Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Свойством экономичности обладает факторизованный оператор В = В,В,, где В! и Вг — экономичные операторы. Предположим, что самосопряженный оператор й можно представить в виде суммы й=й1+йг Рассмотрим два случая: 1) й, и й, неперестановочиы, но сопряжены друг другу (треугольные операторы): йг=йь так что (й!х, х) = (йгх, х) = 0,5 (йх, х). 2) й! и йг самосопряженные и перестановочные операторы (й1йг = йгй1). Каждый случай исследуем отдельно. Рассмотрим сначала факторизованный оператор с треугольными операторами И йг! (49) В=(Е+егй1)(Е+айг), где й, й1, ег > 0 — параметр. Очевидно, что В = В'.
Так как постоянные с! и сг обычно определяются при выборе регуляризатора й, то основной задачей является определение постоянных эквивалентности В и й, т. е. у, и уг. Будем предполагать, что оператор й, удовлетворяющий условиям (45), выбран и й й1+ йг йг й1 а (50) й>бЕ, б>0, !!й,х1~» (4 (йх, х) для всех хеи О. Нетрудно заметить, что б ~~ !!й!!. Лемма 2. !1ри любых е! > 0 а любых й > 0 справедливо операторное неравенство В > 2вй. (5! ) В самом деле (Вх, х)=((Е+ай!) (Е+1айг) х, х) =!1(Е+вй ) х !!1 !1(Š— вйг) х !(1+4м(йгх, х)=!!(Е-айг) х К+2а (йх, х)~)2ег(йх, х) для любого х~ О. и ф г.
теОРия итеРАциОнных даухслоиных схем Оащего видА 499 Оценка (51) принадлежит В. С. Николаеву. Л е м м а 3. Пусть справедливы условия (50). Тоеда выполняется операторное неравенство В((6 '+а+а~5/4)ст. (52) /(ас) - —. -— у, 2Уч 1+~~'ч ' Подставляя ас=2/)/Я в (53), 6 ' 6 2(! +'т' ) ~ 1г 41/ у~ с~ 2т Ч уг сг ! + )' Ч определим 6с, 6сг у~ =, уг==. (55) 2(!+Уч) ' 4Уч ' Пусть с, = се =1, т. е. А =В, Тогда 21ч 1 — $1 — Уч 6 1+)'Ч 1+$ 1+З)сЧ 6 (56) Для числа итераций при Ч вЂ” ь0 получаем следующую оценку п(е) = О /=!п(1/е) ). 14У ч Таким образом, доказана Теорема 4.
Если выполнены условия (50), то итерационная схема (2) с А = В и факториэованным оператором Действительно, (Вх, х) ((Е+ай,) (В+ айаг) х, х) =)) х К+ а(Ех, х)+ +а'ЯгВгх, х)=1) х)г+а(Дх, х)+агах~)г~(6 '+а+а Л/4)фх, х). Из (51) н (52) следует, что выполнены неравенства (46) с 6 1 у! — 1+а6+аг6614 ус= 2„° (53) Параметр а выберем из условия максимума отношения /( ) уВ (а) 2а6 1+а6+аг 66!4 ' Вычислим производную 1 — ага 614 (1+ а6+аг 66/4)г ' Отсюда видно, что максимум /(а) достигается при а=а,=2/)ГЯ, нли а, 2 Уст)/6, Ч=й/Л, (54) так как /п(а,) ~0. Найдем значение 1(а) при а = а,: гл.
Р1Ц. итеРАциОнные методы ЕОО В = (В +' а!ой!) (В + 22ой2), еаа = 2/ )/йй и т = то сходится в Н„, и Нв, так что ()у и!1ое=р (~уо-и)|о 0 А или В=В, где р вычисляется ло формуле (55). /Тля числа итераций а(е) ари 21- 0 имеет место оценка л(е) = 0( (п(!/е)) . ! 4У ч П р и м ер.
Рассмотрим задачу Дирихле для уравненияЛапласа в единичном квадрате. Оператор А равен А = Й = — Л, Ау = Ух,х, + Ух,ха 61 —— Ь2 = Ь. На сетке ааа— - ((!1Ь, !2Ь), !н !2=0, 1, ..., Ф) введем скалярное произведение и норму Н~-1%-1 (у, о) = Х Х у,,оц Ф, 11 у11- T(у, у) 1,-1 Н-1 и определим операторы Ву= — + — Ну= — — —— Ух, Ух, 1 = 2, а ~ 2 = я Пусть Н = Я вЂ” пространство сеточных функций, заданных на еа и равных нулю на границе уа.
Операторы Я! и /22 сопряжены в Н друг другу, так как(уха, о)= — (у, ох ),а=!,2, и /11+На=А. Следовательно, (/21У, у) = (Йау, у) = 0,5(/су, у). Вычислим постоянные 6 и Л, входящие в условия (50). Так как /1 = — Л, то нижняя грань 6 есть наименьшее собственное значение, 6 = = 86-2 з(п2(пй/2).
Далее, 2 2 !1Н2У11 ~Л~~~ Уха! !12 а~~~~ !!Уха!! !12 (/~у~ У) а-1 а-1 так как (~у, у) =Л(1, у'.1.=Л[1 у:.) (см. гл, 1Ч). Таким образом, 6 = 8/62. Зная 6 и 6, находим 2 212 /'6 222 =— )/2) = у — =з(п(пй/2), Р 66 4 5!пх (яа/2) и(в) = О ~ — „,1п(1/е)), т. е. мы получаем ту жс асимптотическую оценку для числа итераций, что и в случае неявного метода переменных направлений (п. 4). а! «х твогия итвгхционных двххслоиных схем овщаго вида 50! Определение новых итераций из уравнения В,В,у = Е сводится к последовательному решению «одномерных» уравнений вида В„в = !р„, В„= Е + га«Я . Заметим, что использование «треугольных» операторов )с! и )тз позволяет получать явные формулы (формулы бегущего счета) для определения в.
В самом деле, уравнение ах, (Е+ ы»)7!) о =!р!, Я!в — '+ — ' а, л, имеет вид 1+ ~~+ и ~ о ж~ о! ы+ — ~о! ы+!р — — ") 1 2 1 откуда находим е» о! а+ма о' ы+ф о ! о» о ! +»!»а! + "»а» (57) (Е + ы»Й,) о = !р» значение о = о(х) выражается через оеы' и о'+ы. Поэтому счет надо начинать с правого верхнего угла.
6. Факторизованный оператор В с перестановочными операторами )т! и »ть Пусть )т = Я! + )7„ где Я! и )7« удовлетворяют тем же требованиям, что и операторы А, и Аз в п. 4. Перечислим эти требования (см. теорему 3): )7« = Йа, Ь«Е~ (Да ~ (Л«Е, а =!, 2, л,>о, л >о, б,>о, 5,>о. (58) Кроме того, мы предполагаем, что операторы Я! и )7» перестановочны; ЙЯз = )7,)7!, (59) Рассмотрим схему (23) с факторнзованным оператором В =(Е+ о!Я!)(Е+ га»)7»), (60) где о! и вз — вещественные параметры.
Предполагается, что А и Я связаны неравенствами с!)т ~ (А » ~сз!с, с, )~ с! > О. (6!) Выбираем левый нижний угол области и берем пограничный узел, такой, что х'-!а и х!-ь! лежат на границе сетки уь н, еле. довательно, о' ы и о! ы известны. По формуле (57) определяем о и дальше движемся либо по строкам, либо по столбцам. Аналогично убеждаемся, что из уравнения гл, тш, нтвьлционные методы Наша задача — определить постоянные у, и у,: У,В<Я<У,В, Уг>У,>0.
(62) Для этого надо использовать результаты п. 4, где рассматри- валась задача (Е+ ы<Р<)(Е+ агвг) «~~ + Век = О, й = О, 1, ..., хь ~ Н (63) ! +~2 (схема (40) с А = В„). Оператор перехода для этой схемы представим в виде (32) (с заменой А„на В„). Так как Вг и Рг самосопряжены и перестановочны, то  — самосопряженный оператор.
Используем теорему 3 для вычисления постоянных у, н у, эквивалентности операторов В и В. Учитывая перестановочность операторов Й1 н Рг, схему (63) можно записать в виде хь„г — - Вгвгзь, й = О, !, ..., В = В,вг, Вг — - (Е + ы, В) ' (Š— ыгВ1), Вг = (Е + ыг/!г) ' (Š— ы, Вг). Из (58), в силу теоремы 3, следует оценка Щ~<р при ыь ыг, ыь, выбранных согласно (35), эквивалентная неравенству у,в<В<у в, где у,=(1 — й)/т,уг-(1+р)/т, т=ы,+ы„р определяется по формуле (36). Так как константы уг и у, вычислены, то к схеме (63) можно применить теорему 2. Тем самым доказана Теорема 5. Пусть выполненьг условия (58), (59), (45).
Тогда итерационная схема (23) с факторизованным оператором (60) при оптимальных значениях ьг1 и ыг, определяемых по формулам (35), сходится со скоростью !п(1/рь), так что Цу„— и')о«::рьЬуо и$р, В А или В В, еде Рь $ уг =сгуо уг сгуг. 1+$ уг ! — р ' г-~-р у! +ы уг г р дается формулой (36), а параметр т= то ы,'+'аг определяется, в соответствии с теоремой 2, по формуле т = 2/(у~ + уг).
3 а м е ч а н и е. Так же, как и в теореме 3, вместо условия бг > 0 можно потребовать б,+~>О, 6,~1+б,(1/Д,+ 1/б,))+бг~б, а 3. ИесамосопРяженные уРАВнения 603 Пример 1. Рассмотрим тот случай, когда регуляризатор Е совпадает с оператором А = А, + Аа, так что с~ = са = 1, а операторы А, и Аа имеют совпадаюшие границы: 61=ба=6, А, =Аз=а. Тогда т)=— Вычисления дают ч, ч(1+и) 2(я+1) 2 1 — )' ч~ р= 1+ у' Ч~ Ро = Скорость сходимости 1п (1/Ро) 2 У 211+ О (4)). Сравнение с примером 1 показывает, что число итераций в случае смешанной задачи примерно в 1,5 раза больше. ф 3. Итерационные двухслойные схемы для несамосопряженных уравнений" ) 1, Метод переменных направлений в случае несамосопря. жеиных операторов. Пусть дано уравнение (А, + Аа) и = 1„ где А, и Аа несамосопряженные операторы, Аа~)баЕ ба>0, и= 1, 2, !! Аах!( ~~Ла(Аах> х) или 4а ~ а Е, Ла>0.
а ') См. А. А. Самарская [241 — 1281. и скорость сходнмости итерации (ср. с п. 5) 1п (1(ро) = 4 7 Ч+ О (т)). П р и м е р 2. Рассмотрим случай, когда Е А = А~ + Аа, т. е. с~ — — са = 1, а одно из чисел б„равно нулю, например, б, = О, ба = д > О, Л, = Ла = Л («смешанная» задача). Тогда 6 1+и 6 26(1+ч) о= 2+я ~ 1= о~ 2 2+и ! Ч(2+Ч) > а Ч(2+я) ° 504 ГЛ. ЧН1. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Для решения уравнения рассмотрим схему переменных направлений (29') из $2, п.
4 с параметрами ви = ыз = ы. Для погрешности га+1, точнее, для оА.Р1 = (Е + ЫАз)га41 получим уравнение (31) из $2 с оператором (32) из $2. При переходе от (30) из 5 2 к (31), (32) из ф 2 не требуется ни перестановочности А, и Аы ни их самосопряженности (предполагается лишь разрешимость задачи, т. е. существование операторов (Е+ а11А1)-1, (Е+ а11Ах) — '). Рассмотрим оператор перехода Я = 51Яь 51 =(Е+ ыА,) '(Š— ЫА1), Я, =(Е+аА,) '(Š— ЫА,). Лемма 1. Пусть А„— несамосопряженный' оператор и выполнены условия (!). Тогда при любом а1 ) 0 справедлива оценка !!8„!!1( ", где н,= (2) Д о к а з а т ел ьс т в о.
Вычислим !!(Е+ЫА,) г!' — 1(Š— вА,) г1з =4Ы(А„г, г), !! (Е + саАа) г ф!1 = (! г !Г + 2о (Ааг, г) + а1')! Ааг !Г. Используя условия (1), имеем !! (Е + «1Аа) г 1~ (~ (ба + 2а1+ Ха1а') (Ааг, г), (!(Š— (ОАа)г)~'=()(Е+а1Аа)гУ вЂ” 4а1(Ааг г)~ ~! а ()(Е+а1Аа)г)~ Обозначая (Е+ «1А,) г = о, получим !! Я,о )!1 (, ~+ !! о !г, что и дает оценку (2). Таким образом - 1+н 1+н Нетрудно заметить, что функция н, = н,(а1) достигает макси- мума при а1=!/у'Ь,Л,. Итак, имеет место оценка ( ! — )тЧ, ! — )т Ч, '!'З 11, !!г.!(в (р"!!га!!111, р=1, .— ' . ',1, ч.= — ', ( 1+к Ч! 1+тпа) Да если б1Л1 = бзбз и а = ! / 1т б1б1 = 1/ Ртб~ Х„где !! г !!111 = )! г+ а1Аег !!. Пусть 61 = бг = б, Ь1 = Лз = Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
