Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Символ 6, или дельта-оператор, означает малые произвольные изменения зависимой переменной Ь при фиксароаанных значениях независимой переменной х. Как видно из рис. 6.3, в заданной точке х( величина 6Л есть амплитуда  — А. Отличие дельта-оператора 6 от оператора дифференциального исчисления йу заключается в том, что последний связывает йх с йу. Иными словами, йу характеризует расстояние по вертикали между точками данной кривой, находящимися на расстоянии йх. Важным свойством оператора дельта, используемого при построении вариационных соотношений, является коммутатианасть по отношению к операциям дифференцирования и интегрирования, т. е, 6( — „) = — (6Ь), 6 ЦЛйх) =~(6Ь)йх. 1ЬЗ Ьае Вариациоиное исчисление Учитывая вышеизложенное, перейдем к выводу соотношений, определяющих стационарное значение функционала П.
Сначала запишем функционал для аппроксимирующей функции Л,+ею. В этом случае (6.19) имеет вид П(е1 = ') 7'(х, Л,+езв, Л;+ею')с(х. к, Далее в этом выражении разложим 7 в окрестности точек Л, и Л; (при фиксированном х). Получим 7(х, Л,+ею, Л„'+ею') — 7(х, Л„Л;) = ~ да (бЛ)+ —,(6Л')1+ дао дао +члены более высокого порядка малости. (6.26) Левая часть этого соотношения представляет собой изменение 7, обусловленное вариацией 6Л=еш, т.
е. это 67. Поэтому, пренебрегая членами более высокого порядка малости, можно записать первую вариацию функционала в виде к, к« 6П=) 67оох=) ( — 6Л+ —,6Л')с(х=О, (6.27) 1 дао дао х, к, причем приравнивание выражения к нулю сделано в соответствии с условиями стационарности. Чтобы получить полезное выражение для 6П, необходимо проинтегрировать это выражение по частям.
Как показано в гл. 5, эта операция нужна частично и для того, чтобы получить граничные условия. В нашем случае интегрирование по частям поможет вынести бЛ в виде сомножителя, при этом необходимо проинтегрировать по частям только второй член. Имеем «о ко — — ( —;) —, (6Л') о(х = 6Л вЂ”, ~ — ~ 6Л вЂ” ~ —,) с(х.
(6.28) д( , дГ 1«о Г д / д) к, к Так как вариация 6Л должна обращаться в нуль на концах х, и х.„первый член в правой части соотношения равен нулю, Поэтому (6.27) примет вид (6.27а) ~ дао Тх~ дао 7 х) Очевидно, в силу произвольности 6Л интеграл обращается в нуль при условии (6.29) Ьо 164 6. Ввриацнонные методы лостроеннв конечных элементов Это уравнение известно как уравнение Эйлера (или уравнение Эйлера — Лагранжа) для функционала П. Функция тэ, доставляющая экстремальное значение функционалу П, удовлетворяет соответствующему уравнению Эйлера. На практике величины, входящие в уравнение Эйлера, позволяют выписать определяющее дифференциальное уравнение физического процесса, описываемого исходным функционалом.
6.2.2. Прнмер Чтобы проиллюстрировать, как «работает» выписанная выше процедура, рассмотрим функционал, отвечающий стержневому элементу. Вспомним, что виртуальная работа обусловливает равенство 6((/+'у)=0. Это соответствует выполнению первого необходимого условия для функционала (/+ тт. В случае стержневого элемента (см. равд. 5.5) имеем с с и+«= т ~ "хх «с'-1т'«* =1 Я (;-")'хл-т .)о.
а о Следовательно, сравнивая с (6А9), заключаем, что 1= Я(Я*ЕА — у Учитывая теперь дифференциальное уравнение Эйлера (6.29), получим ( так как здесь Ьв=и) д1 д/ ви — — у — АЕ— ди "' ди' вх' д/ В /д1 т Вэи — — ( — ) = — у — АŠ— 0 ди Вх тди'/ " Вхэ илн АЕ(йэи/йхэ)+у=О, которое является определяющим дифференциальным уравнением (уравнением равновесия) в этой задаче, 6.2.3. Граничные условия н ограничения Требования, согласно которым искомая функция или ее производная принимает заданное значение в граничных точках, известны как главные граничные условия.
Если функция не удовлетворяет этим условиям, то первый член в правой части соотношений (6.28) обращается в нуль, если д//дйо=О. (6.80) Условие, выраженное соотношением (6.30), известно как естественное граничное условие. В качестве иллюстрации рассмотрим 6.2. Вариационное исчлсленно 165 (6.31) Построим новый функционал П', называемый расширенным функ- ционалом, умножая 3 на константу )с и прибавляя полученное про- изведение к исходному функционалу: По =п.+)„й, (6.32) где л — множитель Лагранжа. Если теперь П достигает экстремального значения на Л, при ограничении $(Ь)=0, то частные производные П' по сх и Х, приравненные к нулю, дадут условия для определения Ь, и Х (необходимые условия) (6.33а) лпл — = 3=0. лл (6.33Ь) Заметим, что одно из полученных соотношений и есть исходное ограничение 3=0.
Строгое обоснование метода излагается в книгах по вариационному исчислению (см., например, !6.1! †(6.4!). Множители Лагранжа могут иметь важный физический смысл в рассматриваемой задаче. В некоторых случаях этот смысл можно выяснить, детально изучая их свойства. В других случаях физический смысл множителей Лагранжа легко выяснить, рассматривая функционал П. Например, при расчете конструкций на основе энергетических методов П представляет собой энергию и имеет размерность силы, умноженной на перемещение. В некоторых задачах ограничения задают соотношения между перемещениями, Поэтому из соображений размерности величина Х должна иметь размерность силы и множители Лагранжа можно рассматривать как обобщенные силы. стержневой элемент, для которого, согласно выписанным выше формулам, имеем д~lдА;=д)(ди'=А Е (днах).
Однако известно, что диЯх=е„Ее=ос и г"=Ао„, поэтому Р=О в этой точке. Следовательно, можно удовлетворить естественным граничным условиям, означающим, что сила на свободном конце стержневого элемента равна нулю. Этому типу граничных условий в функционале энергии отвечает член, представляющий работу прикладываемых нагрузок. В заключение важно указать способ учета ограничений, рассматриваемых в вариационном исчислении. Одним из способов является метод множителей Лагранжа. Рассмотрим задачу минимизации функционала П(Ь), и пусть ограничение имеет вид 6. Вариационные методы построения конечных зпементое 6.3.
Дискретная аармацмонная задача Ф.ЗЛ, Везусноеная минимизация 11ерейдем к изучению дискретнотх функционалов, в которых переменная А аппроксимируется суммой конечного числа членов. Так как рассматривается концепция метода конечных элементов, выберем аппроксимацию в виде (5.5а), т. е. А= ( 1ч ) (А). Для простоты рассмотрим случай одной переменной А. Случай, когда рассматривается полепеременных (например, А= ( и ни )), изучается аналогичным образом. При изучении свойств дискретного функционала полезно представить его в виде поверхности в (и+1)-мерном пространстве, где и ортогональных координат отвечают и степеням свободы А,, А„..., Ати а на (и+1)-й оси откладываются значения функционала П((А)).
Каждая точка на такой поверхности — значение величины П((А)). Поверхность в задаче с двумя степенями Рно 6.4. Поверхность П, задакзиаа функнн. опал ала ааустепенной системы. свободы (А|, А,) изображена на рис. б.4. Нельзя изобразить ситуацию, если число степеней свободы превосходит два, однако алгебраические свойства изображенного случая переносятся и на общую и-мерную задачу. Так как рассматриваются свойства экстремального значения П((А)), обобщим на наш случай формулу разложения в ряд Тейлора, выписанную в (6.20) для непрерывной задачи в окрестности стационарной точки (А,). Имеем и П((А,))=П((А,))+Я вЂ”," ~ ((А,)+ т ! и л + 1 ~'.„~~'.
А,з ~ (пА,) (с(А )+..., (5.34) где Ы| — разность между (-й компонентой (А) и соответствующей компонентой (Ае) (и аналогично для 4Ат), Можно также записать 167 6.3, Дискретная вариационная задача это разложение и в матричном виде: П(1>х)) = Па+ ~ ед~ (>7>х) + — (х) (>И)+..., (6 34а) где (с1б)=(А) — (Л,), а отдельные элементы матрицы (х), называемой матрицей Гессе, имеют вид х„=дзП/дЛ, д/>н Как ( дП/дА 1, так и 1х1, согласно (6.34), вычисляются на (таз). Здесь выписаны лишь три члена разложения, так как функционалы, рассматриваемые в линейных задачах механики конструкций, являются квадратичными.
Поэтому производные третьего и более высокого порядка, фигурирующие и последующих членах, не дают вклада в П((Л)). Если П(Л) имеет стационарную точку, то, по определению, на касательной плоскости в указанной точке выполняется условие, согласно которому любая бесконечно малая вариация координат с/Л, не вызовет в первом приближении изменения функционала. Это требование является первым необходимым условием, выраженным для непрерывного случая формулой (6.21) и записываемым здесь в виде (6.
35) бП ((Л)) =О. Чтобы преобразовать это выражение к виду, удобному для построения алгебраических уравнений, решение которых приведет к нахождению стационарной точки, используем б как дифференциальный оператор. Итак, ЬП((Л)) = —, бЛ, + д бЛ,+... + д бб„= ~ д ) (бЛ)=0, (6 35а) и в силу независимости вариаций бб, (дП/дб)=0. (6.355) Это условие применимо к> (1=1,..., д) степеням свободы Ь>.
В результате получим систему из н уравнений. В некоторых случаях стац>юнарная точка дискретизированного функционала обладает дополнительным свойством — это точка экстремума (максимума или минимума). Если это — точка минимума, то любое смещение из этой точки увеличит значение П. Так как ~ дП/дА ) (с>/з) равно нулю в этой точке, то из условия минимума следует, что 1 б/> 1[х) (М)- О. (6. Зба) Так как вариация (бА) произвольна, выписанное условие приводит к положительной определенности гессиана (х1, По определению, матрица является положительно определенной, если для любого вектора (с/а)чьО произведение 1 >1/а 1(х) (а/а) положительно.
Для 166 Ь. Варкециоииые методы построения конечных аяементое точки максимума, наоборот, справедливо ) бб ~!к! (М)~0, (6.366) а п= ~ пу П=Е „., р) !6.67) Что же тогда может служить условием согласованности на границах элементов? Выяснить смысл этого условия поможет рассмотрение вариаций полей для одномерной полоски элементов, изображенной на рис. 6.6.
Если для этого случая функционал представляет Рис. 6.5. Кусочно-постоянная вариация валичииы ЛЛ/Ех. собой интеграл от первой производной (НЛ/дх) по области, занимаемой всей системой, то видно, что непрерывность Ь позволяет однозначно определить П. Эта ситуация обобщается следующим образом: однозначное определение функционала возможно, если абес- поэтому )и) — отрицательно определенная матрица. Вариационная формулировка позволяет изучить вопросы, связанные с понятием согласованности в случае конечно-элементной дискретизации физической задачи. Ранее уже отмечалось, что внутри одной и той же области функция должна быть дифференцируема столько раз, каков порядок производных в соответствующем уравнении Эйлера (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
