Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Ь.б. Метод мнннмнэвннн дополнительной энергии б.б.т. Свойства дополнительной анаргнн Принцип минимума дополнительной энергии дает возможность на базе вариационного подхода непосредственно построить соотношения податливости элемента, т. е. выражения для параметров перемещения элемента в терминах силовых параметров. Дополнительная энергия П, конструкции равна сумме дополнительной энергии деформации 0 е и потенциала граничных сил Уе, соответствующего заданным смещениям, т, е. П,=(т'е+ У*.
(6.68) Принцип можно сформулировать следующим образом: среди всех полей напряжений, удовлетворяющих условиям равновесия внутри тела и равньх заданнглм значениям напряжений на границе тела, поле напряжений, которое удовлетворяет соотношениям между напряжениями и перемещениями и отвечает всем заданным граничным ус,тсвиям для пгремеи(гний, доставляет стационарное значение дополнительной энергии. Таким образом, бП,=60 *+бУ"=О.
(6,69) В линейной теории упругости величина П, для состояния равновесия минимальна: бтП =бее+бтуа)О. (6. 70) Чтобы убедиться в справедливости высказанного утверждения, можно провести те же рассуждения, что н в разд. 6.4 при доказательстве принципа минимума потенциальной энергии. В нашем случае виртуальные перемещения следует заменить на виртуальное поле напряжений, накладываемое на действительное поле перемещений. Замечая, что граничные условия для напряжений должны удовлетворяться и прн выбранном виртуальном поле напряжений, приходим к (6.69), т. е. к соотношению бП,=О, где дополнительная энергия равна П,= — ) а[Е1 'пй(то!) — ) Т пс15. (6.68а) то! эа Здесь первый интеграл в правой части равенства равен (l е, и второй интеграл равен — У е. Символом В, помечена поверхность, на которой заданы перемещения и, а Т вЂ” соответствующие граничные усилия. 1вв 6. Ввриациоииые методы построения конечных элементов 6.6.2.
конечно-элементная дискретизачнл с использованием узловых сил Запишем теперь П, в дискретном виде, чтобы построить конечно- элементное представление. Наиболее простой и известный способ дискретизации — выразить поле напряжений элемента через узловые силы. Это описание можно представить в виде п=(Л(гт), (6. 71) где (Гт) — набор узловых сил, за исключением сил реакции, обеспечивающих статически определимое закрепление элемента. Задание граничных усилий основывается на применении соотношения (6.?1). Результат символически запишем в виде, аналогичном (6.
56): Т=Ш(Ч. Заметим, как н в п. 6.5.1, что в общем случае трудно, а подчас и невозможно выписать выражение для Т как функции от узловых усилий (Гу). Однако для балочного и стержневого элементов определить указанное преобразование можно. Подставляя в (6.68а) выражения для о и Т, полученные из (6.71) и (6.56), найдем П,= —,(1)(Р,) — ( Р, 1(Л), Гу 1 (6.68Ь) 11) = [ ) (У1т [Е1 '(У1 т((уо)) (матрнца податливости элемента), с то! (6.72) (а~-(1 аа1 аа) а а- а ..„.р -р. чх а и ° ь (за (6.73) Как и в случае потенциальной энергии, используя приведенные формулы, можно доказать минимальность величины П,. 6.6.3. Пример Применение изложенных выше идей может быть продемонстрировано на примере построения матрицы податливости консольного балочного элемента, изображенного на рис.
6.12. Основное выражение для дополнительной работы в этом случае имеет вид П.=й1(йй)' — (.Р.М, ((,'1 1 Заметим, что в качестве напряжения здесь выступает изгибающий момент 'й, а смещения в узлах нр, н В, играют роль заданных перемещений; при этом [6.1 — единичная матрица. Из рисунка видно, 6.6. Метод минимизации дополнительной знергии что момент изменяется линейно: Поэтому где Полученные указанным образом матрицы податливости элементов можно либо преобразовать в матрицы жесткости элементов, используя процедуру из равд, 2.6, либо непосредственно использовать при расчетах всей конструкции по методу сил.
Когда уравнения податливости элементов выражены через силы, то расчет м,,в, 1 Г,,и, рнс. е.!3. всей конструкции может проводиться с применением матричного метода сил. В этом методе в качестве неизвестных выбираются системы самоуравновешенных сил, причем в эти системы не включаются силы, обеспечивающие статически определимое закрепление конструкции.
Как показывается в гл. 7, этот методрасчета всей конструкции вызывает трудности как с точки зрения выбора указанных систем сил, так и выполнения требуемых матричных операций. 6.6ик Конечно-знаментнаа ЛиснРатизааиа, исноаьзтюЩал функцию нанрягнений Трудностей, возникающих при применении метода сил, можно в значительной мере избежать, если брать в качестве параметров напряжения или функции напряжений. Так, например, для плоского напряженного состояния выражение дополнительной энергии имеет вид о„ У' — ~ о„о„т„„!~Е~ ' о„ЯА. (6.74] тня 190 6.
Вериеционные матоды построения нонеиныя элементов Напомним, что, согласно равд. 4.1, напряжения о„, оу и т„„можно выразить через производные от функции Эри Ф в следующем виде (см. (4.4)): д'Ф д'Ф вЂ” дэФ о = — =Ф, а= — =Ф, т,=:= — Ф дув УУ' У дхв к»' кт дхда Следовательно Ф уу ! ! Фуу Фкк — Ф„у~ (Е! т Ф,„„(т(А.
(6,74а) й — Ф ,Ку Функцию напряжений представим в виде (6.75) где (Ф) — вектор параметров функции напряжений в узлах элемента, Обозначим вектор вторых производных через ~ Ф Ф вЂ” Ф ! '=(Ь!"!(Ф) (6 76) Тогда величина Уе запишется в следующем дискретном виде; = — ",'!11(Ф). (6. 74Ь) где теперь вместо (6.72) матрица податливости равна у1-!)~н'Г ~вГ ~н1~тк1. (.1 (6.72а) Существенные преимущества этой формулировки матрицы податливости элемента определяются следующими двумя обстоятельствами, Во-первых, степени свободы узлов связаны со степенями свободы узлов соседних элементов так же, как и в методе жесткости, поэтому построение объединенной глобальной матрицы податливости можно осуществить аналогично тому, как описано в равд. 3.2 для прямого метода жесткости. Таким образом, предложен прямой метод податливости (6.13!.
Второе обстоятельство относится к некоторым аспектам двойственности характеристик функций напряжений и перемещений. Однородное дифференциальное уравнение для функции напряжений Эри совпадает с уравнением изгиба пластин для функции прогиба Ф при нулевых распределенных нагрузках. Поэтому, если в (6.74а) функция напряжений заменяется на то, а (Е! ' — на (Е), то интеграл оказывается равным энергии деформации изгибаемой тонкой пластины.
Следовательно, определение функции напряжений (поля Ф) идентично отысканию поля прогибов (поля ту) при изгибе пластин, а соответственные матрицы податливости и жесткости различаются лишь коэффициентами упругости заменой (Е! ' на 6Л. Гибридный метод допустимых напряжений [6,14 — 6.15[ 191 [Е!. Двойственные функции напряжений могут быть определены и для других ситуаций (например, функции напряжений Саусвелла для нзгибаеыых пластин двойственны смещениям в плоскости для плоского напряженного состояния).
Из этого следует, что многие аспекты построения матрицы жесткости элемента, сформулированные сначала в терминах предполагаемых согласованных полей перемещений, переносятся и на метод сил (податливости). Мы еще вернемся к этому вопросу в последующих главах. 6.7. Гибридный метод допустимых напряжений [ЬЛ4 — $.1л) 6.7Л. Основиыа иовожения Гибридный метод напряжений является подходом к построению матриц жесткости элементов, основанный на обобщении принципа минимума дополнительной энергии.
Как и при обсуждении гибридных методов перемещений, ограничимся изложением процедуры построения элемента, окруженного полностью другими элементами. Кроме того, предполагается, что на поверхности элемента и вдоль его границ между узлами силы не действуют. Чтобы получить искомый модифицированный функционал П, для нашего случая, необходимо лишь видоизменить интеграл по границе в выражении (6.68а) для П,. Т=Ы1рЛ Тх а,. (лтиличнве) (а — и- (Ь ° =Ы14) Рис.
б.И. Предполагаемые поля напряжений и перемещений, используемые в гибридном, методе напряжений, (а) Описание перемещений (поверхностные перемещения выражены через узловые перемещения (А)); (Ь) описание напряжений (внутренние и поверхностные напряжения выражены через обобщенные параметры ([37)). Основа гибридного метода напряжений состоит в задании уравнавеатенного поля напряжений а внутри элемента через обобщенные параметры (()1) с одновременным заданием поля перемещений и, характеризующегося лгежэлементноа согласованностью, через узловые перемещения ()х).
Система граничных усилий Т определяется в соответствии с а. Таким образом, указанная система выра- жается через (ру) (рис. 6.)3). Модифицированное выражение для т а. Вериеционные методы построение нонниных ееемвнтое дополнительной работы имеет внд Пх = — ~ о [Е1 ' пт( (то! ) — ~ Т ц 05.
(6. 68с) то! зл Чтобы представить П", в дискретном виде, запишем сначала предполагаемое поле напряжений в терминах обобщенных параметров фт): п=[Е[([)!) (6.77) П;= —,' ~[%,~[Щф,! — ! 8, !ЩЩ (6.688) !и!=( [!х! !еГ'!х!х! Е] !ттт! где и аналогично (6.62) !г)= М'Ж Б . Варьируя (6.68
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
