Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 40
Текст из файла (страница 40)
6, эти интегралы определяются отдельно для каждого из элементов и результирующие произведения векторов суммируются, что и приводит к глобальному произведению векторных величин в виде (7.6). В равд. 6.4 показано, что потенциальная энергия Пр выражается в виде п„= и+р, (7.7) и после подстановки выражений для (7 и )г из (7.4) и (7.6) имеем Г) =т~,( Л ((К)(Л) — ( Л ) (Р).
(7.3) Применяя к этому выражению необходимое условие минимума, т. е. (дП р/дЛ ) =О, (73) получим (К)(Л ) = (Р). (7.10) Следует отметить одно важное методологическое различие между изложенной выше методикой и прямым методом жесткости. Прямой метод жесткости позволяет получить каждое уравнение, непосредственно рассматривая равновесие узловых сил для каждой стспсии свободы.
В подходе, основанном иа принципе минимума по е шпальной энергии, те же уравнения получаются в результате сложения энергий каждого элемента с учетом ключевой матрицы„ позволяющей связать локальные и глобальные степени свободы,— цатрицы (А).
Последняя методика особенно ценна в ситуациях, «огда силовые параметры, соответствующие определенным типам тепеией свободы, не имеют ясно выраженного физического смысла 2оз у, аариационныа принципы глобального анализа конструкций (например, для степеней свободы в виде производных высших порядков от перемещений). В начале гл. 6 отмечалось, что многие положения конечно-элементного анализа можно трактовать лишь на основе энергетических концепций.
Для метода, основанного на использовании потенциальной энергии, это значит, что энергии деформации отдельных элементов суммируются согласно (7.1), а потенциал приложенных нагрузок выписывается непосредственно по заданным силам. Г1роцедура построения глобальной матрицы жесткости в этом случае совпадает с процедурой построения матрицы в прямом методе жесткости. Однако здесь нет необходимости вводить такие понятия, как силы в узлах элемента, потенциал этих сил ( — [ г г ) (Лг)) и операции, связанные с построением соотношений жесткости путем непосредственного рассмотрения условий равновесия в узлах для каждой степени свободы.
Аналогичным образом с помощью энергетических методов можно построить глобальные конечно-элементные соотношения для всех описанных в гл. 6 классических, смешанных н гибридных принципов. Кроме того, на вычислительной стадии конечно-элементного анализа можно ввести процедуру [7.1[, учитывающую, что потенциальная энергия на решении достигает минимального значения, Из соотношения (7.8) видно, что Пр — квадратичная функция переменных Лт,..., Л„, и условие, что решение отвечает равновесию системы, совпадает с условием минимума функционала Пр.
Существует много надежных алгоритмов нахождения набора параметров, доставляющих минимум квадратичной функции от этих параметров. Так как описание математических алгоритмов не входит а задачу этой книги, обзор указанных алгоритмов не приводится.
Читателю рекомендуется обратиться к работам [7.1) и [7.2[. Отметим, однако, одну особенность данного подхода. В действительности можно построить глобальные кинематические матрицы, объединяющие кинематические матрицы элементов, на основе поэлементного учета матриц, т. е. в виде (Л')=[А)(Л ), (7.1 1) где величина (Ь') введена для обозначения вектора внешних степеней свободы для 1-го элемента. Тогда выражение (7.1) примет вид (/ = т/т ~ $ Л' ~ [Аг|т [йг1[А'1[У). (7 12) ( 1 Используя это представление, можно вычислить скалярную величину [/, не выписывая глобальных матриц [К[ и [А!.
Это делается для того, чтобы исключить операции с нулевыми матрицами, обусловленные соотношением (7.5). Д2. Рецгение на основе лринцила минимума логенцнальной энергии 209 7.2. Решение, полученное на основе принципа ммнммума потенциальной энергмм,— нмжияя граница решения Численное решение, удовлетворяющее всем условиям минимума потенциальной энергии, называется нижним граничным решением, так как найденные численно значения энергии деформации и коэффициечтов, стоящих на главной диагонали матрицы податливости, не превосходят значений для «точного» решения (т.
е. получаемого при бесконечном числе элементов). Высказанное утверждение можно легко проиллюстрировагь, рассмотрев коэффициент податливости Гг„стоящий на главной диагонали матрицы податливости. При возрастании величины силы Р; от нуля до текущего значения (при отсутствии других сил) производится работа Ргб,!2, равная внутренней энергии деформации У. Потенциал приложенных сил есть — Рг7»о поэтому точное значение потенциальной энергии равно — Р д — Р'! П =и+у='— "' — .Л.= — ""= ' " "'".
(7.1З) Приближенное значение потенциальной энергии для той же силы равно )!Парргах П (7. 14) Приближенное значение Пр лежит правее, чем точное значение, так как точное значение есть минимум. Замечая, что П„ отрицательная величина, из сравнения (7.!3) и (7.!4) находим, что значение ггг Должно быть меныне значениЯ ~гг и а именно "арргах ехасг' (7. 15) ~ГГехас! ' "арргах >!" откуда следует, что решение, полученное на основе принципа минимума потенциальной энергии, дает нижнюю границу для коэффициента податливости, стоящего на главной диагонали. Чтобы проиллюстрировать высказанные выше утверждения, рассмотрим вначале конструкцию, составленную из двух стержней (см. рис.
7.!). В этом случае потенциальная энергия равна Пр — — еге(АЕ!1 ) и,'— Рена. На рис. 7.2 изображена величина П в зависимости от значений, принимаемых иа. Если, например, оценим и,=У,Р,Е!АЕ, то П„= — '1,„(Р',Е!АЕ), в то время как для и»=Р»ИАЕ получим Пр — — — '/е (РУ.!А Е). 7.
Вариационные лриицилы глобального анализа конструкций 210 Правильное решение равно, конечно, в!в(РвЫАЕ), для которого Пр = — в7в (Р'Е (А Е). Если требуется описать поведение потенциальной энергии в более общих случаях, например когда рассматривается большое число степеней свободы, то необходимо ввести по одной ортогональной 4 Рлс. 7.1. Рлс. 7ДЬ оси для каждой степени свободы н дополнительную ось для П„, Невозможно изобразить указанную ситуацию для более чем двух степеней свободы, однако указанные геометрические свойства используются в подходе, кратко описанном в конде равд, 7А. А=Р— — )А + — А х х / ! г 2 А2 Рлс. 7.3, Чтобы показать важность теоремы о нижней границе при выборе пол й перемещений для отдельных элементов, рассмотрим сужающийся стержневой элемент, изображенный на рис.
7.Ъ. «Точное» поле и в этом случае есть логарифмическая функция, однако в равд. 6.4 гы 7.3. Учет ограннченнй методом множнтеаей Лат анжа при построении соответствующих коэффициентов жесткости использовалось линейное поле, применимое для элементов постоянного поперечного сечения, т. е. А (! — Е) Ат+7-А,. Рассмотрим случай, когда площадь поперечного сечения на правом конце элемента в два раза больше площади сечения на левом конце. Если левый конец стержня неподвижен, то в точном решении смещение рм соответствующее единичному значению г'„равно С другой стороны, приближенное решение равно и, „л, — — 0.66667 д— . Таким образом, приближенное решение примерно на 4% меньше точного решения.
Образуя конечно-элементные представления стержня и~А1Е е 0.7 О. БЗ 31 0.6 0.6 0.6 0.6 Чиигги ииеггачигагт Рес. 7,4. с различным числом конечных элементов, получим сходимость к точному решению, как показано на рис. 7.4. 7.3. Учет ограничений методом множителей Лагранжа Как показано в равд. 6.2, метод множителей Лагранжа является подходом, позволяющим учесть ограничения (связи) в рамках классических представлений вариационного исчисления. Применим г!7 7.
Вариационныа принципы глобального анализа конструкций этот метод к системам со многими степенями свободы. В этой форме указанный метод является альтернативой к описанному в п. 3.5.2 методу преобразований. Согласно концепции метода множителей Лагранжа, экстремум функционала при ограничениях (связях) может быть найден, если умножить каждое ограничение на константу (7ь; — множитель Лагранжа), прибавить полученные выражения к исходному функционалу и выполнить варьнрование по каждой степени свободы и каждому множителю.
Как и ранее (см. (3.28)), для г связей и и степеней свободы система в общем виде записывается следующим образом; [6[гик(~)лхт (з)гхт. (7. 16) При этом г величин )ьг обозначим через [ [ь ) = [ Лт... Л,... Л, 1. (7. 17) Теперь, согласно принятой выше методике, построим вспомогап7ельный функционал П": Пк= — [К~(А! — ~А~(Р)+ [ Л ~[61(А) — [ 1 [(з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
