Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Если )1 = й, + Рм где )(~ и )тз самосопряженные, но неперестановочные операторы (напрнмер, )г,у = — у, „, а = 1, 2, в ступенчатой области), то внутренние итерации можно проводить по продольно-поперечной схеме (см. $ 1). Далее, в случае Р=Р~+Яь )(з=Ро т. е. когда Р~ и )7з — «треугольные» операторы, используем неявную схему с факторизованным оператором 0; = 0 = (Е + ый~) (Е + ы)гз). При этом берется упорядоченная чебышевская последовательность параметров Оо Возможен, наконец, случай, ко~да границы оператора либо неизвестны, либо плохо определяются.
Тогда внутренние итерации для нахождения поправки можно проводить по схеме минимальных невязок или по схеме наискорейшего спуска. Применение двухступенчатого метода или метода поправок приводит к увеличению числа последовательностей, которые необходимо хранить в быстрой оперативной памяти вычислительной машины. Однако, в ряде случаев этот метод является весьма экономичным. Двухступенчатый метод для решения дифференциальных уравнений рассматривался Л. В. Канторовичем [2), Б.
А. Самокишем [Ц н др., а для разностных эллиптических уравнений— Е. Г, Дьяконовым [2[, [7), Ганом [Ц, [2), С. Г. Михлиным [Ц. При этом в качестве регуляризатора Я выбирался разностный оператор Лапласа, а внутренним итерационным процессом для решения уравнения йи = г„являлся метод переменных направлений с циклическим набором итерационных параметров. Комбинация вариационного метода с методом переменных направлений рассматривалась Г. И. Марчуком [2), С. К. Годуновым и Г. П.
Прокоповым [Ц. й 4. Трехслойные итерационные схемы В этом параграфе мы рассмотрим трехслойные итерационные схемы для уравнения Аи (1) где А — линейный положительно определенный оператор, гл, чпь итввкционные методы 518 действующий в гильбертовом пространстве Н. В литературе такие схемы известны как двухшаговые, трехчленные или как итерационные схемы (методы) второго порядка (см., например, Д.
К. Фаддеев и В. Н. Фаддеева [1)). 1. Постановка задачи. Трехслойная итерационная схема для уравнения (1) связывает трн итерации дь ь дд, ух~,, так что ухе, определяется через ух ~ и ум Любая трехслойная итерационная схема для (1) с постоянными операторами и параметрами может быть записана в виде (ср.
гл. Ч, 5 2): еь+1 эь-1 В +' " ' + Р(уь ы — 2уь+ ух-,)+ АУ„=1, й = 1, 2, Мы ограничимся изучением стандартных схем с регуляризатором Р=хВ, х~О, (2) предполагая, что Я и  — линейные операторы, заданные на Н, и В = В' ) 6Е, б ) О, А = А') О, (з) у,В<А~у,В, у,>О (4) (А и В энергетически эквивалентны с постоянными у, и ух). Стандартная итерационная трехслойная схема имеет вид: В( '+'2 ' '+х(уь~~ — 2уь+у,-,))+Ау„=), У=1, 2, ... (5) Заданы произвольные у, и д,. Наряду с (5) будем рассматрввать задачи В ~ вы " '+х(да+, — 2уь+уд,) +Аде=О, У=1, 2, ..., 2т '1 ' ' *"' (ба) уо у1 — произвольные векторы, Пусть уь — решение задачи (5), и — решение уравнения (1). Для погрешности гь = у„ — и получаем задачу В ~ ~+' ~ '+х(г~+, — 2гь+ гь,)1+Ага=О, й=1,2, .„, 2т (6) ао = уо н~ г1 =у1 и.
Перейдем к оценке решения задачи (6). Для этого нам понадобится обобщение составной нормы, введенной в гл, у), $2. $ с трехслояиыа итар»циоиные схемы ь19 Пусть У»+! =(у», у»+,) — упорядоченная пара элементов пространства Н, О, и О» — линейные операторы из Н в Н, О, = О! ) О, 0» = О! > О. Обозначим 1 »+! ~~!р! 4 ( !(~»+! РР»)' ~»+! Р"»)+ 1 -(- — (0,(д„, - рд,), и„, - рр,), (7) где р > Π— произвольное число.
Отсюда видно, что ~~ У»+, ~(р, > О и является нормой при 0,)О, 0,>О. Если же Р, >О, О,>О, то !! У»+! ~~,м — полунорма. В дальнейшем будем пользоваться обозначениями 2 ! — $ ть= ~ Рь= ~ ь= у +уч ' 14-з ' (8) 1 У~+Уч ! 1 — РГ т, = , х, = — р, = , (9) Р ~~~р 4 2тч 1 + Р 4 д — рь 1 1 ! и (10) 1+р! Нашей целью является получение для решения задачи (6) априорной оценки вида 1~2„~, ~!,М <р~~2„~~„,(р"!1У, 11,„,, 2„~, =(г„, г„е,), (1!) из которой при р<! следует сходимость итераций по схеме (5). Оператор В и параметры т, к должны быть выбраны из условия минимума р.
Сначала из этого условия выбираем т и к при фиксированном В. 2. Выбор итерационных параметров. Теорем а 1. Пусть выполнены условия (3), (4). Тогда для решения задачи (6) при х х! имеет место априорная опенка Р.„~~ .=рЦг,~, (12) еде !1г„4!~~, ! опРеделлетсЯ по фоРмУле (7) пРи Р=РИ Р! - А — у,В, О, = у, — А, а т! и х! даются формулами (9). Док аз а тел ь ство. Положим в (6) г„= р"о„, где р> О— произвольное число.
Для о» после очевидных преобразований получаем задачу В»4' » ! + Д(о»,, — 2о»+ о» !)+ Ло = О, о! = Рг!> оь = гы гл, чш, итнрхциоиныв методы с операторами А А 2т(1 — 2хтт) В р кт(!+т') — т В т (1 т~) т (! тз) н (1+ т') — 4хтт 1 — р В, 1 — ъ'2 ' 1+р ' Согласно гл. И, 5 2 схема (13) устойчива в полунорме 1! У„+, !(„г где У„+, — упорядоченная пара элементов, У„+, — — (о„, о„+,), если выполнены условия А=А'>О, В=В')~0, К=К>0, К>А/4. (!4) Приравнивая В нулю, находим 1+ т' х= —.
4тт (15) После подстановки этого выражения в формулы для А, В, получим 1 — ~Ф т /(= — В, А=А — — В, 4тт ' т 1-!!! В- — А= — ~ —  — А) 4 41тт Требования А) О, В Ъ А/4 будут выполнены, если — В ~ ~А( — В. Сравнивая эти неравенства с (4), видим, что параметры т и т можно найти из условий ! )'!=.,Ф уз= тт. (16) Отсюда получим Р~+ 1,„~Р! 1Чаы (17) э=1/ — ' = )/в, т= =т„р=р!= 1-~ э — '= .Ут После подстановки этих выражений в (15) определим х = х! = (у~+уз)/4.
Из предыдущего ясно, что минимум р (макси-' мум 5) достигается лишь при условиях (16). Для о мы получили задачу Я(оэ+!-2оэ+о„!)+Аоэ — -О, й=1, 2, ..., и,=р!з!, о,=г„ 1 где 44 4(у' у)В>0, А=А — у!В=4)!>О. 1 - 1 ъ ! Так как — /)э= К вЂ” — л = — (у, — А)>0, то имеет место 4 4 4 оценка (!4). Подставляя в (14) и„= р1-эг„получим 4 а.
теехслоииыа итееатогоа!ные ~хамы 621 где норма !1Я„а!(!тм, определена тождеством (7). Так как О, )~ О, Оо)~ О, то ~ ~~,— полУноРма. ГРаницы У! и Ут на пРактике определяются неточно. Пусть у, и у,— вычисленные значения у! и ум так что у! (уь уо > уь Тогда кь ть р! выражиотся 1 через у, и у, по (9), (1О) и О, =А — у,В> — (у, — у,)В>0, Оо=уо — А > — (уо-у,) В>0, т. е. !!Яао! ~~а,-норма. 1 Имея априорную оценку для однородного уравнения (6), нетрудно оценить решение неоднородного уравнения (ба).
Мы рассматривали схему (5) с произвольными начальными данными уо и у!. Значение у! можно определять по произвольному у„ пользуясь двухслойной итерационной схемой В ~~,~'+Ауо=~, где то=, + (18) Теорема 1 при этом сохраняет силу. 3. Явная схема. Хорошо известна явная (В = Š— единичный оператор) трехслойная схема с произвольным нулевым приближением уо и первым приближением у!, определяемым по двухслойной схеме (!8) с оптимальным значением т=то (см. Д.
К. Фаддеев и В. Н. Фаддеева Щ). Рассмотрим эту явную схему для уравнения (19) где С вЂ” самосопряженный оператор с границами у, и уз! С = С', у!Е ~ (С ~ (у,Е, уа > у, > О. (20) Явная схема имеет вид " ' +х!(хо+! — 2хо+хо !)+Схо —— !Р, й=1, 2, ..., (21) 2т, '+Схо=!р, х,— произвольный вектор из В.
(22) то Выразим ха+! через ха и ха !! 4т~к~ /, ! 1 2т,к, — ! 2т~ "+' 1+2т,к, 1 й~~ ! о 2т,к,+! " ! 1+2т~к Подставляя сюда выражения (9) для т! и к!, получим х„+, (1+ а) Вхо — аха-1 + (1+ а) то'Р х, Вхо+ тоур, х, - произвольный вектор, (23) 17 А. А, Самарская гл. уцц итео»ционныв методы 522 где о = Š— тоС вЂ” оператор перехода двухслойной схемы с т ° = то = 1/(2н!) = 2/(у! + уо), 2т~к~ — ! у1+уо — 21~ул~ ( ! — Фт$1 2тк, + ! У1+Уо+2)ГУГУо ~ !+У$1 Уо т.
е. (24) а ро !' Схему (23) обычно получают так. Записывают сначала уравнение (!9) в так называемом подготовленном виде, т. е. в виде уравнения о = Юо + т!р, Ю = Š— тС, и выбирают т так, чтобы !!Я была минимальна. Для этого, как было показано в $1, надо положить т = то.' о=до+то~р Я Е вЂ” тоС. К этому уравнению и применяют явную схему (23). В силу теоремы 1 для схемы (23) верна оценка (17) при В = Е.
Рассмотрим теперь схему х + ! — — (1 + а) Юх» — ах, + (1 + а) то!Р, а = р'„ (26) хо и х, — произвольные векторы из Н. Она отличается от (23) только произволом в выборе х!. Скорость сходимости схем (23) и (26) в составной норме)( !! ! одна и та же: !п — =!и==О(2$~й) $-»О. Р1 ! -УГ 4. Оценка скорости сходимости явной схемы. Теорема 2, Пусть выполнены условия (20), Тогда при а ро! для задачи »»+! =(1+а)ох» — ах» !, й= 1, 2, ..., х, =ох», хо~ Н, (27) еде 5 = Š— т,С, верна априорная оценка (28) Д о к а з а т е л ь с т в о. Последовательно применяя уравнение (27), получим хоы У„(Е)х, +Я„!(В)хо, п=1, 2, ..., (29) где во„(Ь) и Я ! (3) — операторные полиномы степени и и и — 1 соответственно.
Подставляя (29) в уравнение (27), получим, А С ТРЕХСЛОИНЫЕ ИТЕРАЦИОННЫЕ СХЕМЫ а2з в силу произвольности хм что Я и У„удовлетворяют рекуррентным соотношениям У„~~(5)=(1+а)5У„(5) — ОУ„1(5), п=2, 3, ..., (30) Я„Р, (5) = (1+ а) 5Я„(5) — аЯ„, (5), и =!, 2, ... (31) Из уравнений (27) и (29) при л = п = 1 и л = л = 2 следует: У,(5)=(1+а)5, Яь(5) — аЕ, У, (5) = (1+ а)т 5' — ОЕ, Я, (5) = — а (1 + а) 5, Чтобы формула (30) была верна и для л = 1, определим Уь(5) из соотношения аУ,(5) =(1+а) 5У, (5) — У,(5), т. е. Уо(5) = Е. Таким образом для У„и Я„выполняются одни и те же соот- ношения (30) с начальными условиями Уо(5) = Е Яр(5) = — аЕ, У~(5)=(1+а)5, Я,(5)= — а(1+а)5.
Отсюда следует, что Я„(5) = — ОУ„(5) и формула (29) принимает вид х„+~ = У„(5) х, — аУ„, (5) хц (33) Положим У (5) = рЯ ( 5) — рлдн (5) Подставляем это выражение в (30): р"+'Я (5)=(1+а)р"р 5Я (5) — ар" 'Я (5), а~рт, Разделим обе части на р",+' и учтем, что 2р~ Ро= — т ° !+р( В результате получим для 1;1„рекуррентную формулу Я„, (5) 2Я~„(5) — !',1„, (5) (34) с дополнительным условием Яо(5)=Е, 1;1,(5)-25, где — Е<5- ! 5<Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
