Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Следовательно, у„„= да/ду+ до/дх. (4.7с) Уравнения (4.7а, Ь, с) являются соотношениями, связывающими деформации и перемещения в плоском случае. В трехмерных зада чах остается лишь добавить следующие соотношения, обозначив через ш компоненту перемещения в направлении оси а: дег 'гс ди дге де При решении задач методом конечных элементов надо иметь в виду одно обстоятельство, касающееся связи между деформациями и перемещениями: выделение движения тела как твердого Чвяго. Выражения для деформаций не содержат такого движения, однако оно фигурирует в перемещениях. Следовательно, при определении деформаций путем дифференцирования перемещений из искомых соотношений исключается движение тела как твердого целого.
Например, для линейного элемента горизонтальное смещение точки может быть задано выражением (рис. 4.6) и=а,+а,х, из которого следует, что е„т диИх=ав. 115 4.3. Соотнощения, связывающие деформации с перемещениями Следовательно, член ам который был исключен в результате дифференцирования, и соответствует движению элемента как твердого тела. Указанный факт говорит о том, что если конечно-элементная модель строится на основе задаваемых априори функций перемещений, то количество независимых параметров, с помощью которых описывается деформированное состояние в элементе, меньше количества параметров, задающих перемещения, на число степеней свободы элемента как твердого тела, 1, яг б (Ь) Рвс. 4 6.
(а) Недеформированное состояние; (Ь) смещенноедеформированное состояние. Другое обстоятельство, тесно связанное с основными приведенными выше соотношениями, но в некотором смысле противоположное по предпосылкам, относится к деформациям. В плоском случае три уравнения (уравнения (4.7а, Ь, с)), определяющие три компоненты деформации, выражаются через две компоненты перемещений, В трехмерных задачах существуют шесть компонент деформации и три компоненты перемещения.
Следовательно, ни в одном из этих случаев эти уравнения не имеют единственного решения, если деформации заданы произвольным образом. Необходимые дополнительные уравнения можно вывести из условия совместности, когорое требует, чтобы компоненты перемещения были однозначнычи непрерывными функциями. Условие совместности получим наиболее элементарным способом, последовательно дифференцируя соответствующие выражения. Для плоскои задачи теории упругости последовательно продифференцируем у„„ по х и по у: д" тяа св ди да до оее даеа — '= —,— + — — = — "+ —,. (4,8) дх ду дх ду ду дх ду дх ду' дх' ' Последнее выражение получается с учетом того, что, в силу однозначности и непрерывности, д*7дхду=д*/дудх.
Обобщение этого условия на трехмерный случай приводит к системз из шести уравнений. 4. ОсновнЫе соотнонгение теории упругости 116 Так же как и при обозначении характеристик напряженного состояния, следует различать поля перемещений во внутренних точках тела и поля перемещений в граничных (на поверхности тела) точках. Поле перемещений внутри тела обозначим через йс Этот символ относится к совокупности смещений вдоль осей координат и, о, иг. Смещения на границе обозначим через и и отнесем к сово- купности величин и, о, то для граничных точек. Таким образом, А = ( и ото ) ' (внутри тела), н= ( их те ) т (на поверхности).
Кроме того, в трехмерной задаче введем для деформаций следующее обозначение: ~т Граничные условия на перемещения (кинематические граничные условия) попросту требуют совпадения перемещений на поверхности упругого тела и с заданными перемещениями и, т. е. и — и=О. (4. 9) 4.4. Уравнения состояния материала Обычно уравнения состояния для материала, которые в настоящем рассмотрении относятся только к механическим характеристикам материала, задают путем постулирования полного набора коэффициентов, связывающих каждую компоненту напряжения со всеми компонентами деформации.
Далее, из соображения симметрии и учета анизотропных свойств материала число коэффициентов уменьшают таким образом, чтобы они отвечали соответствующим механическим характеристикам среды, например наличию в ней ортотропной плоской деформации. Ниже, чтооы отчетливо показать физическую природу этих свойств и осветить результаты эксперимента, будем двигаться в обратном направлении: от наиболее простых аспектов поведения материала к более сложным. Простейшие механические свойства материала можно выяснить из испытаний образца на одноосное растяжение.
Линейный участок на диаграмме напряжение — деформацпя представляется алгебраически законом Гука: о„=-Ее„илп ее=-о„гЕ. Это выражение дает зависимость деформации от напряжения. Если существует механизм, приводящий к появлению деформаций без приложения нагрузок, т. е. начальная деформация е,'"', то е — — +е. илн о — Ее.— Ее (4ЛО) Для построения зависимостей в двумерном случае рассмотрим сначала изотропный материал и выясним, как он ведет себя при !!7 4.4. Уреенения состояния метериеяе наличии в нем напряжений. У изотропного материала зависимость деформаций от напряжений неизменна при ортогональном преобразовании координат. На рнс. 4.7(а) изображено, как прикладываемое к образцу напряжение о„в направлении оси х вызывает деформацию образца в обоих направлениях х и у.
Вдоль ~"~ (Ь) оотпльяпе састояиие е- г о„» ! е ! .Ф рпяиияабоннпе~~ ~ ~ ~ Рнс. 4.7. где р О р ! О 0 0 (1 — р)/2 (4, 12) — о 0 0 2(1+р) (4.!3) Матрица (Е) называется матрицей жесткости материала, а (Е! матрицей податливости материала. Аналогично выражению (4.10) можно непосредственно обобщить вышеприведенные соотношения на случай наличия начальных деформаций е'"и= = ~е„'"не„'опт,"„и ) т, что приводит к соотношениЮ !Е)-то ~ е~п!т (4.14) оси х деформация равна попросту о„/Е. Образец сжимается и в направлении оси у, так как коэффициент Пуассона р отличен от нуля, поэтому в этом направлениидеформация равна †)ьо„/Е.
Аналогично наличие напряжения о, вызывает деформации в направлении осей х и у, равные соответственно — ро„/Е и о,/Е (как показано на рис. 4.7(Ь)), На значения относительных удлинений вдоль осей х и у не влияет наличие деформации сдвига, изображенной на рис. 4.7(с), которая связана со сдвиговым напряжением соотношением 2 (!+Р) ует — Е «о В результате суперпозиции и записи соотношений в матричной форме (с о=- ( о, оп тяп ) т, е= ) е„еп т„п ) т) получим е=(Е! 'о, (4.
11) 11а 4. Основные соотнсиивнив теории уиругости Начальные деформации представляют наибольший интерес в зада- ЧаХ тЕРМОУПРУГОСтн, ГДЕ Е'„"П=-Е', 1=аТ, У„'вс11=0, ДЛЯ ИЗОтРОПНОГО тела с коэффициентом линейного расширения а и отклонением температуры от температуры ненапряженного состояния на Т.
Наиболее часто применяемый подход при построении конечно- элементной модели — подход, при котором задаются функции перемещений,— требует, чтобы напряжения были выражены через деформации. Поэтому, обращая уравнение (4.[4), получим о= [Е! е — [ Е1е'и". (4. 15) Теперь благодаря матричным уравнениям (4.14) и (4.15) в нашем распоряженнн имеется достаточно общее представление механических свойств материала. Проводя обобщения на шестимерные векторы и и е, можно охватить все разнообразие задач трехмерной теории упругости.
Полностью заполненная матрица [Е[ размерностью бхб определяет общий случай анизотропного материала, который обладает различными свойствами в различных направлениях. Много частных случаев поведения материала находится в диапазоне между изотропией и полной анизотропией. Так, в частности, сюда можно отнести ортотропные материалы, имеющие три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии.
В последующих главах будет подробно представлен ряд матриц 1Е! и [Е[ ' специального вида, отвечающих требованиям соответствующей конечно-элементной модели. Важным свойством всех матриц жесткости и податливости для рассматриваемых здесь материалов является их симл1етричность (см. соотношения (4. [2) и(4. [3)). Пока достаточно отметить, что метод конечных элементов особенно хорош при решении задач со сложными жесткостными свойствами материала. Из дальнейшего будет видно, что матрица [Е1 (или обратная к ней матрица) легко обрабатывается в алгоритмах численного интегрирования. Ограничения, накладываемые иа сложность и представления жесткостных характеристик материала, часто диктуются практикой: для большинства практических задач трудно располагать большей информацией о механических характеристиках материала, чем полученной в результате эксперимента информацией о зависимости напряжений от деформаций для орто.
тропного материала в двумерном случае. Исключение составляют слоистые пластины с ортотропными слоями (механические характеристики слоев можно определить экспериментально, а затем вычислить характеристики всей слоистой пластины) и композитные материалы (например, стекло-волокнистые композиты). Ьлагодаря особой роли композитов как ортотропных материалов, применяемых на практике, публикации, касающиеся ях разработки и использования, представляют отличный источник информации для детального построения вполне общих соотношений, зада1ощпх жест- костное поведение материала (см. 14.81).
119 4.5. Дифференциальные уравнения равновесия и совместности 4.5. Дифференциальные уравнення равновесия и совместности (!рпведенные выше системы уравнений можно объединить с целью получения альтернативных форм дифференциальных уравнений, точное решение которых будет удовлетворять и исходным уравнениям. Эти альтернативные формы называются соответственно дифференциальными уравнениями равновесия и совместности. Сделаем несколько замечаний относительно мотивировки построения указанных дифференциальных уравнений. Ранее были независимо сформулированы два набора условий: статические и динамические. Статические условия записываются исключительно :ерез статические переменные (напряжения или функции напряжений).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
