Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 27
Текст из файла (страница 27)
(5.2а) Преобразование узловых перемещений в поле перемещений Ь= [Х ! (А ). (5.5а) Преобразование обобщенных перемещений в узловые перемещения (а )=[В[ (а). (5.3а) Преобразование обобщенных перемещений в поле деформаций е=[С](а) = (5.6а) =(С/!(а/! (степени свободы, отвечающие движению тела как твердого целого [а,) =О). (5.66) 141 5.4, Прямой метод ори ре|иении физических задан Преобразование узловых перемещений в поле деформаций в=(0) (Ь).
(5.6с) Преобразование узловых смещений в поле напряжений и=!8) (А), (5.7а) Преобразование узловых смешений в узловые напряжения (о)=-(51 (Л). (3.9) Преобразование узловых напряжений в силы (р)=(А) (и). (5.8а) 5А. Прямой метод при решении физических задач С помощью прямого метода можно строить конечно-элементную модель физических процессов не менее успешно, чем при расчете упругого деформирования. Рассмотрим, например, одномерную задачу стационарной теплопроводности.
Изучение этого процесса представляет практический интерес для проектировщиков, имеюших дело с задачами расчета термических напряжений, в которых весьма желательно иметь возможность единообразного подхода при расчете полей температуры и напряжений. Рис. 5.6. Рассматривается изображенный на рис. 5.6 изолированный стержень.
Выделим «одномерный» элемент с площадью поперечного сечения Л, длиной с. и имеюший коэффициент теплопроводности в. Найдем соотношения между температурами (Т„Т,) ('Р) в точках 1 и 2 и значением теплового потока в этих точках (Н,, Н,) (БТЕ). В качестве определяюшего соотношения выберем в данном случае закон теплопроводности Фурье й = — оЛ'Ых, (5.23) где й — стационарный тепловой поток на единицу площади (БТЕ/ /фута). Знак минус означает, что тепловой поток направлен в сторону уменьшения температуры. Согласно предыдушим построениям 5.
Прямые методы построения элементов для одномерного стержневого элемента, представим Г в виде откуда (5.24) Полный тепловой поток в точке ! равен Н,=АА, а в точке 2 Н,=АА (знак минус возникает нз-за того, что положительное направление для Н, соответствует в этом узле тепловому потоку во внешнюю среду). Объединяя эти соотношения с соотношениями (5.23) и (5.24), находим, что (5.25) Набор коэффициентов в правой части уравнения называется митричей теплопроводности элемента. Кроме того, с помощью прямого метода можно построить матрицы теплопроводности для плоских треугольных элементов и других простых элементов.
Аналогично можно построить соответствующие матрицы для конечных элементов в задачах фильтрации, электромагнетизма, расчета потенциального течения жидкости. Однако, как было замечено, чтобы использовать более сложные элементы н рассматривать более сложные физические аспекты перечисленных процессов, необходимо привлекать более тонкие теоретические концепции. Одна из таких концепций применяется в следующем разделе.
5.5. Метод взвешенных невязок Прн использовании метода конечных элементов для решения задач, не связанных с механикой твердого деформнруемого тела, требуется более общий подход к построению соотношений для элемента. Таким подходом является метод взвеитвнньтл невязок (т'(ВН) (5,3). В методе взвешенных невязок считается, что выбранная для аппроксимации независимой переменной в задаче математической физики «пробная функция» (т.
е. рассматриваемые в равд. 5.! н 5.2 полиномы), вообще говоря, не удовлетворяет соответствующим определяющим уравнениям. Так, подстановка пробной функции а определяющие дифференциальные уравнения приведет к невязке, обозначенной через Я. Чтобы получить «нанлучшее» решение, требуется минимизировать интеграл от невязок по области, рассматриваемой в задаче, т. е. ~ Н.с((чо!) = ппп. тм 143 5.5. Метод езеетиеннмз нееязон Можно расширить возможности метода, вводя в подынтегральное выражение минимизируемого функционала взвешенные величины невязки. Введение весовых функций позволяет обратить в нуль интеграл от взвешенных невязок. Обозначая весовую функцию через ч~, приходим к более общему соотношению ) тт тр т( (ч о! ) = О.
(5.26) на1 Таким образом, (5.26) представляет собой общее утверждение в методе взвешенных невязок. Весовые функции можно выбирать различным образом и каждый конкретный выбор отвечает соответствующему критерию в МВН. Обратимся к меттюду Галеркина, так как этот метод приводит к таким же уравнениям, как и при использовании обычных энергетических или вариационных подходов (5.6 — 5.8). Чтобы описать МВН, использующий критерий Галеркина, рассмотрим определяющее дифференциальное уравнение Ю(А)=0, (5.27) где Ю вЂ” дифференциальный оператор, а А — независимая переменная, которую нужно аппроксимировать с помощью А в виде (5.5), т. е.
с помощью суммирования и функций формы 7т(н помноженных на соответствующие степени свободы Ль Подставляя А в (5.27), получим невязку )с= Ю(Х) ~0. (5.28) Согласно критерию Галеркина, функции формы !т', определяются как весовые функции. Поэтому для каждого ! имеем ~ й(,Ю(Л)д(чо!)=0 ((= (, ..., п), (5.29) та! что приводит к общему числу уравнений, равному п. Уравнения (5.29) относятся к узлам внутри области и не учитывают граничных условий, например заданных внешних нагрузок или перемещений.
Чтобы учесть граничные условия, требуется проинтегрировать по частям интегралы (5.29), то приводит к появлению интегралов по области и границе. Проиллюстрируем предлагаемый метод, применяя его сначала для построения уравнений жесткости стержневого элемента, обсуждавшегося ранее в этой главе, с добавлением распределенной нагрузки д согласно рис. 5.7. Требуется построить соотношения в терминах перемещений, где Л=ш Для этого случая определяющее дифференциальное уравнение получается подстановкой соотношений между напряжениями и перемещениями (о„=Е(т(иИх)) в 144 5.
Ггрямые методы построения элементов уравнение равновесия А(с(п„1дх)+д=О. (Заметим, что последние уравнения представляют собой одномерный случай уравнений (4.3) с Х=д/А.) Имеем ЕА (дэи/с(хэ)+д=О. (5.30) Левая часть этих уравнений в рассматриваемом случае есть не что иное, как Ю(А). Аппроксимирующая функция и задается согласно Ех,, иг Рнс, 5.7. (5.5).
Подставляя ее в (5.30) и применяя МВН с критерием Галер- кина, получим Уг (ЕА лхэ )ах= — ) Угг)г(х (1=1,2) (531) о о Проведем теперь интегрирование по частям" левой части урав- нения. Имеем ~( — 1) — „" ЕАдх=~Угг)г(х+УЕА — "~ . (531а) о о Так как параметры иг не зависят от координат, то — =~ —,' иг= ~ — „„1 (а), где (н) — вектор узловых перемещений элемента. Подставим теперь это соотношение в левую часть (5.31а). Получим ЕА ~ ( — „' ) ~ — „„~ с1х (п) = ~ Уд г(х + УтЕА — ~, (5.315) о о н полная система уравнений, получаемая с Ег=ЕА (с(цех) н У,=-! прн х=О, а также У,=О прн х=й (аналогично для Рэ и У,), имеет вид (Ы(п)=(г )+(г"), (5.32) ю В данном случае соответствуювгая формула интегрированна во частям вмеет внд о о 145 5.5.
Метод ввветоенныя невявон где 1т1-[еЯ1 (т ) (~~ о), (5. ЗЗ) ) й(ядрах О 1 )у,чих (5.34, 5.35) т 0 (5.38) (5.39) Искомая матрица (н1 совпадает с полученной в разд. 5А. Как было указано выше, определяющие дифференциальные уравнения, записанные в смещениях, т. е. дифференциальные уравнения равновесия, можно преобразовать с помощью метода взвешенных невязок в алгебраические уравнения относительно параметров перемещений с коэффициентами в ниде интегралов. Этот подход обсуждастся в гл. 6 и состоит в построении соотношений метода конечных элементов на базе рассмотрения потенциальной энергии.
Соответственно определяющие дифференциальные уравнения, записанные относительно напряжений, можно преобразовать в уравнения метода конечных элементов как с помощью метода взвешенных невязок, так и с помощью подхода, использующего минимизацию дополнительной энергии. Результаты в обоих случаях совпадают. Определяющие соотношения получаются в результате совместного учета уравнений упругости. В приведенных рассмотрениях определяющие дифференциальные уравнения получаются подстановкой соотношений между напряжениями и деформациями в дифференциальные уравнения равновесия.
Что произойдет, если применить метод взвешенных невязок непосредственно к уравнениям теории упругости? Имеем Условие равновесия: йо Ых+г(!А =О, (5.36) Соотношение между напряжениями и деформациями: дивах — о,/Е=О. (5.37) При построении алгебраических уравнений в этом случае введем весовой множитель ф для дифференциального уравнения равновесия и весовой множитель тр для соотношения между напряжениями и деформациямн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
