Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Это происходит также тогда, когда комбинация членов в полиноме представляет функцию формы, обращающуюся в нуль во всех узлах. Такая «нулевая» функция формы соответствует тому, что ранг матрицы (В) понижается на единицу. Выбору числа членов в полиномиальном представлении, т. е. числу компонент в (а), следует уделить особое внимание. При этом вначале необходимо рассмотреть условия из равд. 8.1. Требованиям на движение тела как твердого целого и постоянные деформации легко удовлетворить для описываемых в книге одномерных плоских и трехмерных элементов за счет непосредственного выбора рядов, в которые входят константы и линейные члены.
Удовлетворить условиям межэлементной непрерывности не так просто. Напомним, что, согласно рассуждениям, приведенным в предыдущих главах, если описание функции вдоль границы, разделяющей элементы, однозначно задается степенями свободы вдоль указанной границы, то межэлементная непрерывность данной функции сохраняется вдоль указанной границы, отделяющей рассматриваемый элемент от соседнего элемента. Например, если для описания перемещений элемента выбрана кубическая функция, то для описания функций на каждой границе элемента необходимо иметь четыре независимые степени свободы.
Объединяя приведенные рассуждения с идеей геометрической изотропии 18.5), можно установить критерий выбора необходимого числа членов в полиномиальном представлении функции поведения элемента. Геометрическая изотропия обусловливает сохранение всех членов для полинома данного порядка при любой замене координатных осей декартовой системы координат. Согласно (8.3), полное допуетиное числов членов в полном двумерном полиномиальном представлении т-го порядка равно тl,(т+1) (т+2).
Рассмотрим плоский многоугольник с Я сторонами. Требуется выразить параметр Ь в виде полиномиального разложения в терминах значений этой величины, вычисленных в заданных точках лишь на границе элемента. Если требуется, чтобы этот полинам однозначно определялся на каждом участке границы, то его необходимо задавать там с помощью т+1 точки. Общее число точек, которое необлодимо задать для всего полинома на границе, равно Я(т+1) — Я=Ят (следует учесть, что к каждой из Я вершин многоугольника сходятся две стороны), Приравнивая допустимое число коэффициентов, задаваемое согласно (8,3), требуе- 8.2. Поянномнзяьные ряды мому числу точек, получим з! з (и + 1) (пз + 2) = Ягп (8.4) Это условие выполняется лишь при %=3 и из=! или из=2.
Эти элементы, имеющие вид простого треугольного и шестиузлового треугольного элементов, изображены на рис. 8.1. (а) (Ь) Рис. 8РК Треугольные злементы с узлами по периметру: (а) простой трезузловой; ()з) шестиузловой. Можно построить и другие треугольные элементы, удовлетворяющие приведенным выше условиям, если смягчить требование, согласно которому все узлы лежат на границе элемента.
Зто делается в равд. 8.5. В качестве узловых степеней свободы можно также рассматривать производные от функции поведения. Прямоугольные элементы не удовлетворяют указанным условиям, если «полный> полипом определен, как указывалось выше, даже при смягчении требования на принадлежность узлов границам элементов и задании степеней свободы только через значения самой функции. На этом аспекте акцентируется внимание в равд. 8.4. Приведенные выше рассуждения можно перенести на трехмерные напряженные элементы и пластинчатые изгибаемые элементы. При этом следует отметить два обстоятельства, Во-первых, здесь необходимо добавить формальное математическое определение полноты ряда. Согласно этому определению, если функция Л представлена рядом Ха,йь то требуется, чтобы Л вЂ” ~, аА — О.
(8. 5) ! Ф Зто условие выполняется для полиномиальных представлений, Во-вторых, еще раз подчеркнем, что можно определить элементы и строить для них полиномиальные разложения, которые не удовлетворяют условиям межэлементной совместности. Результирующие формулировки оказываются вполне приемлемыми, если не считать отсутствия уверенности в достижении верхнего или нижнего пределов решения. Полнномиальные выражения, записанные в терминах обобщенных смещений, можно непосредственно использовать при построении матрицы жесткости элемента, соответствующей указанным обобщенным смещениям. Это было проведено в гл. 5 и 6 при построении основных матриц элемента н в гл. 7 в связи с рассмотрением обобщенных вариационных принципов. Полученные таким образом 234 В. Предстааиение ф наций иоаадениа элемента и его геометрии матрицы жесткости могут служить опорными матрицами жесткости, которые можно преобразовать в матрицы, соответствующие альтер- нативным физическим степеням свободы.
1 х,н 2 3 4 Рнс. В.й. Четнрехуэловой стержневой элемент Рассмотрим, например, четырехузловой стержневой элемент, изображенный на рис. 8.2, модель которого надо построить на базе кубического полинома: ат аа и= ( х'х'х1 ) = ~р(З) )(а). аэ па Основная формула для опорной матрицы жесткости, согласно (6.18), имеет вил сто-)(~сущсс~тс э~ 1 то! (6.18) В нашем случае г((чо~=Аг)х, (Е)=Е, а матрица преобразования обобщенных перемещений в деформации (С) имеет вид матрицы- строки ) р' ~, где ) р' ) =(Ыйх)( р(З) ~, поэтому аь ~ ~ [ас(~ттст ~..]. а Если требуется определить матрицу жесткости элемента, соответствующую физическим степеням свободы ио им и, и им необходимо выписать преобразование обобщенных смещений в узловые смещения.
В данном случае это преобразование записывается в виде 1 1 а, 1 а, 1 а, 1 аа и, О О О ит Е' Е' Е иа (2Е)' (2Е)' 2Е иа (ЗЕ)а (ЗЕ)э ЗЕ Обращая стоящую в правой части равенства матрицу, получим матрицу, задающую преобразование аь..., аа в ио..., ио Далее это преобразование применяется к опорной матрице жесткости обычным образом. В.З. Построение функций формы с помощью процед ры иигерпопяции 235 Кроме того, можно отнести метрицу жесткости к граничным смещениям (иг, иг) и производным от смещений в указанных точках (с(игЯх, г(и4/г(х). В этом случае вид преобразования полностью совпадает с приведенным в гл.
5 для изгибаемого элемента (за исключением знака в выражениях для производных) и здесь не приводится. 8.3. Непосредственное построение функций формы с помощью процедуры интерполяции Хотя полиномиальное представление предполагаемых полей перемещений полезно для задания полноты функций и выполнения определенных условий, а также подчас существенно в некоторых подходах, используемых в конечно-элементном анализе, чаще предпочтитель.
нее задавать рассматриваемые поля непосредственно в терминах узловых степеней свободы, т. е. в виде функции формы. Это можно осуществить с помощью процедуры интерполяции. В этом разделе продемонстрируем применение этой процедуры к функциям формы в одномерном случае. $.3.1. Интерпепяция Лвгрвижв Интерполяция Лагранжа позволяет определить коэффициенты полиномиального представления функции через значения функции в точках прямой. Рассмотрим прямую, изображенную на рис.
8.8(а), разделенную на сегменты равной длины с помощью (лг+1) точки 1,2,..., лг+!. 1 к 2 3 гп- 1 т из+1 (а) 1 2 ги-1 т рнс. 8.3. Интервалы дпя интерполяции Лагранжа. (а) Разбиение на интервалы прн рассмотрении физических координат;(Ь) разбиение на интервалы при рассмотрении естественных координат. Расположение точек определяется физическими координатами хы х„..., х +1. Требуется определить функцию Л, принимающую определенные значения Лг, 23„ ..., Ь +, в этих точках.
Это можно осуществить, придавая полиному т-го порядка в данных точках указанные значения. Результирующее выражение имеет вид т+1 л = ~ лА=( р( )(л), гиг 2ЗЬ В. Предстаапенне функций поведения элемента и его геометрии где символом П обозначено произведение указанных разностей ((х — х ) или (х; — ху)! в заданном диапазоне изменения /.
В развернутой форме рассмотренные выражения запишутся в следующем виде: 1рг— (х — х,) (х — х,) ... (х — х, +О (х,— хз (хг — хз)... (хэ — хм+э (х — хй (х — хз) ... (х — хи+О (хз — х (хз — хз) ... (х,— хи+э) ' (х — хд) (х — хэ) ... (х — хи) и+1 (хм+э — хг) (хньэ — хз) ... (хи.р.г — хи) ' В качестве примера рассмотрим простейший стержневой элемент с двумя узлами, т. е. с и=1. В этом случае хт=О и что является обычным представлением для этого типа элемента. .хг д 1 (а) Рис. В«И Трехузловой стержневой сегмеит— альтернативные формы нумерации узлов. (а) Нумерация узлов для физических координат; (Ь) нумерация узлов для естественных коорди.
иат. 20 (Ь) Для трех точек на линии (рис. 8.4(а)) имеем т=2. Опять х,=О и при равномерном разбиении х«=2х,. Таким образом, о— (х-х,) (х — 2х,) ° 2хэ — х . х(х — хз) г Аг+х =,, Аз+ 2хэ х, '2х, г г з в Альтернативная форма представления координат узлов на прямой использует естестееннотя координаты, которые получаются при лереходе от физических координат к безразмерной системе, причем естественные координаты принимают в узлах значения О где, очевидно, члены й)з — функции формы, так как Л1г=! для А, и А),=О для Ан )~й Указанные действия были выполнены уже в равд.
6.1 при составлении соотношений (А )=!В! (а) и разрешении их относительно (а). К счастью, для одномерного случая уже имеется в наличии формула, полученная Лагранжем: о+1 о+ 1 А(, = П (х — х )/ П (х; — ху), (8.6) 1=1 (=! г«м /М В.З. Построение функций формы с помещика процедуры интерпопвции 2эу или 1. Поэтому применение естественных координат является полезным при задании функций формы. Чтобы ввести естественные координаты в одномерном случае, рассмотрим изображенный на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
