я») Ров! 1+ Рояг = то(1+ Ро)//22 = (! — О»((3!) )/У! так как то=(! -Ро)/у! Аналогично найдем А» (я/2 — (3!) = — (! — ио (я/2 — (3!) ). ! т! Учитывая, что 2»-!(3! ~«я/4 при /2(р и 2» '/ — — й ~= — — 2» гр )— '»2" / 2 4 получим ро» ( — „— !31) = оо» ~ — — (3! ), 488 гл. чш, итвглционныв методы Поэтому для Ав (8,), Аз (6,)... Азз(6,), ... последовательно получим Аз(~~) < Аз(8~)!!5зоз!1+ тз!! 54)!+ т4<«Аз(Р~)рз (а Р~)+ + А (~ — !1,) «< — (1 — оз(рД) оз (~ — ()~)+ — ~1 — оз (2 — ~,) ) = ! = — (1-о,$,)), т~ Ав(Р~) <«Аз Ф~) !! 8з8в8з8в !1+ тз !! 8в8з8в !)+ + тв !1 8зБв !1+ тз !1 8в !(+ тв -= А4 (81) р, (я/4 — Р~) + + Аз (я/4 — 6~) <» (! — о4 (р1) ) о„(я/4 — р1)/у~ + + (1 — оз (я/4 — 8~) )/т~ (1 — ов (!)1) )/уь и, наконец, зз Авв ф1) «< А в-~ Я р з-1( з, — Р~) + Азв-1( — ~ — (!1) <« Полагая й = р, получаем 4/.-~т.!17,!1<," = —,<— 1-о„(Р,! з-д„ т1 т1 У~ / ! Полагая теперь в (21) аз=О, зйз=О, получим !!аз!1< и < ~~'.~ 1! Т„, ~!!!!ь 1!.
Применяя развитые выше методы, можно по- !-1 казать, что 1!т„,,()< ' < ', Х" -'-'- Таким образом, для решения задачи (2!) верна оценка !1х 11<«ч 1!хв)!+ !!зр(~+ ~у )!ь11 рзв=мзз'(и1)' У~ Приведем некоторые результаты расчета по явной схеме с параметрами т„= т,/(1+ рв!зз), где (рз) — «устойчивый» набор. Рассматривается тот же пример: о(х,,) — 2о(х,)+ о(хзы) =О, х,=й, з 1, 2, ..., й/ — 1, Ь=1//У, о(0)=1, о(1)=0, Число уравнений У вЂ” — 20, а= 10 з, я=64=2'. В этом случае ~з = я/128 6з =! 561 рв = 7Р1 ()з = 9~! ()в = 3()и ()н = 13!)„51з = 5(!и й,з = 11()и ()зз -— 64фз — Цз и з = 1, 2, ..., 8.
Ц ф Е ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОИНЫХ СХЕМ ОВЩЕГО ВИДА 489 Таблица 3 ! 1 ~ 4 ! 5 ~ 6 ) 8 ! 9 ~ 10 16 ~ 17 ~ 18 ! 24 а» 39,6( 4,7 ~ 7,4( 3,2 1,1! 6,7 3,2 0,2 3,1 1,5 ~ 0,1 А 25 ( 26 32 ~ ЗЗ 34 48 49 50 0,8 ) О,! 0,04 0,3 0,14 1,5 ° 10 1,3 ° 10 6,7 ° 10 2,2 10 59 ~ 60 ! 61 58 57 65 ° 10 ! 2,1 ° 10 1,! 10 Ла (!,5 10 ' 8,7 ° 10 72 !О Иа = Ма (6!) () М,„(Ф), пт = 2Р, 8! = — „„,, ! 8)(аа = Мат Ф!) () Мса(36!) () М,и (68!), йй,. = М,„(8,) () М,. (6Р,) () М,.
(3Р,) и М. Щ), 8))а =М,„(рм М (АД()М, (68,)() М,„(3Р~)() М„(ж), 8!2Н =Ма (Р!)() Ма (9Р!)() Ма (76!)() Ма (3Р!)() Мт (бР!)() М (11Р!) При больших и>п(В) пользоваться только набором М р®, где й = 2р ) и, ()! = и/(2й), не всегда удобно, так как это может приводить к значительному увеличению объема работы. Пусть, например, оценка дает, что 140 < п(В) < 141. Тогда и! = 2» = 128 мало, а па = 2» = 266 велико. Найдем ближайшее к и число вида 12») а. При /= 9 и й = 4 имеем /2" = 144) п, Набор йяэ.а (()!), где р! = и/288, устойчив и обеспечивает сходимоссь итераций с заданной точностью. Из этой таблицы виден немонотоиный характер сходимости итераций.
При переходе от итерации номера й = 4/ к итерации номера Й + 1 = 4/ + 1 погрешность Л» = ~~у» — у» Дс возрастает, а затем, при переходе к й = 4/ + 2, 4/ + 3, 4/+ 4 величина Ь» падает. До сих пор мы рассматривали случай, когда и есть степень 2, п = 2Р. Однако можно указать устойчивые последовательности параметров (1»») и в случае, когда а = /2Р, где / — нечетное число. При этом выбор параметров проводится из условия ()а < 1/у Укажем без доказательства устойчивые наборы 8)) р для / = 3, 8, 7, 9, 1 1: !2 ГЛ ЧИ!. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 490 При выборе различных комбинаций параметров следует проверять устойчивость получающихся схем путем оценки Сг„указанным выше методом *).
2. Основная теорема для'стационарных схем. Схемы с постоянными В и т В ~~~с а +Ауа=1 й=О 1 ~ узен Н (23) обычно назывз1отстаг(ионарныигг. Для гд —— уа — и получаем однородное уравнение (5 )с та+! = т и операторами А, В. для которых выполнены условия (3), (4). Оно эквивалентно явной схеме хаю-— . 5ха, 5= — тС, А=О, 1, ..., хе~ Н (24) с оператором С= А1'В 1А", ха=Ануа, или С= В ААВ 1й ха Ву. В этом случае Т„= 5", где 5 — постоянный самосопряженный (так как С = С') оператор и, следовательно, !! Т„~! = !~ 5" !! = !! 5 !~".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
