Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Тогда р =, т! = 6/б. 1+Уч ' Скорость сходимости итераций 1п(1/р) 2 у' ц+ 0(Т1), как показывает сравнение с п.п. 3, 4 $2, в 2 раза меньше, чем в случае Э а несхмосопгяжннныв уРАВнепня зоб самосопряженных А~ и Аь Однако есть основания предполагать, что этот вывод — результат грубой оценки для ПЯ при А„Ф' чь А,. Фактически скорость сходимости выше. Тот случай, когда А~ и Ае — сопряженные операторы, Аз= Аь был нами уже рассмотрен в п.
5 $2. При этом оказалось, что скорость сходимости итераций 1п(1/р) = 4 т' т)+ 0(т)). 2. Случай несамосопряженного оператора перехода. Рассмотрим теперь уравнение Аи=), (3) где А — положительно определенный несамосопряженный (А чь А') линейный оператор, заданный на вещественном гильбертовом пространстве Н.
Для решения уравнения (3) будем пользоваться двухслойной итерационной схемой (2) из $2 с самосопряженным положительно определенным оператором В. Выше было показано, что неявная схема (2) из $2 эквивалентна явной схеме й = О, 1, 2, ..., хо = В 'у0 ен Н +Сх„=ф, т при хд = Вчуы С = В-иАВ-'6, ф = В-'а!'. Эта схема, очевидно, соответствует уравнению Со = ф, где и = В'аи, ф = В-'61.
Для оценки скорости сходимости итераций рассмотрим однородное уравнение с произвольным хаен Н: хь+~=Зхы Й=О, 1, ..., З=Š— тС. (4) Из предыдущего ясно, что достаточно ограничиться изучением явной схемы, получить для нее оценку ПЯ и выбрать т из условия минимума ПВП. Рассмотрим сначала случай, когда заданы нижние грани операторов С и С ~: СЪуЕ или (Сх, х))у,~)хПз, у,>О, (5) С ~ )— Е или ПСхП'ч у,(Сх, х), уз)0, (б) Уз хан Н вЂ” любой элемент. П реди ол ага я, что 2 — ту, ) О, получаем П Ях)г П х — тСх1г=~)хПз — 2т(Сх, х)+ т~ПСх1р( ч Пх1Р— 2т(Сх, х)+тттз(Сх, х) =Пх ~П вЂ” т(2 — тУ~)(Сх, х) ~( ~( (1 — т (2 — туз) уД П х П' = (1 — 2ту~ + ттууз) П х 1П.
Выбирая т из условия минимума трехчлена, т= 1/у„находим П ЯхПч- (! — у,/у,)Пх)Р, гл. ч!!!. итеял!гионнын,методы Таким образом, если для несамосопряженного оператора С выполнены условия (5), (6), то справедлива оценка [!5[[< [/1 — э, 5=у!/уг при т=!/уг. (7) Улучшить эту оценку путем выбора т не удается. 3, Оценка [!Я при увеличении объема информации. Объем информации относительно оператора С (А и В) может быть увеличен заданием трех чисел у!, уг, у, вместо двух т!, уг. При этом оценка для [[Я улучшается и переходит в оценку для ![Я при С С'. Приближенное решение этой задачи было получено Ганом [2).
Здесь дается точное решение задачи о минимуме ~[5~! (см. А. А. Самарский [25)). Представим С в виде суммы двух операторов, симметричного Со и кососимметричного С!! С=Со+С! Со=О 5(С+С'), С! =0,5(С вЂ” С*), (8) где С* — сопряженный к С оператор, так что (Сх, у) = (х, С*у). Обратимся к уравнению (4): хо+! (Š— тСо — тС,) хо — — (ОŠ— тС,) хо+ ((! — 8) Š— тС,) хм (9) где 0 < О ( ! — произвольное число.
Предположим, что С удовлетворяет условиям у!Е < Со < <ЪгЕ, [! С, [[~ (уг, (10) где уг > у! > 0 и уз >~ 0 — заданные числа. Перейдем к оценке решения уравнения (4): 1~ хо+! [~ < О [[Š— — Со[[[! хг [[+ [! (! — О) Š— тС, 1~ [[ х [[, (11) Наша задача — выбрать параметры т и 8 так, чтобы норма [[Я = ~[Š— т(Со+ С!)[~ была минимальной, Так как С само- сопряженный оператор с границами у, и ум то, согласно тео- реме 2 из 8 2, т в Со[= Ро = ! + ь э = — при — = т„(12) во[[ о !,,~ тг т = то8, то =2/(т!+ уг) (13) Рассмотрим второе слагаемое в правой части неравенства (11): [[(1 — 8)х — тСх[[!=(1 — 8)'[[х[[г — 2т(1 — 8)(С,х, х)+т'[[С,х[!т = (1 — 8)'[[ х [г+ тг [[ С!х Ц' ~<((1 — 8)г+ тогйгуг) [[ х [!о, так как (С!х, х)=0. З 3.
НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ 507 Итак, мы имеем !1 х, +1 !! (|! 5 1! 11 хо 11, (14) ))о))а/(о), )(8)-вр,.~~~~ — 8) +8, =211 (15) Найдем теперь минимум функции 7(8). Вычислим производную 1-0-а'0 а-а' 1 — 0 )( (! — 0)2+ а202 !' ао+ ао 0 Условие 1'(8) = О дает р, )) а'+ ао =а — ао. Отсюда получаем квадратное уравнение для а: (! — РО) а — 2а~а+ ао(а2 — Р2) = О и решаем его: Фт)то ко (1 Ро) к ) 2 о 2 (т)+то)2 ! — Хо 1-к' Ро 2 2 Хо 1 — Хо ко Ро+а = ! Ро+ Преобразуем подкоренное выражение 1 Х (1 ро) 1-Ро а +, „, = 1, = — „,, откуда получим а'(к+р,) к(х+р,) "(! Ро) 1 ! — к' !+а !+Хр, ' 1+ кро 1 — х 2 ) 1 1 2 2 ро+а а Найдем теперь 1(8) = — ро+ )Гао+а' = .
Учи!+а 1+а (1+а) ро ' тывая, что р + а-а =(1+ а) — (1 — р + а-) 1+ а — — „, = —, 2 2 2 М а' ! +ХРО Ро Ро + х = Ро †, получаем 1 — к' 1 — х' ' а + Ро )( 1 — Ро + а а=а 2 ! — РО (второй корень непригоден, так как он может быть отрицательным при некоторых значениях параметров а и Р,). Введем обозначение х=уо/17у)уо+у22, так что ГЛ. Шзе ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Таким образом доказана Теорема 1. ПустьС =Со+С„Со=05(С+С), Сз =05(С-С) и выполнены условия (10): у~Е («Со «(узЕ~ уз «у1) О, !! С1 !! «(ун уз 220. Тогда при т = т, где о( )/( Ро)' Уз/~ У1У2+Уз' то = 2/(% + уз).
Ро (1 й)/(1+ й) й = Муз для нормы оператора перехода схемы (4) верна оценка !! 5 !! = !! Š— тС !! «(Р, Р = [(Ро+ н)/(1+ нро)) ( 1. (17) 3 а м е ч а н и е. Пусть С задан в комплексном гильбертовом пространстве Й, С=Со+!Си Со=0,5(С+С'), С,= —.(С вЂ” С'), узЕ«(Со (узЕ, !!С2!!(«уз. Тогда теорема 1 сохраняет силу. Теорема 2. Пусть А = Ао+ Аи В= В')РЕ, 8>0, у,В«(.42«(узВ, (В 'А,у, А,у) («узз(ВУ, у), (18) где Ао = О 5 (А+ А), А~ = О 5 (А — А), уз ) >у~ ) О, уз~ )0 — заданные числа. Тогда при т = т для неявной схемы (2) из $ 2 вернь! оценки !!Уп и!!в(«Р !!Уо и!!в !!Уоы Уо!!в«(Р !!У! Уо!!в. Для практического использования этой теоремы полезна Л е м м а 2.
Пусть Я = К > О, В = В' ~~(!Е, 8 ) О, А = Ао+ А„ Ао = Ао ) О; А, В, Е заданы на Н, у В «(В ( уз В, с1 Н ( Ао ( «соей, (Я 'А,у, А,у)(«сз(/!у, у) для всех уев Н. Тогда выполнены условия (18) с постоянными уз =сЛ~ уз = гоуз уз = сзуз (сз) с1>0, сз) 0). Найденные здесь априорные оценки позволяют получить оценку числа итераций, достаточного для нахождения по схеме (2) из $ 2 приближенного решения задачи Аи=/ с заданной точностью е> О. При практическом применении теории надо выбрать оператор В и вычислить эти постоянные.
В качестве В можно взять один из изученных ранее факторизованных операторов В = (е + аВ1) (е + аЯ2), 3Ь = Яь В =(В+ аз%)(Е+ азЕ2), Кзйз = В2В2> Во = Да> О. О 3. НЕСАМОСОПРЯЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЕОЕ 4. Неявный метод наискорейшего спуска и метод минимальных поправок. Двухслойную итерационную схему В з+' А+Ауз=1, й О, 1, ... (!9) А+! можно трактовать как метод поправок Узы = Уо то+ешь (20) где гид = В-'гд — попРавка, ге = АУА — ! — невЯзка дла й-ой итерации. Порядок счета: вычисляется невязка гз = Ау» — ! по известной я-ой итерации ум затем из уравнения Веиз =го (21) находится поправка ше, подставляя которую в (20), определяем (Й+ !)-ю итерацию уое.ь При этом возникает вопрос о выборе тз„ь Ранее мы имели дело с двумя формулами йз = 3)1„= ~ соз — ', 1 (1 ( л ~, ! ( й (и ! + Рейв (см. $2, п. !), или т» - то = 2/(уе + уз) где ро = (уз — у1)/(уз + у1), у, и уз — постоянные эквивалентности операторов А и В: у,В(А(у,В.
В случае несамосопряженного оператора А мы получили два типа оценок для скорости сходимости итераций н два типа формул для т в зависимости от объема информации (даны ун уз или уь уь уз) Может оказаться, что постоянные у„уз (и уз) зо всех ранее рассмотренных случаях либо априори неизвестны, либо вычисляются слишком грубо. Тогда целесообразно пользоваться для вычисления параметров тд.ем формулой метода скорейшего спуска для неявной схемы А+~ (и„, гз)1(Ашз, ш ) илн формулой метода минимальных поправок тз+е = (Ашм шз)/(В 'Агиз, Ашз) (23) (при В = Š— метод минимальных невязок; М. А. Красносельскнй, С.
Г. Крейн (!)). Дадим вывод формулы (23). Пусть А — несамосопряженный положительно определенный оператор,  — самосопряженный положительно определенный оператор на гильбертовом пространстве Н. Исходное уравнение (3) заменим эквивалентным уравнением Си ф, где С В ААВ А, и Вил, ф В '!. гл. ч1п. итвРАциоиные мвтоды 510 Это уравнение будем решать методом минимальных невязок по формуле оьы = оз — тьыгь гз — — Со (24) где Дифференцируя зто выражение по ть+ь находим (23) из условия равенства нулю производной.
Сходимость метода наискорейшего спуска (см. Л. В, Канто. рович (1]) и метода минимальных невязок (см. М. А. Красно- сельский, С. Г. Крейн (1]) доказана для случая В = Е, у,Е ( 4,'А <узЕ, где А — самосопряженный оператор. При выводе формулы для тьы в методе минимальных поправок нигде не используется предположение о самосопряженности оператора А. Докажем сходимость метода минимальных поправок, предполагая, что А — несамосопряженный оператор.
Напишем уравнение для невязок, полагая А = С, В = Е, т. е. гьы = гь — та,Сга. Нам понадобится следующая основная Лемма 3. Пусть С вЂ” несамосопряженный оператор с границами уз>0 и у1>0: у,Е~(С<у,Е, (26) и пусть существуют числа тч > 0 и р„~(0, 1), удовлетворяющие условию ут ~1 — р (уз (27) (Сг, г„) ьы (] сгь ]г' (25) Переход от (24) к (21) осуществляется при помощи подстановок о,=В'*уь ггь=Со„— у=В и(АВ 'о,— Д= В '*(Ауч — ))=В '*гь где гь Ауь — (. Действуя затем на (24) оператором В 'ь, по- лучим (20). Подставив в (25) (Сгь ггь) =(В ЬАВ 'гь В ~'гз) =(Агсь шз), ]]Сггз]Г=(В нАВ гь В аАВ 'гь) (В 'Агвь Авч), получаем формулу (23).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
