Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Поскольку в данном случае с' с-Ъ' Сс, йс „ /т>0, то оказывается удобным дополнительное условие нор!-Ъ с — Ь мнровкл взять в виде а,,+Сс, бс с-!. (!3) Пусть получено соотношение (!2) при условии (!3), связывающее функции ус,С, )усс с и прогоночные коэффициенты а,, й и у, в тачках х и хс,С. Исключая ус, и йгс с нз (!2), (10) и требуя, чтобы соотношение (!2) выполнялось в точке хс, хс+0 (т. е. имело бы место равенство ус е а Ъй йгс= у,), приходим к соотношениям 1 где !/Ьс — произвольный пока множитель. Потребуем, чтобы в точках кс, кс „,с выполнялось соотношение (!3), т. е. ас+ сс+,с рс — — 1. тогда находим, б, = ! + С, „... (() с, + 1/Ь,), С = 1, 2, ..., Лс — !.
(!5) ИЗ УСЛОВИЙ аз+ йоСъ=!, Ус аз+ йейуо — — Уо И КРаЕВОГО УСЛОВИИ (701+кп'/Ь,) )р;+ к'"уС - тп) имеем а=к!с!/Ь„ре=(ЛСс)+ Р/Ь,)/й,, у,- Си/бм б = кнс+ СЪ (Х" 1+ ксп/Ье). где (!б) ус С,= — ()ус-ус С,)йс,+у,, 1=ЬС, ЬС-1, ..., 1,) йгс-с (йгс Рс-ъс )(1 сс-ус Рс-1)+с!-ърс-1' с (17) Для определения значения йгу из второго граничного условия (11) и первого рекурреитиого соотношения (!7) прн 1 ЬС, получаем — т!" +к"1(уу с+Цу суу Ъ) л(зс ъ кбй/ ь + к!З!(), 1 Для вычисления у „и )Усс, можно пользоваться рекуррентными соотно- шениями 632 дОпОлнение.
некОтОРые ЕАРиАнты методл пРОГОнки Отметим, что коэффициент а, при счете не используется, При выбранной нормировке (13) (Сг, у, > 0) прогоночные формулы оказыва|отся наиболее простыми. При больших коэффициентах а(-Ь(хп 1) вычисление потока по формуле йт,.= — Ь,(у,+, — у,, ), Ь,=а,./Ь приводит к существенной потере точвости. Зто н послужило причиной авеле. ння потока |Р| в качестве дополнительной искомой фупкцпн н вычисления его по рекуррентному соотношению (17), В том случае, когда величина Ьг = адь| оказывается малой, например, 0 < Ьг < ! вместо формул (14), (!6) следует пользоваться формулами ро = (и|0+ ЛО|ьоУбо. то = тн'Ьоlбм бе- ип'Ь, + Суо(Л|ИЬе+ ип) Ог==(1+а!Я!- ) У ==(иг-|ьг-А+У!- ) ! Ьг ьг= ьг+ с|+ ь(ьА |+ 1) Из структуры приведенных рекуррентных формул видно, что они устойчивы по отношению к случайной ошибке.
В 2. Матричная прогонка") Для решения систем разностных уравнений часто использу|от метод матричной прогонки, который поясняется ниже ва частном примере, Рассмотрим уравнение Шредингера, в случае когда потенциал )г(х) обладает следующими свойствами: (г(х) непрерывен при 0 < х < 1, 1|ш (г(х)= о при х -ьО и при х -ь 1. Зто соответствует краевой задаче дф йо д'ф — 13 — — — — + )г (х) ф 0 <х< 1, 1> О, дт 2т дхз ,р(0, 1)-ф(1, 1)-0, ф(х, 0)=|Ь,(х), (2) где 1 — мнимая единица, й — постоянная Планка, т — масса частицы, Без ограничения общности будем считать, что )г (х) > О.
(3) Введем обозначения а' ЬЯ2л|). у (х) (г (х))й (4) и представим ф(х,|) в виде ф(х, Г) и(х, 1)+|п(х, 1), ') См., например, И. М. Гельфанд и О, В, Локуциевский, дополнение 11 в книге С. К. Годунова и В. С. Рябеньиого Щ, В. В. Русанов (!), Р. Д. Риктмайер (!). й 3. МАТРИЧНАЯ ПРОГОНКА где и н о — действительная и мнимая части функции ф Из (1), (2) для определенна и н о получаем задачу ди дго ! — а' — — г) (х) о, 0<я<1.
д! дхг до дги — — -,г — — й( ), О<!<7, д! дхг и(х, 0) Кефо(х) й,(х), о(х, О) !шфа(х) рг(х) о(О, !) о(1, !) О, и(О, !) и(1, !) О. (7) Введем сетки ЮА-(Хг-!А ! О 1 АГ А !!А!) йт-(!)-!т, 1=0, 1, ...) н аппраксимируем задачу (6), (7) системой разностных уравнений иг агйхх-д(х) д, о' б, (х), — о! гг'йх„— й(») й, и =йа(х) е и г! в (8) Запишем систему (8) в векторной форме !г+! 2В»У!+У!-! Гг ' 1' 2 "" АГ 1 Го )А где (! 0) Задача (9) является частным случаем следующей задачи; найти векторы У, (г = О, 1, ..., Аг), удовлетворяющие уравнению АД+г — Вгрг+ С!У!-г — Рг, 1» (! ~ (Аг — ! (1!) и краевым условиям (! 2) где Ао Вь Сг (! = О, 1, ..., А!) — квадратные матрицы.
Предположим существование матриц В г, 1=0, 1, ..., А!. Решение задачи (!1), (!2) будем искать в виде Уг, Х»Уг+Хг, г Л', А! — 1, ..., 1, (13) где Хг и Ег — неопределенные пока матрицы и векторы. Из формулы (!3) н уравнения (!1) находятся (как и в случае обычной прогонки) рекуррентные 534 ДОПОЛНЕНИЕ, НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОГОНКИ соотношения для вычисления матриц Х! и векторов Хь Из (13) и (12) нахо- датсЯ начальные значениЯ Хо Ьь, Ул, позволЯющие начать счет по РекУРРеит.
ным формулам. Выпишем рекуррентные соотношения; Х! (В С Х;) АР Х!=Во гАо 1, 2, ..., У вЂ” 1, (14) 'л=(ВА -СЛХЛ) ' (С 2 +Ел) .ь .> Уг,=хгрг+гг, =У, У вЂ” 1, ..., !. (15) Вычнслевня по формулам (!4), (!5) можно вести до тех пор, пока матрицы В! — С,Х! остаются невырожденными, что и будем считать выполненным для !' О, 1, ..., У. Задача (14), (15) разрешима и процесс решения устойчив по отношению к случайной ошибке, т. е. (! Х! (! <! при !' 1, 2..., У, когда выполнены условия хо хо О! 01, ...,У вЂ” 1 ! 2 (! Во 'Ао(<1, (( Вд 'С!2!)<1, ((В, !Аг()+!( В, 'С, !(<1 (1б) при! 1,2,...,У вЂ” 1. Для решения системы (9), (!О) формулы (14), (15), в которых Х! 2! 2 > а! 2, 1=12,...,У, Ао= Сл О Во = Вл = Е Ее =~У = О, Аг- С1- Е, В! 2Вг, !' 1,2,...,У вЂ” 1, принимают вид дг, =х! й!+х; дг+хп 1=1, 2, ..., У, И !2 ! д! !-хгдг+х,д,+хн д -д 2! 22 2 где хи!лг, х" (л, ш=1, 2, 1-1, 2, ..., У) вычисляются по следующим фор- мулам: !! д! !2 !2 !2 х ! — !2+ — — х! ), х! ! — ( — +хг ), г+ А! !ь а' I' т Ь! (, а'т х — ~ — — +х!), х ! — (24- — — х й! !т а'т г/' '+ А! (, а' !/' 2О2 / '( 2аз, ! г О' » г й 3, ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПРОГОНКА Условие устойчивости (16) приводит к требованию 2![Вг '~ [Вз ~1<1.
Вы. числив норму Вз 1, приходим к условию [[ВГ1[[- — '< 1, Р'А! которое очевидно выполнено. 2 3. Циклическая прогоика*) а „ась Ь,с,„м сг[ Относительно коэффициентов системы (!) будем предполагать, что аг > О, Ьг > О, сз > а1 + Ь 1. Систему (!) запишем е виде Муьг з М (2) (3) где Уг а матрица Ал имеет — с, авд ь, о о — с, Ь, 0 аз - сз Ьз ... 0 О 0 0 а, 0 0 аз 0 0 0 Ьуг 0 с Ь Ж -1 Аз -1 0 0 0 ... -с, 0 0 0 ...
а 0 0 0 ... 0 ЬА ам — см Присутствие отличных от нуля членов в правом верхнем и левом нижнем углах матрицы (е) не позволяет решать (3) (или (!)) обычным методом прогонки. ') См. А, А. Абрамов, В, Б. Андреев [!]. Циклическая проговка вспользуется для нахождении периодического ре- шения разностного уравнения (или системы разностных уравнений). Подоб- ные задачи возникают при приближенном решении уравнений с частными производными в цилиндрических и сферических коордиаатах.
рассмотрим систему уравнений ау — су +Ьу = — 1, 1ЗГ 11 зг ауз,— ау +Ьу+ — гс г 2,3, ..., Ы-1, (1) аггузг 1 — схзуа, +ЬуУ! — [,т. Такая алгебраическая задача возникает при отыскании периодического, У,эа у;, решения системы трехчленных уравнений азуз-1 — сгуз + Ьгуз+1 = — [1 при условии 535 ДОПОЛНЕНИЕ. НЕКОТОРЫЕ ВАРИАНТЫ МЕТОДА ПРОГОНКИ Для решения (3) применяется идея метода оквймлеиия (Д. К. Фаддеев, В. Н. Фаддеева (!]). Запишем (3) в виде А ,у , + й .
,у, (5) ОАС 1УД 1 — С У (б) где 0 ... 0 0 0 — с Ь ... О 0 0 а, — сз... 0 0 0 — с, ат 0 А Ч-1 (7) 0 0 ...ач 2 — сч 2 Ьа ОО...Оа.с — с 0 Ьк] 0 а, 0 у! -ь и -> Ул -1 о Ас — 1 , (5) УД-1 Ь У-1 Решение уравиеиия (5) представим в виде угс-с= рм-1 раук-Р (9) ГДЕ Р, И да 1 — РЕШЕНИЯ ЗаДаЧ А р сч-1 сч-1 'а-1' -2 .ь А у = — и А!-15 К -1 Ас-1' (!0) Поскольку матрица Ак-! яв.чяется матрицей Якоби, то решения задач (!0) могут быть найдеиы методом обычиой прогонки. Из (9) и (5) иаходим ],+ от,р, ".ч САС вЂ” О А, ук-1 находим из (9). Приведем получающиеся формулы ресиения задачи (1) — 4юрлгу,сы би!с- лической прогонка; Ь! ]!+а,й! а у, а. ° 5 = ° у !+1 С -а а С+1 с.— а.а.' с+! с.-а а ! ! ! 1 1 ! (!1) ! = 2, 3, ..., Ас, аз ьз)с2, 52 = ]1/с„ уз = ас(с!, рс" с+!ус+1+51+1 ус с+сусн+Тс+1 ! Ьс — 2...,, 1, р, Ер, у, =а +ТА., ! В!с+1+ ассе!ус УР 1 -а,7 — у ' У! РС+ Уз!УС' ! = 1, 2, ..., Ас — 1, (!2) (13) $ 3.
ЦИКЛИЧЕСКАЯ ПРОГОНКА 537 а,<1, у,>О, а +у <!. Предполагая а, + у, < 1, получаем 6 +п,у, Ь,+и — а а а. +у. = ' '' « !. с+с с — па. с — и а с с с с с с (14) Учсстьсвая (12) и (14), находим дя с < 1, с!с < 1. Из всего сказанного следует, что ! — ахесдс — уяс-с ) О. Метод циклической прогонки является устойчивым, так как решения задач (10) ишутся методом прогонки, который усто!Гчнв при выполнении условий (2), а знаменатель 1 — аи+сдс — ун+г в выражении для рк ие обрашается в нуль. Действительссо, нз (2), (1!) видно, что ЛИТЕРАТУРА Абрамов А.
А. 1. О влиянии ошибок округлении при решении уравнения Лапласа, Вычисл. матем. и вычнсл. техн., вып. 1 (1953), 37 — 40. Абрамов А. А., Андреев В. Б, 1. О применении метода прогонки к нахощдению периодических решений дифференциальных и раэностных уравнений, )КВМ н МФ 3, № 2 (!963), 37? †3. Алексидзе М. А. 1. О численном решении задачи Дирнхле для уравнения Пуассона, ДАН СССР 147, № 6 (1962), 12?1 †12. Андреев В. Б, 1. Итерационные схемы переменных направлений для численного решении третьей краевой задачи в д-мерном параллелепипеде, ЖВМ и МФ 5, № 4 (!965), 626 — 637. 2.
О равномерной сходимости некоторых разностных схем, ЖВМ и МФ 6, № 2 (!966), 238 †2. 3. Об одном методе численного решения третьей краевой задачи дчи уравнения параболического типа в р-мерном параллелепипеде, Сб. «Вычислит, методы и программирование», вып. У!, нзд-во МГУ (196?), 64 — 75. 4. О разиостиых схемах с расщепляющимся оператором для общих р-мерных параболических уравнений второго порядка со смешанными произ. водными, ЖВМ и МФ 7, № 2 (196?), 312 — 321. 5. О сходвмости разиостиых схем, аппроксимирующих вторую и третью краевые задачи для эллиптических уравнений, ЖВМ и МФ 8, № 6 (1968), 1218 — 1231, 6. О сходимости рааностных схем с расщеплвющнмся оператором, аппроксимирующих третью краевую задачу для параболического уравнения, ЖВМ и МФ 9, № 2 (1969), 337 — 349.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
