Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Получим 5. Прямые методы лостроення влементов Аппроксимации напряжений и перемещений представим в виде и= ~М ~(п), (5,5Ъ) о„= ~Б ~(о), (5.40) ~( — "+ А ) тт'тАдх=0 о (5.38а) и после интегрирования первого члена и проведения выкладок по- лучаем с ) — „,' о„Абх= Ф,Ай„~ +) т)Цг)х. (5.4!) Подставляя выражение(5.40) для о„и замечая, что йттАо,=гт, имеем для всех величин т'тт (().1( )=(Р)+(Р'! ) с ~оы-(! ( —,) ~ в т яе~. (543) (тт = ~ ! тятт*), ! (5.

44) О где а (Г) — обычный вектор, объединяющий узловые силы. Рассматривая далее взвешенный интеграл с подынтегральным выражением в виде произведения левой части соотношения между напряжениями и перемещениями на весовую функцию тр=Ет, по- лучим Я вЂ” "" — — '")В,А( =0 о (5.39а) и после подстановки выражений (5.5Ъ) и (5.40) для и и о„илтеем для всех Бт Фят! (о)+(()ы! (о)=0, (5.45) где члены матрицы ~;т' ~ — функции формы для перемещений, а матрипы ~ Е ~ — функции формы для напряжений. Выбирая весовые множители для этих членов, используем для тр функции формы перемещений тут, а для от функции формы напряжений Еь Рассмотрим сначала взвешенный интеграл от дифференциального уравнения равновесия.

Вводя т)т=йо имеем 5.5. Метод вэввтнвнньп нввяэоя 147 где [ьеэт[ определяется уравнением (5.43) и (5.46) Очевидно, что это соотношение связывает (и) и (а) таким образом, что оно оказывается удобным для объединения уравнений (5.42) и (5.45) в единое матричное уравнение: (5. 47) Выведенные таким образом уравнения назовем уравнениями смешанного типа [см. уравнение (2.3) в равд, (2.3)).

В гл. 6 показано, что, применяя вариационные принципы при построении соотношений для элемента, можно прийти к тем же результатам, если использовать энергетический принцип Рейсснера. Так как возможны отличные от приведенных выше комбинации основных уравнений упругости, то ясно, что можно построить и другие типы соотношений между силами и перемещениями смешанного вида. Рассмотрим теперь применение метода взвешенных невязок в двумерных задачах.

Выберем для этой цели дифференциальное урав- нение дятп дэат — + — =С дхэ дуэ (5.48) или в более сжатой символической форме дэ дэ рэФ=С, где 7'= — +— дх' деэ (5.49) Ф= ~ [1[ [ (Ф), (5.50) где [ Х ~, как и ранее, включает набор функций формы, определяющих вид Ф в системе координат х, у, а (Ф) объединяет значе- (у' — оператор Лапласа). Уравнение (5.49), называемое уравнением Пуассона) описывает широкий круг физических процессов. В механике конструкций оно может описывать растягиваемую мембрану под нормальным давлением, где Ф вЂ” поперечное смещение, С вЂ” функция отношения величины давления к растягиваемым нагрузкам.

Это уравнение может также описывать кручение стержней некруглого сечения, при этом Ф вЂ” функция напряжений. Это же уравнение описывает потенциальное течение жидкости, при этом Ф вЂ” функция тока или распространения тепла, здесь Ф вЂ” температура. Согласно методу взвешенных невязок, аппроксимируем Ф в виде 149 Залечи определить альтернативные формы представления граничных интегралов.

Для рассматриваемых в книге задач метод взвешенных невязок с критерием Галеркина и энергетический (вариационный) метод приводят к совпадающим результатам. Так как энергетический метод более знаком инженерам-проектировщикам и является основным подходом в литературе по методу конечных элементов, в последующих главах ограничимся изложением этого подхода. Литература 51. Тигпег М., С[оийЬ ц., Магии Н., Торр 1.. 5061пеы апй Оейеспоп Апа[уяз о1Совр1ех Ягис1цгез — Л Аего Зс1, Зер[ 1956, 23, Л[о.

9, р 805 — 823 854. 5 2 Оаиаййег [[ Н. Согге!а[юп Яийу о1 Мепдойз о[ Ма[пх Ягис1ига! Апа!уяз— Л[ечч Уогй, Л[ У Регйавоп Ргезз, 1964 5 3 Ггп1аузоп В ТЬе Л!е[Ьой о1 Фе|6Ыей [[езгйиа[з апй Уапапопа! Рппс~р[ы.— Хегч Уогй, Н У. Асайепис Ргеы, 1972. 5 4. Ниыоп 3. О, Апйегып 0 С Г~п1[е Е[евеп1 Мещой. А Оа!егйгп Арргоась.— Ргос. АЗСЕ, Л Епдг. МесЬ Оы, Ос1.

1971, 97, в[о. ЕМ5, р 1503 — 1520 5 5 Ага! М., Мауег Р., Зпп[Ь С. Ч Гвпе Е[егпеп! 0а[егЬп Меваой Во1ииопз 1о Зе1ес[ей Е![~р[~с апй РагаЬо11с 0И[егепиа[ Еяиапопз — Ргос. о1 ТЬ|гй Агг Гогсе Соп1 оп Ма1гы Ме[ьойз гп Ягис1. Месь., Ос1. !971. 56 Ъепйен1сх О С., Рагейй С Л Тгапяеп1 Г~е!й РгоЫегпз Тжо-О!гпепяопа[ апй ТЬгее-0~вепяопа! Апа1уяз Ьу Ворагагпе[пс Е[евепы.— [п1 Л 5[цветь са[ Ме[Ь Епдг, 1970, 2, 5[о 1, р 61 — 72.

5.7. ЗхаЬо В, Сее О С. Пепчайоп о[ Я1Ипеы Ециа[~опз [ог РгоЫевз 1п Е[аз11сг[у Ьу Оа[егйп'з Мейой.— [п[ Л Л[ивепса[ Меж Епйг., 1969, 1, Л[о 3, р 301 — 310. 5 8. ЗхаЬо В. А., 1.ее О С. 5ЬИ[пезз Ма1пх [ог Р!а!ез Ьу Оа!егй|п'з Мейой— Ргос АДЕ, Л Епйг Месй. 0~ч, Липе!969, 95, Но ЕМЗ, р 571 — 585 5 9 Зойо!пйой 1.. [[еййеиег ц Ма[ьегпайсз о1 РЬуясз апй Мо<[егп Епд1пееппй, 2пй ей.— Л[егч Уогй, Л[.У,: МсОгачч-Н~[! Воой Со., 1966, р 370 — 375. Задачи 5.1.

Постройте матрицу жесткости для простого скручиваемого элемента, используя прямой метод 5.2. Используя прямой метод, постройте матрицу жесткости для прямоугольного элемента в плоском напряженном состоянии в предположении линейности сме- у,и Рис. Р5.2. 1 ч, и 2 гцений вдоль границы Получите этот результат численно, построив сначала матрицы [О[ и [А[ в общем виде Определив коэффициенты этих матриц, перемножьте на компьютере матрицы [АЦЕй0[ Положите 1=0 1 дюйма, хе=!6 дюймов, уз= =12 дюймов, Е=[Ог, [а=О 3 Сверьте полученные результаты с приведенными на 5. Прямые методы построения элементов рис. 9.13 и = )()тит+ Нэиэ+ й)эиэ+ Ф,и„ 1 ( Я)( Ч) э Ч( )' э $Ч 4 ( ь)ЧФ 5 = х)лэ, Ч = У)Уэ, где 5.3.

Постройте матрицу жесткости ($) для прямоугольного элемента н плоском напряженном состоянии, который сформирован на базе функций формы, приведенных в задаче 5.2. Выбрать в качестве переменных величины х и у. 5.4. Постройте матрицу жесткости для приведенного в равд. 5.3 треугольного плоско-напряженного элемента из ортотропного материала. 5.5, Сформулируйте процедуру построения матрицы жесткости балочного элемента на основе метода взвешенных невязок с критерием Галеркина и проиллюстрируйте ее на примере построения первой строки матрицы (Гт в зависимости ,, Е„ше В,). 5,5. Выведите, используя метод взвешенных иевязок с критерием Галеркина, необходимые интегральные соотношения для непосредственного построения матриц жесткости элементов в плоском напряженном состоянии, если известны поля перемещений.

5.7. Обобщите прядай метод иа непосредственное построение матриц податливости элементов и проиллюстрируйте подход построением матрипы податливости балочного элемента. 5,3. Обобщите прямой метод на непосредственное построение матриц связи сил с перемещениями смешанного вида(см. гл, 2) и проиллюстрируйте это на примере балочного элемента. 5.9. Постройте матрицу теплопроводности для плоского треугольного элемента, используя прядай метод в предположении линейного характера распределения температур: Г=Фтгт+)т'эуэ+)УэГэ, где Гт, Гэ и Г, — значения температуры в узлах элемента.

5,10. Дифференциальное уравнение, описывающее выпучнвание балки, имеет вид Е) — + г" — =О. йтш йха я ах э Используя метод взвешенных невязок с критерием Галеркина, получите интегральную форму соотношений, необходимую для построения соответствующих уравнений жесткости элемента. Предположите, что поле перемещений аппрокснмируется в виде ш=й,ш,+Май,+Магас+У,й„где Л'„..., Мт задаются с помощью (5.14а). дгт йх дум й, Рис. Р5.10. ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Вариационные или энергетические методы исследования конструкций образуют мощный и широко применяемый подход к построению соотношений для конечных элементов. Простейшие варианты этих методов используются для расчета инженерных конструкций уже более ста лет, Однако некоторые усложненные варианты вариационных и энергетических методов так же современны, как и сам конечно-элементный анализ элементов, и нх развитие, повидимому, обусловливалось желанием создать новую теоретическую основу метода конечных элементов.

Так или иначе, последние работы в этой области дают всесторонний анализ возможных вариацнонных принципов строительной механики, в частности определяют область их применения и выявляют присущие им недостатки. В данной г~аве соответствующие вариационные принципы механики конструкций описываются с учетом их дальнейшего использования для построения конечно-элементных соотношений.

Применение этим принципов при построении соотношений для всей конструкции излагается а гл. 7. Таким образом, предполагается, что соотношения между силами и перемещениями для каждого отдельного конечного элемента можно построить независимо, а построение соотношений для всей конструкции — отдельная процедура. Это согласуется с изложенным в разд.

2.2 и использовавшимся далее в гл. 3 и 5 подходом к расчету стержневых конструкций методом конечных элементов. Однако энергетический метод позволяет по-иному подойти к методу конечных элементов и получить глобальные соотношения, суммируя энергию отдельных элементов. Вопросы перехода от одной точки зрении к другой обсуждаются в этой и следующей главах. Данная глава начинается с подробного изложения вывода соотношений принципа виртуальных перемещений. Далее кратко излагаются основные понятия вариацнонного исчисления и подробно изучаются экстремальные принципы минимума лотенциильной и !52 б.

Характеристики

Список файлов книги