Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Ре ГЛ. ЕИ!. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 624 Отсюда видно, что Я„(!) есть полипом П. Л. Чебышева второго рода (см. В. Л. Гончаров [11), Я„(1) = У„(!), — 1(1(1, где Многочлены (7„(!) удовлетворяют рекуррентным соотноше- ниям и„„1 (1) = 21(7и (1) - (7„ ! (!), и Р 1, Т„(!) = и„(1) — Ы„, (1), (36) где Т„(1) — полипом П, Л. Чебышева первого рода, Для многочленов (7„(!) верна оценка )и„(!))(а+1, !г)<1. (36) Перепишем теперь формулу (33): и(7 (5) и+~(7 (37) Учитывая рекуррентные соотношения (36), получим хи ю = р",+' ((7„(5) ~ — х, — 5х,)+ Т„, (5) х,), (38) — х, — 5х, = ( — ' — 1) — '+ — (х, — 5х,) Р~ р, РО РО ! — р! х1 ! = — + — (х, — 5х,).
! +Р! Ро Ро 2 (39) Нам понадобятся следующие неравенства (см. (12) из Ц 2 и (36) ): Ц(/„(5)Ц~ шах )(/„(1))~(и+! при Ц5Ц~(1, (40) !!1~! Ц Т„(5) ~1~( !пах ( Т„(1) ~(1 при (~ 5 Ц~(1. (41) ! !!<! Подставляя (39) в (38) и учитывая (40), (41), будем иметь ! — р! и+! и+ ! ;"(!*,н- —.' — !*,1+ — !*, — * !) 4 где Т„ь,(!) — полипом П. Л. Чебышева первого рода, Исполь- зуем тождество 4 С ТРЕХСЛОПНЫС ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ Если х, = Яхм то отсюда следует (28). Теорема 8 доказана.
Если х, — любой вектор, то из (37) и (36) получаем (1 х„)! ( Нрл, ' )1 х, 1! + (п — 1) р", (1 х, )!. (43) Решение уравнения хвы =(1+а) Яхх — ахА, + ФА, хэ=х, =О, следуя гл. Ч[, 3 3, ищется в виде хА= ~ п4к ь где шА+1 4 = =(1+а)Ягал, 4 — ага4 Н г при 11)1, 1'= 1, 2, ..., 4Е4 4=0, п4~„„4, = 4р4. Отсюда !1хА !!(!!4р !1~(1 — рР<!!4р !!(Е, где В= у4/у„ !!4р!1= Гнах !!ф~!!. ОцЕНКа 1 <!<А !!ХА!!<!! рй, й=!, 2, ... (44) (46) Неявную схему можно трактовать, как явную схему для уравнения Со =ф4 вместе с (43) выражает вычислительную устойчивость схемы (23).
Полагая ф = тл(1+ а)4р =(1 — р4)'уь получаем для (23) при х, = х~ — — 0 оценку !!хА!! <!!4р!Ууь 5. Априорные оценки для неявной схемы в энергетических пространствах НА и Нв. Рассмотрим теперь неявную схему (5) с В чь Е и начальными условиями уэ — произвольный вектор из Н, В У4 У4 О Нетрудно убедиться в том, что неявная схема (5), (45) и явная схема (23) эквивалентны при или при В самом деле, применяя к (5), (45) оператор ААВ ' и обозначая хл = Ач у„, получим схему (23) с С = Сь Обратно, заменяя в (23) С = С, и х„= А чу„и действуя затем оператором ВА получаем неявную схему (5), (45) .
Условия (20) равносильны условиям у,В(А (у,В, А =А')О, В = В')О. (48) Из (46) и (47) видно, что !! хл !1=!! ул !(4 = ЙАул~ ул) при С = СИ хл = А''ул~ !! хл !! = !! Ул !!а — — Ъ~(ВУА, ул) при С С„хл = В'*ул. Гл. Ртт!. итеРАциОнные метОды 526 эквивалентного уравнению Аи = ! при С=СИ О=Аьи, тр=АИВ или и ри С = С„о = В'*и, тр В '~*!'. Теорема 3. Пусть вьтполненьт условия (48). Тогда для неявной схемы (5), (45) лри т = тт и н = ит верна оценка !~ у„— и !1р(д„!! уь — и)!р, В = А или В = В. (49) Замечание.
Можно показать, что при тех же условиях (48) и дополнительном требовании перестановочности операто. ров А и В, АВ = ВА, выполняется оценка ~! Ауь — г!!» д.~! Ауь- !!!. (50) 6. Факторизованные схемы. Оператор В выбирается из тех же соображений, что и в случае двухслойной схемы (см. Я 2, 3). Одними и теми же операторами можно пользоваться как для двухслойных, так и для трехслойных схем. В частности, можно взять факторизованный оператор В = (Е+ тает) (Е + етЯЕ), Ят + )ттт = В (51) у, В»~ Я (» у,В, у, ) О, В = В' ) О, В = В" ) О, (52) А и Я эквивалентны с постоянными сн с,: с!В ( А ( сто, с, ) с, ) О, так что условия (48) выполнены с постоянными (53) у, = с,у„у,=стут.
Постоянные у, и ут были определены в 2 2. Если выполнены гт условия тт >ЬЕ, 1!тттхУ!т < 4 (ттх, х) дл! всех кен Н, то постоянные у, и уе для факторизованного оператора (51) при ьт =ьть = 2/)тЯ равны 2(!+)'Ч) 4)' т! у !+)тт! Ь с треугольными операторами )тт и 1ГЕ =В!. Операторы В и Я эквивалентны с постоянными у, и у,: 524 4 4 ТРЕХСЛОЙНЫЕ ИТЕРАЦИОШ4ЫЕ СХЕМЫ Если й А, то с,=с»=1, у~=у4 Ъ=у» 4 )/+)' -Ув )/ Р4 )/!+3'ч +1 2 При 4) -РО коэффициент р1 имеет следующую аснмптотику р, = 1 — 2 )/$ = 1 — 2 )/2 )/41, где 4и» вЂ” — В т» — поправка, г» = Ау» — / — невязка.
Определяя ш как решение уравнения /ссе = т» (55) каким-либо итерационным методом с нулевым начальным приближением в1»4 = О, мы получим двухступенчатый трехслойный а скорость сходимости итераций 4 1п(1/о,) = О/42 )I 2 )/т~/. /4 Это значит, что число итераций пропорционально 1/)~41. На- помним, что для двухслойной схемы с оператором (51) и по- стоянным т = т» скорость сходнмостн итераций равна !и (1/р,) = О (4 )' 41) В случае разностной задачи Дирихле для уравнения Лап- ласа в р-мерной ступенчатой области и кубической сетки с ша- гом й, имеем 41 = 0(й'), )'П= 0(й) и, таким образом, число итераций для трехслойной схемы с факторизованиым оператором (51) есть величина 0(=1п(1/е)~. Решение задачи Дирихле ул в р-мерной ступенчатой области для уравнения б(ч(й цга41 и) = — /, 0(с, (й(с, требует 0 ( — 1и (1/е)) итераций с общим объемом работы ! )л 0 (й м " ы 1п ( 1/е)).
7. Двухступенчатый метод. Трехслойную итерационную схе- му (5), (45) можно трактовать как метод поправок; У»», = (1 + а) у — ау», — (1 + а) т 4е», а = о';, У~ = Уо — т»шм 528 гл. чпь итеяхцнонные методы метод. Зададимся числом д, 0 < д < 1, и сделаем и итераций, где гп такое, что выполняется условие !! "'! ~ !!я < ~! < 1 Тогда, как было показано в $3, п. 5, для поправки жь = и! о получаем уравнение Вши — — гы В = Кь (Š— Т ) ' Л'ь, где У вЂ” разрешающий оператор схемы внутренних итераций, так что К~* (ш"'> — ш) = Т (Π— /~Ч ш) = — Т К'*ш. Скорость сходимости двухступенчатого трехслойного метода следует из теоремы 3, где с~ ! — ч с !+д В работе Гана ]!] двухступенчатый трехслойный метод применялся для решения разностной задачи Дирихле для уравнения д!т(lгйгаби)= — 1, О<с,<й<с, с переменными коэффициентами. Внутренние итерации для решения уравнения (1) проводились по методу переменных направлений с оптимальным набором параметров.
Для случая малых с,/ст было отмечено существенное ускорение итераций по сравнению с двухступенчатой двухслойной схемой. В работе Вашпреса [3] внешние итерации проводились по методу Ланцоша, а внутренние — по методу переменных направлений. ,г(ополнсние НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОГОНКИ 5 !. Потоковый вариант метода прогонки дли разностнык задач с сильно меняющимися коэффициентами *) — = — (й(х, !) — )+)(х, !), 0<х<1, 0<1~<Т, и(х, 0) иа(х), (1) ди д ! дит д! дх (, ' дх) и дополнительным условиям — Ф вЂ” Л('1+ и!'1и = т01 ди дх прн х О, 1 прв х=1, (2) й — Л('1 + нг'ги = т1О ди дх где и(вг - О, Л(Ю = О, 1, ига!+ ЛЮ1> О, а = — 1, 2.
Коэффициент й(х, !) — сильно меняющаяся фушспия 0< й<~. (3) Когда коэффициент теплопроводности й(х,!) стремится к бссконечностп, а ди ди (х, !) производная — — к нулю, величина потока в (х, !) = — й (х, !) дх дх остается конечной. Поэтому прн решении задачи (1), (2) в качестве искомой функции, кроме и(х, !), введем также поток в(х, !). Предположим наличие между искомой функцией и(х, !) и потоком в(х, !) связи вида пи+ (3в т. (4) «) См. Л. М.
Дегтярев, А. П. Фаворскигт [1), (2), рассмотрим вариант метода прогонки, примеяяемый при решении задач с сильно меняющимися коэффициентами. Примерами таких задач являются задачи гидродниампкн с геплопроводиостью и магнитной гидродииамнкн, где коэффипиепты теплопроводностн, электропроводности сильно зависят от термодпнамических параметров среды. В случае тепловых задач могут иметь место адиабатические участки, где теплопроводиость отсутствует, а также изотермические участки, где теплопроводность бесконечно велика.
В магнитных задачах — соответственно, идеально проводящие и неэлектропроводпые участки. Поясним супгество метода на модельной задаче: найти функцию и(х, !), удовлетворяющую уравнению 55О ДОПОЛНЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОГОНКИ Так как коэффицненты и, (1, Т в (4) определены с точностью до множителя, то на функции а и 5 следует наложить дополнительное условие. Например, можно потребовать а+ 5 -1.
(5) Впрочем, в зависимости от типа краевой задачи, характера коэффициента Ь(х, /) (О» с! » ~Ь(х, /) < со, О » ~/г(х, /)» »сз и т. п.) можно вместо (5) на а и 5 налагать другие условия. Например, иногда удобно считать а = 1 либо ($ = 1 илн полагать а + С(х) 8 = 1, С(х) — некоторая функция, С(х) > О. Для решения задачи (!) — (3) введем сетку (х,/, х|/Р .., х/т с шагамп Ьо/2 = х/, Ь/= х!+ / — х!,/, / = 1, 2, ... В узлах х;,/ будем вычислять сеточну2о функцию искомой функции я(х/,/, / ), Введем также сетку (х -О х х/ !+Ь!,/, !' 1 2,..., А! — 1, Ьм/2 = 1 — ха/,/ / у,,/, соответствующую А/, хм !), у/+! у/ йт/+! (Р(э! у!-/, -у!-/, й + 42!/ УИ \/ /+! /+! /+! /+! У/4'/, У/-у* а/ (б) где а! и ф/,/ — сеточные функции, являющиеся аналогами коэффициентов / / Ь(х, /) и /(х, /). Например, положим а/ Ь(х, //), 42//,/,— — /(х/,Ь, //) ИспользУЯ Разложение и/ ио+Ьои'/2+0(й~о) и полагаЯ ш = — Ьи')х„о, краевое условие (2) при х О аппраксимируем разиостным выражением с и(НЬ 2з) (И х /!о/2 ),/э! Н! /+! (О /+! / о Х у/ ао (7) Аналогично аппроксимируется краевое условие (2) при х И х !Ь /2ч — А(2!+ л Цт/э(+ х(2!У/+! - т(2! / ! л Х Уль"т.
ал (8) Введем обозначения Ь 2а/Ь,Ь а/Ь,/ ! 2,..., А! — ! Ь 2а /ЬЛ,1 !-// !-'/ =т/-/ 1-'/ +" -/У(-'Ь. где 6(-05 (Ь!+Ь!4!). В узлах с целыми нндексачн будем определять се, !-! точную фуняш!ю 52! (! =О, 1, ..., А/) — аналог потока ш(х/, //) = — Ьи'(„ В узлах х/,/,. / = !, 2, ..., /У уравнение (1) аппраксимируем схемой ь !. потоконып влгилнт мктодл прогонки бз! Объединяя (6) — (8), учитывая (9], приходим к задаче Ягс,-йгС-Сс,ЬУ, Ъ--Ус Ъ,! =1,2.... СУ-1, Ус,С вЂ” Ус,С йг /Ьс, (10) (яР + зР/Ьз) йге+ кн>уу - т!'1, — (С~Р + СЗС/Ь ) й + К!С1У е ЧСЗ), )с!о! + к!о! > О, ксе' > О, хсе) = О, 1, а - 1, 2. Предположим, что существует связь ус,С ас ! +()с с(р'с ! =ус (12) и вайлем рекуррентные формулы для вычисления прогоночных коэффициентов а., йс у, и искомых функций ус,, йг..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
