Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 26
Текст из файла (страница 26)
в, Й + „в., ы в. Й в. !т ! Й ! н н и эт + ~ Й".+ в. ! о о о. ! о н ~ от ~! « ! тт в. ! ! ! Й Ъ сч !т ! ! ! , эт И ! в. 5. Прямые методы построення элементов о о х х. н Й Ы % и. х \ а !- ! н о х а о >, х й. н тзт Те же функции формы получаются и для о, поэтому функция, задающая смещение о, имеет вид о=гутов+ту внз+ззззов. (5.2! Ь) Если теперь учесть соотношения между перемещениями и деформациями в плоской задаче теории упругости (4.7а, Ь, с) и применить их к (5.21а, Ь), то получим соотношение (5.6с), в котором в=( е„е у„ Мтчк Мвз Ув„.
О О О О О О тут „Фз ттз „, (5.22) где АГ;, означает производную Уз по х н т. д. Для плоского напряженного состояния матрица (Е1 задается выражением (4.!2), поэтому, чтобы завершить построение основных матриц элемента, необходимо лишь задать матрицу связи между напряжениями и узловыми силами (А1. Это можно выполнить в результате непосредственного преобразования граничных напряжений в узловые силы. Для силы Р„,, например (см. рис. 5.3), имеем Р„= — (д,а„— х,т,„+ (х, — хз) т„в1. Применяя эту процедуру для определения каждой узловой силы, получим соотношение (5.8а), в котором (Ц=1Р Р Р Р Р Р 1Т а=1пот 1Т 1А) =— Матрица жесткости для рассматриваемого элемента вычисляется согласно (5.10) в результате перемножения матриц (А1 (Е1 101 и использования выписанных выше соотношений. Эта матрица представлена на рис.
5.4. Как и для предыдущих примеров, изучим те аспекты упругой задачи, которые явно не затрагивались выше. Деформации е постоянны внутри элемента, так как они получены в результате дифференцирования линейного поля перемещений. Напряжения, выражаемые через деформации с учетом упругих констант, также постоянны. Поэтому дифференцированные уравнения равновесия (4.3), включающие операции дифференцирования напряжений, выполня- 52. Трвугопьный плоско-нвпрвнтвнный элемент — у, О д, О О О О х,— х, О О х, х,— х, -1 — х в х, — Уз Уз О 5. Прямые методы построения эиемеитоз 138 ются. Поле напряжений а оказывается равновесным, несмотря на то что явных попыток удовлетворения условию равновесия не делалось. Что можно сказать относительно выполнения условий равновесия для напряжений вдоль границы соседних элементов? На рнс.
2.5(д) и (е) изображена линия, разделяющая два смежных элемента А н В. На рис. 5.5 представлена матрица жесткости треугольного элемента, построенная, согласно (5.7а), в результате объединения соотношений между напряжениями а и узловыми перемещениями (Л). ит Г-у [8]= ~ — руз у,хз„, нз иэ о, оз из Уз О Ихзз Ухз Ухз ру, О хэ, — хз хе Х (! — Нэ) хзу"- ' — т,хз ттх, — тгуз т,уз О т,=(1 — И)/2, хз-з=хз — хз! (в]= [ ох пасха ] и ]А) определено согласно (5.!9). (о)= [о] (А), где Рис. 8.8. Матрица жесткости лля плоско-напряженного иаотропного элемента с постоянным напряженнем внутри элемента. Из этих соотношений непосредственно видно, что каждая компонента напряжения зависит от всех узлов отдельного элемента. Следовательно, для случая, изображенного на рис. 2.5(е), хотя как о"„, так и о„ зависят от и,, и„ о, и о„ о„ является функцией от й, 'в в и о„в то время как оэ — функцией и, и п,, Поэтому нормальные и тангенциальные усилия на границе (Тз и Т,), полученные на основе этих напряжений для рассматриваемых элементов, вообще говоря, не равны.
Итак, условия равновесия на границе элементов не выполняются. С другой стороны, условия непрерывности перемещений и и с на линиях, разделяющих элементы, выполняются, Поле перемещений линейно и перемещение вдоль границы элемента изменяется по линейному закону. Когда края элементов соединяются, то совмещение узлов 1 и 2 двух элементов обеспечивает непрерывность перемещений во всех точках, находящихся между узлами. Удовлетворить этому условию можно н другим способом, получая прн помощи поля перемещений (5.2[а) выражения для смещений краев элементов. Можно показать, что перемещения на каждой стороне элемента полностью определяются с помощью величин, заданных в граничных узлах рассматриваемой стороны.
Общий подход к построению непрерывных полей перемещений основан на допущении того факта, что перемещение на линии, задающей границу элемента, должно быть однозначной функцией степени свободы, принадлежащей указанной линии. Случай, когда перемещения на границе элемента определяются неоднозначно, приведен на рис. 2.5(Ь).
139 5.3. Ограничения в прямом методе Таким образом, для простого треугольного элемента в плоском напряженном состоянии внутри элемента выполняются и условие равновесия, и условие совместности, однако вдоль линий, разделяющих элементы, выполняется лишь условие непрерывности перемещений и и о.
Условия равновесия нарушаются вдоль границ элемента, но равновесие граничных сил выполняется в среднем для узлов элемента. В результате измельчения сетки треугольных элементов можно добиться уменьшения ошибки, вызванной невозможностью удовлетворить условиям равновесия в каждой точке конструкции.
В разд. 2.3 было указано, что часто бывает полезно задать массив коэффициентов жесткости в безразмерной форме. Как видно из рис. 5.4, каждый член матрицы жесткости треугольного элемента содержит произведение (либо квадратичную функцию) линейных размеров элемента, а константа, на которую умножается матрица,— такое же произведение (х,у,) в знаменателе. Следовательно, внося указанную константу в матрицу, получим набор безразмерных коэффициентов жесткости, причем каждый отдельный коэффициент включает отношения размеров элемента, например ув/х,.
5.3. Ограннченмя в прямом методе Понятие матрицы жесткости элемента введено в равд. 2.3 аксиома- тически и без указания методики отыскания ее коэффициентов. При тех же условиях в равд. 2.5 было показано, что матрица должна обладать свойством симметрии. Однако из определяющего уравнения прямого метода (5,10) непосредственно не следует, что сформированная матрица симметрична. Центральная матрица тройного произведения [А) [Е) [О1, т. е.
матрица упругости [Е1, согласно присущим ей внутренним свойствам, симметрична. С другой стороны, матрицы [А1 и 101 строятся независимым образом и необязательно конгруэнтны. Конгруэнтное преобразование симметричной матрицы [Е[ обеспечило бы симметричность результирующей матрицы. Трудности при построении симметричной матрицы можно преодолеть, если добиться конгруэнтности путем замены в (5.10) матрицы [А[матрицей, транспонированной к матрице преобразования перемещений в деформации [О). Тогда [[г1=[О1т[Е[ [О!. Как показано в равд.
6.4, аналогичный результат получится, если использовать принцип минимума потенциальной энергии. [Процедуры слегка отличаются, если деформации зависят от пространственных координат. В прямом методе используется дискретное интегрирование (см. изгибаемый элемент), а энергетический подход включает интегрирование непрерывных функций.1 Другими словами, можно выбрать подход, где операции проводятся только с помощью матрицы преобразования напряжений ио 5. Прямые методы оостроення яяементоя в силы [А!.
В этом случаетребуется обратить (5.[0), т, е. оперировать с [[1=[01 ' [Е1 '!А1 ' (с должным учетом степеней свободы, отвечающих движению тела как твердого целого), где [О т! заменяется на 1А1 '. Полученный результат соответствует применению принципа минимума дополнительной энергии. Этот принцип обсуждается в равд. 6.6. Вторая трудность возникает в прямом методе прн выяснении степени гладкости перемещений на границе элементов, которая определяется выбранными функциями формы.
Рассмотрим, например, построение плоско-напряженного элемента из предыдущего пункта. Если исходить из простых физических рассуждений, оказывается, что условия непрерывности при переходе от элемента к элементу полностью удовлетворяются, если непрерывны перемещения и и о. Необходимо ли добиваться непрерывности производных от перемещений йиlдх, до/йу и т. д., которые по существу определяют деформации? Требуется ли в случае плоского напряженного состояния непрерывность производных более высокого порядка? На эти вопросы нельзя ответить, опираясь на теоретическую базу прямого метода.
Ответы на эти вопросы даются в гл. 6 с использованием вариаЧионных методов. Еще одна трудность возникает в прямом методе, если необходимо рассмотреть распределение нагрузки, начальные деформации или другие явления„ такие, как нестацнонарные процессы или потеря устойчивости. Оказывается, что члены, отвечающие этим эффектам в прямом методе, можно учесть только простым распределением соответствующих величин по узлам. В последующих главах на базе вариацнонных принципов рассматривается более рациональный подход к построению членов, представляющих эти эффекты. В заключение, как нам кажется, имеет смысл привести сводку введенных преобразований, которые будут использованы в последующих главах. Преобразование обобщенных перемещений в поле перемещений А=[р! (а).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
