Самарский - Введение в теорию разностных схем (947501), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Из (90) видно, что й (е) )и (4/10 а (е) )и (4/10 ' где т) определяется по тем же формулам, что и Ч, если заменить в них 9 на $ и б„на б„, Л„на Л„. Приведем результаты сравнения для случая квадрата со стороной 1! = 1з = 1 и квадратной сетки с й! = йз = й. При этом т! = б/Л, т! = б/Л, б! — — Лз=б, Л,=Л,=Л, !,10 при й = 0,100, й/л = 1.05 при й = 0,025, 1,04 при й = 0,010.
Объем вычислений на каждую итерацию для обеих схем практически одинаков, а различие в числе итераций незначительно. Так как схема повышенного порядка точности позволяет пользоваться более грубой сеткой для достижения заданной точности, то ее применение особенно выгодно в тех случаях, гл. ии. итнрлционнын методы его когда решение и = и(х) задачи (13) обладает достаточной гладкостью. 6. Метод переменных направлений для трехмерной задачи Дирихле"). Рассмотрим в параллелепипеде 6 =(О ~~х,~ (1а, а=1, 2, 3) задачу Дирихле для уравнения Пуассона з Ли =ХЕ.и= — Пх), а-~ и !г !з (х)~ х (х1г хз хз) д'и Еаи = —., дк (9! ) где à — граница параллелепипеда 6. Введем в 6 сетку взл =((1зйо ззйз рзЬз) за = О, 1, ..., М~, А = ЦМа, а = 1, 2, 3) и исходной задаче поставим в соответствие разностную задачу Л у= — зр(х), х ~ св*, у !т =!з(х), (92) где у — граница сетки, взл — множество внутренних узлов н з 3 Ау=Ау —,", ~,А'.,"~ Л.л,ц, Л=,'~~Л.,Л.у=у „, а ~ вала а-з <р(х) )(х)+ — ()ззЛ1)+ АзЛз)+АзЛз)) (93) (94) ") См.
А. А. Самарский, В. И. Андреев [!1, Если 9 = О, то это схема второго порядка точности; при 0 = 1— схема четвертого порядка точности. Доказательство равномерной сходимости решения задачи (92) к решению задачи (91) можно найти в работе В.
Б. Андреева !2). В качестве итерационной схемы возьмем факторизованную двухслойную схему с двумя параметрами о и т;: Вз ~+ ~ =Л'Уз+сР(х), хин езл, У!т=Р, (95) т~ где у,=уз(х) — любая функция и В! =(Š— отзЛ,) (Š— отзЛз) (Š— от!Аз), о > О. (93) Укажем алгоритм для решения уравнения (95) с оператором (96). Последовательно решаются следующие три задачи. 1) Вдоль прямых, параллельных оси Охз (при фиксированных зз, зз) решается уравнение (Е-отА)ц"'-Е! Е!-Цу,+тз(Л'у!+ р) $ ь РАзностнАя зАДАчА диРихла 47! с краевыми условиями УШ (Š— от!Лз) (Š— от!Лз) 1з, х, О, 1Р 2) Вдоль прямых, параллельных оси Охз (при фиксированных з!, зз) решается уравнение (Š— отзЛз) у'а у<'! с краевым условием уп! =(Е отзЛЗ) и при хз О, (з.
3) Вдоль прямых, параллельных оси Охз (при фиксированных з;, з,) решается уравнение (Š— отзЛ ) у!+! = у!а с краевым условием уз+'=р при хз=О, (з. Можно воспользоваться и другим алгоритмом: 1) (Š— отсЛ!) вн! = Л ус+ Ч, в!а=О, х! О, 1з, 2) (Š— от!Лз) в<'! = в"з„ вел=О при х,=О, 1з, 3) (Š— от!Лз) в<з! в<а, в!" О пРи хз = О, 1з, Ут+! —— У!+ тзв!з!. При атом требуется помнить два вектора уб в!", а =1,2,3. Для погрешности г! — — у! — у получаем однородное уравне- ние обшую систему собственных функций / В . яа!х! . лазхз .
аазхз о (х)=о (х) = у — з(п — з!и — з(ив зззззз 6! зз зз и собственные значения ьа = 1з 2з ...з Ж~ 1з 1!,з = — з(п —, 4 ° з ааааа Ьз 2! так что Лаоз+ ззз оз О, оз ( О. Напишем выражения для ху! ! х! В! + Л'гн х~ вз, г! !т=О, ге=уз — у. (97) ! Операторы Лн Лз и Л, попарно перестановочны и имеют гл. юп. итвгоционныв методы 472 собственных значений оператора Л'. з з р р кз ? =?о(Л)=? — — Хй Х?о? ? =% ?о !2 ~ а а' а' а=! З, а а ! Выразим из (97) г?е, через з?: за=уз у где Я,.=Е+т В Л вЂ” оператор перехода. Отсюда следует, что / » з»='(П ор во= 7»зо 1-1 (! з» (! » ~)! Т» !! (! зо ((, где !! Т„!!= П 51, ҄— разрешающий оператор. 1 ! Так как все операторы, написанные выше, являются само- сопряженными и попарно перестановочными, то !1 8„!!= 1пах(?оо (Я„) ! = 1пах(ро, „1, где з з р,.'.-р, Рз.р=! — .
(р. —,Р У, Р1 ~ р, л. ! П11 .р .р.1 '. а=о а»аа / а-1 Пользуясь выражениями для ?оз, получим Ь'„?а,?оо„< 4?оза, 3 з 1 ~1 /з 1~~~ 2 1!~о~ 2 а-! а ра а-! На основании теоремы о среднем арифметическом и среднем геометрическом (Г, Г. Харди, Д. Е. Литтльвуд, Г. Полна [1) ) имеем Ц (1 + от ?оз„) ' ) (1 + пт„? о/р) ~.
а-! Найдем оценки снизу и сверху для рм„'. р,„„< 1 — (1 — 20/3) т„?оа (1 + птррЛз/3) (98) р, „) 1 — т»?ро(1+ от»?о ) (99) Отсюда видно, что — ! <рм„<1, т. е. (рм„(<! при п)0,5. Ь ь г»зностнля з»дьчл дигихлв Действительно, рь „+ 1 > 2 — т„Л» (1+ от„Л ) ' = = (2+ (2о — 1) т„Л») (1+ от„Л») ' > О. Неравенство рь а < 1 очевидно. Теперь нетрудно показать, что при о > оо, 0 = О или 8 = 1, о = 13)18, оз = 0,5 (100) справедлива оценка [р,„[<р(а), где 0 < р (а) = 1 — — 11 — — ) 1 / 201 За отзЛ» а[ 3) (1+а)з' 3 а = " .
(101) Неравенство р», „<р (а) следует из (98), Учитывая (99), получим р», + р(а)>2— За 1 / 201 За а а(1+За) а 1 3 ) (1+а)' ' — — 1 —— Рассмотрим функцию 1 / 20! За У =2о-1+ — — 1! — — ) о= 1 + За ! 3 ) (1 + а)' и потребуем, чтобы она была неотрнцательна. Это имеет место при условии (100).
В самом деле, 1 а 1+ 2а+ аз !+За (!+а)' (! +За) (1+а)' при а>0,5=он Оценка для У, более грубая: 1 За За Уо=2о — 1+ —— !+За (1+а)з >2о — !в (1+ а)з > >2о — 1 — 4/9>0 при о~)!3/'18=во. Тем самым доказано, что ! р», „! < р (а).
Лемма 5. Пусть даны два числа т и М, причем 0 < т < < 0,5 < М. Тогда наибольшее значение функции р(а) на отрезке [т, М) равно р"= тах р(а)=и!ах(р(т), р(М)). зз<а<М В самом деле,,из выражения р'(а) = — 1! — 3 8)( + видно, что при а = 0,5 функция р(а) имеет минимум, а максимум ее достигается либо на левом, либо на правом конце отрезка [т, М[.
ГЛ. <<Н<. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ 474 [б Наша задача состоит в минимизации нормы разрешающего оператора. Для этого используем циклический набор параметров (см. п. 4): т< т<ь °, т„„т,+» = ты тоо,+» = т» и т д /о = 1 ° ° ° ао Параметры ти т„..., т„, выбираем так, чтобы 1[т„,[~= ПЗ//<р (1, о, где р' не зависит от границ операторов Л<, Ло, Ло. Из леммы 5 следует, что, если условие Зт < ат/Л» < ЗМ или т < а/» М, а/» —— ит/Л»/3 выполнено хотя бы для одного / = /, при любых Л» ее [до, Ло), где бо и Ло — наименьшее и наибольшее собственные значения оператора Л, то [)Т [1<р', так как для всех остальных /~/о будет, по крайней мере, выполнено неравенство 1[Я<11(1, а !! о /, 1~ < р'.
Отрезок [бр, Ло] покроем последовательностью интервалов [$< „, ф</1), /=1, 2, ..., Ио, полагаЯ ф,р< — — б„ф,„о(Л„~<оп~)Л. Любое собственное значение Л» принадлежит некоторому отрезку [$< „, $н11, так что ~</-и <Л»~~1/1 и ат/б, <1« 'ат Л (пт $</г Для определения 5<л потребуем, чтобы выполнялись условия Зт = от/б< „, ЗМ = ОТДл. Отсюда следует ~<п — / Ъ<1 н=/ %<о — Ь~ / 4=т/М т/+< = ()т/, т< = Зт/(обо), Число итераций в одном цикле и определяется из условий (см. п. 4): 1п (Ло/бо) < ( 1п (/<о/бо) + 1 1п (1/д) К пд ( 1п (1/д) При таком наборе параметров т„т„..., т„, [(т.,[1<~р (1, где р' зависит только от т, М, О.
Н $ Э. ТЕОРИЯ ИТЕРАЦИОННЫХ ДВУХСЛОИНЫХ СХЕМ ОБШЕГО ВИДА 475 Проводя йо циклов итераций с набором параметров т„ т,... ..., Ткп получаем !!г "'!(((! Т„,)! ((и 1)и (р ) Требование (р )" <е будет выполнено, если !п !1/е) /ТОФ- '!п(!/р ) ° Для общего числа итераций получаем оценку и (е) = нейе = ио(!и е)1п (бо/Ъо) ие = ((п 91п р') '. Постоянные лэ, М, а следует выбрать из условия минимума коэффициента и,. Нетрудна показать, что для минимизации яе параметры М и гп надо выбрать из условия т(1+ Ач) = М(1+ М) т. е. М = 0,5 ()/(3 + гл)'+ 4/т — (3 + пт)), а величину и взять возможно меньшей, т.
е. и = 0,5 при 8 = 1 и и = 13/18 при 0 = О. Минимум хе как функции т находится численно. При 0 = 1 и и = 0,5 минимум ио достигается при пэ ю 0,135 и равен хе ж 2,272. Если 0 = 0 и и = 13/18, то лт = 0,153 и ме = О 820. Так как (п(бе/бе) = 0(1п (1/1Ь !) ), то чис. ло итераций п(е) = 0((п(1//й!)1п(1/е)). $2. Теория итерационных двухслойных схем общего вида 1. Итерационная схема с чебышевским набором параметров "), Пусть дано операторное уравнение Аи=/, (1) где А — линейный оператор, заданный в гильбертовом пространстве Н, / и и — заданный и искомый векторы из Н. Для приближенного решения уравнения (1) применяется двухслойная итерационная схема В ~+' ~ +Арэ=/, /г О, 1, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
