Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 83
Текст из файла (страница 83)
Более просто формулу (23) можно по- лучить из условия ортогональности Ашь н шч~ь где — ! ш т, = ге~ — тьыВ Агсь нли из условия минимума ]~ шч~,]]~: ]] гв 1 ]]~~ = (Вшь гсч) — 2тьы (Агвь шх) + тьг~ (В 'А мь Аыз). $3. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ и такие, что справедлива оценка () Š— т,С )) е р, ( 1. (28) Тогда имеет место неравенство (Сх, х)'~ )(1 — р')!! Сх(!'1) х 1(' длл всех х ~ Н.
(29) До к аз а тельство. По условию )((Š— т,С) х !(! =)) х !)! — 2т„(Сх, х) + т''2 Сх)(! (р'-)( х ))з для всех хен Н. или (Сх, х)' ))СхЯ~ „' р !р(а), — $х)~ <р (а) = 2а — * а', а = т, ' (Сх,х) (ЗО) По условию т, '~~а~~у, '. Вычислим 1 — р 1 „2(1 — р) !р'(а) =2 (1 — —" а), !р" (а) = — ' <О, Пусть максимум достигается внутри отрезка [у, ', у, '], т. е. <р' (а) = О при а = а„ т а,= 1 — р так что 1 — р~ !! т !р(ас) =а, 2 — — 'ар)= "х =а,.
/ Подставляя зто значение в (ЗО), получаем ))Сх()з< или (Сх, х) )(1-р)~(х!~)1СхК, (1 — р~) 1х 1~ что и требовалось доказать. Нетрудно убедиться, что и при ар=у! ' или ар у-! лемма сохраняет силу. Отсюда находим 2 1 — р~ (Сх, х) / 2)(х12 1 — р ~)х1 ) )(Сх(Р~ — (Сх, х) —,')~х)Р— с, т~ т,)х1 [, (Сх, х) т, (Сх, х) / 5!2 ГЛ. У!11.
ИТЕРАЦИОИИЫЕ МЕТОДЫ Т е о р е м а 3. Пусть С вЂ” несамосопряженный оператор, С: Н-РП, и выполнены условия у,Е < С < у»Е, уг > у1 > О, ЦС,Ц(~уз С!=О*5(С вЂ” С), У»~~0. Тогда метод минимальных невязок У»+, —— У» — т»е,гы г» = СУ» — 1, т»+! — — (Сгы г»)Ц! Сг» ((! сходится со скоростью 1п(1/р), еде Ра+ !г уг — у! уз !+ЕР»' а У+У, ' У' + г У1У» Уз так что справедлива оценка Ц Су» — ! Ц ~< р" Ц Суа - ! Ц. Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем исходить из уравнения для невязки г»+, — — 㻠— т»+,Сг».
Вычислим квадрат нормы г»+,. )!г,цг='!!ГД' — 2т» !'(Сг», г»)+х',~Сг !/г= (Сг», г )» !' (Сг, г»)» Ц Сг /Г ( Ц г» !БАЦ Сг фЦ ) ! Условия (27) и (28) (см. теорему 1) выполнены при т,=т = = та/(1+хра), р,=р. Поэтому верна оценка (29), пользуясь которой получаем Цг»+! Ц!<(! (1 — Р )К1г»!Ц =Р ~1г» У Если оператор С самосопряжен, то и = О, Р = ра и мы получаем оценку Цсу, - Ц~<р»ЦСу, — (!!. Такая оценка была получена !У1. А.
Красносельским и С. Г. Крейном (!). Покажем, как, опираясь на лемму 3, оценить сходимость метода наискорейшего спуска. Все делается сначала для явных схем у»+, — — у» — т»а.гг», г» = Су» — !, т»,, С=С'>О, У1Е<С<У»Е, У1>0. Ц '» !Ц (Сг», г») ' Введем обозначение Р»=С Ьг». Тогда для г» получим уравнение г»+, —— 㻠— т»+,Сг». З 3. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ Формула для т»+~ примет вид (Сг», г ) т»+~ 1(ст,(р ' После этого повторяются рассуждения, приводящие к доказательству теоремы 3. В результате получаем оценку ~г»»,Г~~Р»1г»~~ 'з'г»(~ =(С 'г», г») =(С 'С(у» — и), С(у» — и)) ='зу» — и~1 . Таким образом для метода наискорейшего спуска верна та же оценка '1 У»- и'(с (Рь» "1 Уь — )с, что н для явной схемы с постоянным т = та.
Сл едст вн я. 1. Для неявного метода минимальных поправок (20), (23) верна оценка 1!Ау» — РНЕ- <Р"ПАуь — РПЕ-ь А чь А', В=В'. 2. Для неявной схемы скорейшего спуска имеем ) У» — и~„- РЦУ» — и~~„, А = А*, В = В*. 5. Двухступенчатый метод. Рассмотрим уравнение У» »1 = У» т»+Л». Для поправки ш» получаем уравнение Вге» = г», г» = Ау» — 1. (31) Оператор В задается либо конструктивно, в явном виде (например, В есть факторизованный оператор В =(Е+ вВ~)(Е+ вЕ»), Д» = Вь илн В = (Е + вЯ~) (Е+ в»%), )»а = Ва > О, В1Р» = А»Е1) либо строится в результате некоторого вычислительного процесса.
Это имеет место для одного из вариантов метода поправок— двухступенчатого метода илн метода составных итераций. Он состоит в следующем. Пусть оператор В = В* > 0 эквивалентен оператору А > 0 с постоянными с, и с». е,Д(Л(сф (32) и выполнена одна из групп условий (18), (5), (6) прн А чьА' или условия (32) прн А = Л'. Для вычисления поправок ж» уравнение Иге = гы г» = Ау»- ~ (33) гл. чи(.
итаехционныа митоды решается либо прямым (дающим точное решение) методом (тогда В = В), либо при помощи некоторого итерационного метода (метода внутренних итераций) с начальным условием в(0> Итак, пусть дан некоторый метод внутренних итераций. Пусть Т вЂ” разрешающий оператор этого метода, так что в("'> — в Т (Π— в) или в("> =(Š— Т )в, где в("'> — 'итера- ция номера л>, в — точное решение уравнения (33).
Если выполнены условия 1! Т !! < () ( 1, Т = Т, то в силу самосопряженности Т„, будем иметь: — г(Е < Т а-.г(Е, (1 — (()Е-= Š— Т =(1+ ()) Е, — Е((Š— Т ) '~~ Е, Подставляя в=(Š— Т„) ' в("' в (33) и полагая ва = в('">, получаем -> Ввх=гь или вх=В г„ где В Р(Š— Т) '. Если Т и К перестановочны (Т„й = КТ ), то легко находятся постоянные у, и уз эквивалентности В и Р =(Š— Т )В. В самом деле, (1 — д)(Вх, х)~(Вх, х) ((Š— Т„,) Вах, В'х)((! +())(Вх, х), т.
е. у, = 1 — (), уз= 1+(). Требование перестановочности Т и Я является весьма сильным. От него можно освободиться, если условие окончания итераций взять в форме П в в 4~ (()» 1 или ф (в00> — в), в00> — и>) ~~()0 Предположим, что для отыскания а>( > применяется неявная двухслойная схема „((+и щ Р, +Рв((>=ге, в(>=О, (=О, 1, ..., >и — 1, Еоы где ( — номер итерации, О>, Ог, ..., Π— последовательность параметров, оператор )3( В, положительно определен.
Чтобы свести эту схему к явной схеме перестановочность В( и Р не нужна, Достаточно положить $(=агав(о, (р(=КО( 'г, С(=К"Т>,'К" 515 З Е НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ и мы получим схему 5!+! — 5! в,+, +СД! =ф! или $!+! —— л!+Д!+ 6!+!ф„( О, 1, ..., т — 1, где $ — — О, 5с+! — — Е- 8!+,Сп Применим к (33) оператор )1~*0~ '. СД = фн 5 = В'А и!, где и! — точное решение уравнения (33).
Для разности з! =$! — й имеем е!+!=В!~-!з! ЕМ=ТмеО, Тм=ПЕ! с-! или )ТА(ю! 1-ю)=т.)(л(О-~)= — т.ВУ . Отсюда находим Еьи=(Š— Т ) 'К~а! 1, После подстановки этого выражения в (33) получим Вп!А=га, В Еа(Š— Т ) 'ЯА, где Т„= Ц В! — самосопряженный оператор. ! 1 Условие окончания итераций 11 и!<"'! — н!Ц(~д<! выполнено, если ~~ т„!)(д. Покажем, что у,В(В(у,В, где у, 1 — д и у, 1+ л имеют значения, найденные ранее, Для этого рассмотрим (Вх, х) = ЯА'(Š— Т,„) ' й Ах, х) ((Š— Т„,) ' В Ах, Р!'х), так как (цяа)" =К'А. Отсюда и из оценок для (Š— Т ') ' следует — ()тх, х) ~ <(Вх, х) ~ (— Ях, х) 1 1 или (1 — д) В ( )г ((1+ д) В.
Для внешних итераций УА+! УА тА+!и!А параметр тА+, можно выбирать одним из следующих способов, гл ч(п. итвг»цнонныв методы 1. Если А = А* — самосопряженный оператор, то 1) используется чебышевская последовательность параметров т» = то/(1+ ро(»»), где ((»») — «устойчивый» набор, указанный в 5 2, п. 1. При этом у( С( (1 (() у» Со(! + (() 2) т»+) = то. 11.
Если А Ф А* — несамосопряженный оператор и выполнены условия леммы 2, то полагаем т»+, =т, где т определяется по формулам (16) с у( — — (! — (1)с), уо = = (1+ (1)сь уо =(1+ (1)со 111. Если постоянные с), сь со (см. лемму 2) эквивалентно- сти операторов А и )г неизвестны или оцениваются слишком грубо, то т»»( можно вычислять !) либо по формуле для неявного метода наискорейшего спуска (г» м») т»+) =, если А = А', (Ав, в») 2) либо по формуле метода минимальных поправок (,А») (В (Ав», Ам») как в случае самосопряженного А = А', так и в случае несамосопряженного А ч»А* оператора.
Из последней формулы видно, что двухступенчатый метод минимальных поправок требует последовательного решения при помощи одного и того же метода итераций Т двух уравнений Рв г в(0) О в — в(т) »~ »вЂ” РС=Авы с' =О, с» В 'Ав»-— с(~). (0) Зная в» и В 'Ав» = с»= с(~), определим по формуле (23) параметр т»+). В силу теоремы 1 имеет место оценка !! у» — и '(!в ~ р"'(! ро — и Ь, и = (~+„, где ро и к даны формулой (16), а у( — — с) (! — (1), у» = с»(1+ (1), уо = со(! + (1). Если А = А", то х = О и р = ро. Внутренние итерации для более простого уравнения Яв = г» должны проводиться возможно более экономичным методом.
В частности, если )г есть сумма конечного числа попарно перестаиовочных самосопряженных положительных операторов, 1с (с) +... + Р.„, то для решения уравнения (ЗЗ) можно при- $ с тнехслойные итвнхцмонныв схемы ат менить метод переменных направлений с циклическим набором параметров (см. з 1), илн же с набором параметров по Жордану, если р = 2. Если )г — оператор разностной задачи Дирихле в р-мерном параллелепипеде, то условие 1[Т 11 ( д ( 1 будет выполнено после гп= 0(1п а 1п — ) итераций, где 6 — шаг сетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
