Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Выполняя операции завершающего шага, т. е. преобразуя напряжения в узловые силы, заметим, что эти силы задаются в виде (Г 1= ~ Рт Р, ) ти каждая компонента силы определяется умножением соответствующей компоненты напряжения на площадь поперечного сечения элемента А. Имеем (Рт действует в направлении, противоположном положительным о,) 5. Прямые методы построения эпемеитое Матрицу 101 можно разбить на элементарные составляющие, В случае когда поле перемещений записывается в терминах обобщенных степеней свободы, из (5.4а) и (5.6а) имеем 101= (С1 1В1 '.
Лва обстоятельства следует отметить в предшествующих рассмотрениях. Во-первых, до сих пор не рассматривался какой-либо конкретный вид условий равновесия внутри элемента. Известно, разумеется, что напряжения в этом элементе постоянны, и после проверки, согласно (5.7), убеждаемся, что выбранное поле перемещений отвечает этому условию. В общем случае напряженное состояние, соответствующее предполагаемому полю перемещений, не удовлетворяет условиям равновесия. Это обстоятельство тем не менее не влияет на возможности построения матрицы жесткости указанным выше способом.
Во-вторых, ввиду непрерывности выбираемых функций перемещения непрерывны внутри элемента и при переходе через границу от одного элемента к соседнему с ним элементу. Это обусловлено тем, что взаимодействие двух одномерных элементов происходит только в узловых точках. Однако в общем случае для двух- и трехмерных элементов взаимодействие между элементами происходит не только в узлах, поэтому поля перемещений для элемента должны выбираться с учетом обеспечения свойств непрерывности полей перемещений на границах соседних элементов. Это обстоятельство обсуждалось в равд. 2.2 и вновь рассматривается в равд.
5.2. Так как настоящее представление отвечает всем условиям равновесия и непрерывности перемещений, то оио задает еточноеэ представление матрицы жесткости элемента. ('~')" Виуарвнниа ттаиеалты ятт Эа Рыы, см ыт Рнс. $Л. Балочный элемент. Во многих случаях при расчетах прикладываемые нагрузки распределены в виде непрерывной функции от х. В излагаемом подходе предполагается, что распределенные нагрузки заменены ста- 5.1.
Прямой метод тически эквивалентными им узловыми силами. Более элегантный способ учета этой ситуации приведен в гл. 6. Рассмотрим далее балочный элемент, изображенный на рис. 5.1. Основные моменты исследования схожи при этом со случаем стержневого элемента, однако следует отметить одну важную отличительную особенность, а именно вид задаваемых степеней свободы в узле соединения. Кроме того, поле деформаций неоднородно внутри элемента. Согласно теории изгиба балок, не учитывающей поперечные сдвиговые деформации, в концевых точках необходимо определять не только поперечные смещения (в, и в,), но и угловые смещения (О, и О,). Последние равны отрицательному значению тангенса угла наклона нейтральной оси, так как вращение в положительном направлении (по часовой стрелке) вызывает отрицательные поперечные смещения.
Имеем ото | О= — — | Таким образом, !Л1= | вэ О,в, О, (т, (5. 12) Как и в случае стержневого элемента, для описания поля перел~ещений А, определяемого в рассматриваемом случае величиной в, выберем полинам. Имеются четыре степени свободы, и поэтому для аппроксимации прогиба, если ие опускать низшие степени в полиномиальном представлении, нужно выбрать кубический полипом, содержащий четыре члена: в= а,х'+а,х'+аэх+а,. Определяя в и — тйв(т(х в точках 1 и 2, имеем (5.13) 0 0 1 0 — ! 0 Г,э Г 1 — 21. — ! 0 причем обратное соотношение имеет вид ат 2 — й — 2 >, ! — 31.
2(э ЗЕ, а, ь" 0 — 1э 0 ,а, с Г.э 0 0 Гэ О, 0 вэ 0 О, После подстановки в (5.13) получим в=( !я' ! (Л), (5.14) зе 132 5. Прямые методы построения элементов где ( й) ! = ( й1, Ф, Лг, зу, ~, й!т = (1+ 2Р— ЗР), йг, = (ЗР— 2~*), Л1, = — ($ — 1)', дг, = — $з — $), причем $=х1(,. Деформации в случае изгиба равны кривизнам (вторым производным), т. е.
ш". Следовательно, ш"=( (ч' ) (б), (5.15) где У, = — й!"а= —, (2$ — 1), (5.15а) йГэ = — — (3$ — 2), 1т",' = — — (3$ — 1). Кроме того, напряжения в этом случае суть внутренние изгибающие моменты И, и определяющее соотношение запишется в виде н)1 = Е!ш". (5. 16) Так как вторые производные в (5,15а) изменяются линейно внутри элемента, то кривизна может быть определена однозначно, если заданы в" в узлах ! и 2. Согласно (5.15), получим Ют — = М (б) (5 15Ь) О, Рассматривая условия равновесия сил, необходимо заметить, что внутренние моменты %, и %, в узлах 1 и 2 соответственно считаются положительными, если им отвечает положительная кривизна (см.
рис. 5.!). Поэтому Ы,=мы а Иэ= — М,. Можно применить условия равновесия для моментов, чтобы выразить Е, и г з через э!)(„н Яй„и, объединив всю систему уравнений, записать Е;' — 1 1 — = 1А! (о). (5.8Ь) Мэ 0 — 1. Кроме того, так как требуется на двух концах элемента связать моменты с кривизнами, необходимо записать уравнение изгиба (5,16) в расширенном виде *' (9И) =(Е] (те"), (5.16а) «> Строго говоря, А н Е относятся соответственно к полю напряжений о н полю деформаций е.
В данном случае рассматриваются векторы узловых напряженнй ((о)=! ЫтЯИэ )т) я узловых де4юрмацнй ((в)вв( юэю, !т). Чтобы не вводить новых обозначений, в обоих случаях попользуются одинаковые символы. 5.1. Прямой метод 1ЗЗ где '(8)) =Е' О 1 . =(В)(') Окончательно, объединяя (5,15Ь), (5.16а) и (5.8Ь) в виде произведения Пс)=(А) (Е) Э), получим в, , е, 6 !к1= —, — 31.
21.я (Симметрично) . (5.17) — 6 +ЗА 6 — 31 (.я ЗЬ 2(.Я Вновь матрица жесткости была получена без учета в явном виде условий равновесия внутри элемента, которые для указанного элемента при отсутствии разрывов задаются уравнением дяиьдхл =О, (5.!8) Очевидно, что четвертая производная кубического полинома, задаваемого формулой (5.13), равна нулю, поэтому приведенное выше условие выполняется. Условие равновесия определяется простым суммированием сил и л|оментов в узлах, как указано в гл.
3. Интуитивно можно предполагать, что в узлах должны выполняться условия непрерывности угловых смешений для изгибаемых элементов. Следовательно, условия непрерывности смешений в узлах глобального конечно-элементного представления требуют непрерывности как ш, так и В. Рассматриваемое представление удовлетворяет этим условиям. Так как оно удовлетворяет всем условиям равновесия, если нагрузки приложены только в узлах, то получаемое в этих случаях решение является точным. Мой!но построить приближенное поле перемещений (например, линейное поле, выраженное только через ш, и ш„как в конечно-разностных методах) и, если в глобальном представлении используется конечное число сегментов, получить приближенное решение задачи.
Представление поля перемещений с помощью функции формы (5.5), (5.14) играет центральную роль в обоих иллюстративных примерах. Хотя понятие функции формы обсуждается более подробно в последующих главах, в особенности в гл. 8, важно отметить ее основные свойства, приступая к изучению способов построения элементов. Рассмотрим сначала случай, когда поле (или пробная функция) независимой переменной Л выражается только в терминах значений Л~ указанной переменной в заданных точках.
Стержневой элемент (5.5) является примером указанного случая. При этом функция формы Л~, определнетсл таким образом, что принимает значение, равное 1 в узле, где задана величина бь и равное нулю в других узлах, отвечающих остальным степеням свободы. Это сделано для то- 5. Прямые Методы построения элементов го, чтобы А=А; в узле, соответствующем Ль Причина, побудившая назвать дт~ функцией формы, теперь ясна; она характеризует изменение переменной Л в области, занимаемой элементом, для Ьт=1 и при фиксированных остальных степенях свободы. Сказанное иллюстрируется на примере стержневого элемента на рис.
5.2. 1.0 1.0 1 т 2 Ряс. 5.2. В некоторых случаях описание независимой переменной включает степени свободы в виде производных в заданных точках. Например, представление ти для изгнбаемого элемента (5.14) с помощью функции формы содержит в качестве степеней свободы производные от то(О, и О,) в концевых тачках. Функции формы, умножаемые на эти степени свободы, должны иметь размерности, которые обеспечат появление членов, имеющих размерность перемещения. Поэтому в случае балочного элемента множители при О, и О, в (5.14) имеют размерность длины (перемещения), так как О, и О, измеряются в радианах.
5.2. Треугольный нпоско-напряженный элемент Проиллюстрируем прямой метод построения уравнений жесткости элемента на примере треугольного плоско-напряженного элемента, изображенного на рис. 5.3 и 5.4. Элемент имеет постоянную толщину (, его материал изотропен, и для удобства рассмотрения элемент расположен так,чтобы одна из его сторон лежала на осн х. Этот иллюстративный пример заслуживает особого внимания, так как, во-первых, рассматривается более общее напряженное состояние (двумерное) и, во-вторых, получающиеся уравнения жесткости приводят к приближенным решениям дифференциальных уравнений, определяющих задачи глобального анализа, и, в-третьих, изучаемый элемент имеет первостепенное значение во всех областях практических приложений. Поведение элемента, как видно из рис. 5.4, описывается шестью степенями свободы: ттв)(ицц„п„)т (5.19) 135 55К Треугольный плоско-напряженный элемент ох пх а Рис.
Б.З. Способ представления граничных напряжений в треугольном элементе хля подсчета узловых сил. н так как направления х и у равноправны, то выбирается по три параметра для описания как и, так и рл и=а,+а,х+а,у, Заметим, что зти выражения являются полными линейными поли- яомами. Вычисляя и в узлах 1, 2 и 3, получим (5.21а) откуда после обращения матрицы и подстановки в (5.20) имеем и=)т*,и, +И.их+Ива, (5.21а) где гт', = — (х,у,— ху,— х,у+ хау), ! Л~а = — (ху,— х,у), Иа= —. 10 0 1х, 0 ха уз а, а, = (В,~ (а), а, \ ! Й эт 3т + ~ и тт в э о о .О Й ы в э Ю о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
