Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 30

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 30)

(6.12е). Если на поверхность тела действуют рпспределенноте нагрузки, выражение для потенциала приложенных нагрузок бУ (см. (6.9)) необходимо дополнить интегралом, представляющим работу этих нагрузок на перемещениях поверхности тела. Чтобы различать поле перемещений точек внутри тела и поле поверхностных перемещений, обозначим последнее через и. Величина ц определяется заданием смещений А на поверхности тела н так как последние, согласно (5.

5а), выражаются в терминах узловых смещений, то н перемещения также выражаются через перемещения узлов. Имеем и=[У! (А). (6.17) ! 58 6. вериецнонные методы построения ионечныя элементов котором заданы усилия Т, а бп — виртуальные перемещения по- верхности. Снова выбирая распределение виртуальных перемеще- ний в том же виде, что и для действительных перемещений (6.17), получим — ба=[И (8А). (6.

17а) ( бА Ц(Е ) = [ БА 1 ~ У)т .тйз, (6.18) поэтому (г"1= ~ [))т.тй5. (6.12[) эл Левую часть соотнон[ения (Б. !8) следует добавить к левой части соотношения для виртуальной работы (6.15), откуда следует, что (ГЯ) должно быть добавлено к левой части уравнения жесткости (6.16). По причинам, указанным выше, компоненты матрицы (ГЯ) называются энгргел[ическими эквивалеитнобми нагрузками.

Следует отметить, что, как и в гл. 5, предполагаемое поле перемещений можно выразить в терминах обобщенных перемещений, т. е. в виде А=[р] (а), (5.2а) и применяя процедуру из равд. 5.1, это выражение можно записать в терминах узловых смещений. Можно показать, что окончательная формула имеет вид А=[р][В1 ' (А)=1]ч](А). (5.5а) Глава 8 частично посвящена изучению альтернативных форм записи поля через узловые перемещения либо через обобщенные степени свободы. Если поле перемещений выражается в терминах обобщенных параметров, то иногда удобно строить матрицы элемента, используя эти параметры. Рассмотрим, в частности, матрицу жесткости элемента.

В этом случае для получения деформаций дифференцируют перемещения; а=[С!(а) (см. (5.6а)), а деформации, обусловленные виртуальными перемещениями, равны бе=[С1(ба). Подстановкой в выражение(6.11) для БУ получим (начальные деформации для простоты не рассматриваются) бс= [б )[б ]) ), [б ]-[ [ [С) [б][С)б) ))~ )б тб) ~ чо! где [[[я] называется далее опорной матра[[ей жесткости. Аналогичные опорные выражения можно получить и для вектора на чальных сил, матрицы масс н т.

д. Дальнейшая подстановка в выражение для виртуальной работы внешних сил дает б.1. Принцип виртуальной работы Заметим, что выражения (6.12а) и (6.12е) для матриц жесткости и массы имеют вид конгруэнтных преобразований, обеспечивающих симметричность матрицы, полученной в результате умножения, если симметрична центральная матрица.

Так как матрицы упругости (Е! и матрица плотности (р! симметричны, то и получаемые в результате матрицы будут симметричны. Изложенный подход отличается от прямого метода из разд. 6.1 тем, что преобразование от узловых степеней свободы к деформациям служит основой преобра. зования узловых сил в напряжения. 5.1.3. Принцип согласованности лрн лостровннн выражання Лля виртуальной работы Приведенные выше построения служат прообразом принципа согласованности при построении конечных элементов. Очевидно, что каждая из матриц (осиовная матрица жесткости, матрицы массы и распределенных нагрузок) построена с применением функций формы предполагаемого полн перемещения, причем для каждой используется один и тот же набор функций формы, Поэтому матрица массы согласована с основной матрицей жесткости, и матрицы, построенные на этом принципе, называются согласованными матрицами массы.

Альтернативные виды матриц — несогласованные матрацы— появляются на практике вполне естественно. Например, при расчетах динамических задач глобальные матрицы жесткости и массы часто рассматриваются независимо. Предполагается, что массовые характеристики инерционны, поэтому можно пропорционально распределить массы для каждой из степеней свободы. Построенные таким образом матрицы массы называются матрица и сосредоточенных масс. Подход, основанный на физической точке зрения, может быть применен и в случае распределенных нагрузок.

При этом математическая модель содержит фиктивные силовые параметры (Ге), отвечающие распределенным нагрузкам. Эти параметры определяются в результате приравнивания интегралов от произведений распределенных нагрузок на соответствующие перемещения к работам узловых сил на соответствующих перемещениях. Следовательно, (гл) — вектор энергетически эквивалентных усилий. Выписанные выше выражения выводятся еще раз в равд.

6.4 с помощью принципа стационарности потенциальной энергии. Затем приводятся двойственные формулировки для принципа стационарности дополнительной энергии и рассматриваются другие (смешанные) принципы стационарности. Однако сначала необходимо напомнить ряд основных положений в задаче определения стационарных значений для функций многих переменных. 1ЬО Ь.

Бариацкокные методы пост оянка конечных зпементов 6.1. Вариациениое исчисление Ь.2.1. Безусновная минимизация Принцип виртуальной работы характеризуется вариацией энергии деформации и потенциала прикладываемых нагрузок. Если рассмотреть варьируемые величины 0 и )т, то можно установить ряд полезных свойств, которыми они обладают, Это рассмотрение показывает, что задача анализа конструкций, основанная на подсчете вариации суммы (т'+)т, относится к хорошо разработанной области математики, известной как вариационное исчисление 16.1 — 6.41. Ряд важных результатов в этом разделе математики можно непосредственно применить к задачам конечно-элементного анализа конструкций.

В этом разделе изложим некоторые наиболее простые результаты вариационного исчислении. Здесь рассматриваются непрерывные (интегральные или дифференциальные) формулировки этих результатов, перенос на дискретный случай будет осуществлен в последующих разделах. Рассмотрим сначала одномерную задачу, описываемую единственной независимой переменной Л (х), где х— пространственная координата. Основной задачей вариационного исчисления является определение величины Л(х), которая доставляет стационарное значение интегралу П = ~ ( (х, Л, Л') Их, (6.19) где Л'=ИЛА х.

Через г обозначена функция, характеризующая в механике конструкций, например, плотность потенциальной или дополнительной энергии, а П вЂ” функционал, т„е. функция от функ- Рнс. Ьлп Типы стационарных точек: (а) минимум; (Ь) перегиб; (с) максимум. ции (в данном случае функция от)). Стационарное значение может быть либо максимумом, либо минимумом, либо значением, отвечающим нейтральной точке. Эти случаи схематически изображены на рис.

6.2. Функция Г" должна быть, разумеется, дважды дифференцируемой. Если функция имеет лишь первую производную, отлич- 6.2. Вбрибциоииое исчисление 161 ную от нуля, то она линейна, а линейные функции ие имеют минимума. Чтобы вывести выражения, позволяющие определить точку, в которой достигается стационарное значение, и иметь возможность различать представленные на рис. 6,2 ситуации, рассмотрим сначала функцию П(Л), где Л вЂ” переменная величина.

Согласно теореме Тейлора, разложение в ряд этой функции в окрестности точки Л, имеет вид П(Л) П(Л,)+"п"~~а)(Л Л,)+,' "'~,( (Л вЂ” Л,) +.... (6.2О) Правило определения местоположения точки экстремума вытекает из выписанной формулы, если обозначить точку экстремума через Л,. При стремлении к этой точке расстояние Л вЂ” Л, становится очень малым, а третий член в разложении делается пренебрежимо мал по сравнению со вторым членом. Если выполняется условие минимума, любое смещение из точки Л, приведет к увеличению значения П (Л), и в этом случае второй член всегда должен быть положительным.

Однако, до тех пор пока производная с(П(Л,)ЯЛ не обратится в нуль, второй член может иметь произвольный знак в зависимости от знака смещения б(Л. Аналогичные рассуждения спра. ведливы и для точки максимума. Поэтому в стационарной точке справедливо следующее условие: йП (Лб)ИЛ=О. (6. 2! ) Это хорошо известное требование равенства нулю угла наклона кривой в стационарной точке. В вариационном исчислении оно известно как первое необходимое условие. Стационарная точка должна удовлетворять указанному условию, однако его выполнения еще недостаточно, чтобы с уверенностью сказать, является ли эта точка точкой максимума, минимума или нейтральной точкой. Чтобы ответить на поставленный вопрос (см. рис. 6.2), необходимо определить знак кривизны (второй производной) функции П(Л,) в точке Л,.

В точке минимума кривизна положительна, в точке максимума— отрицательна, а в нейтральной точке — равна нулю. Символически это запишем в виде сРП (Л,)(с)Лс ~ О (минимум), (6. 22а) РП (Л,)!сй' ( О (максимум), (6,22Ь) УП (Л,)/с(Л' = О (нейтральная точка). (6.22с) Вернемся теперь к вопросу отыскания стационарного значения функционала П (Л). На рис. 6.3 изображена функция Л в зависимости от пространственной координаты х.

Предположим, что задача определена внутри интервала между точками х, и х,, а Л должна удовлетворять определенным условиям в граничных точках интер- ь ж м47 (ьт 6. Вернецнонные методы построения конечных элементов вала; указанные граничные значения обозначим через Ь, и Л,. Функция Ь, которая обеспечивает стационарное значение функционала П(Л), обозначается через Л, и изображается сплошной линией на рис. 6.3. Чтобы определить Л„необходимо выбрать функцию, кото- 1 ят Рис а.в.

Стационарная (аа) н пробная (В +ецт) кривые. рая отличается от Ь, иа величину еш, где и) — произвольная амплитудная функция, удовлетворяющая условиям для Л в точках х, и х„а е — величина амплитуды. Таким образом, аппроксимационное выражение имеет вид Л =Л„+еш, (6.23а) а наклон изображенной кривой равен а Ь/йх = Ь' = Ь,'+ еш'. (6.236) Заметим далее, что ев) задает малую вариацию функции Ь, которую обозначим через 6Л. Итак, 6Л = а)в, 6Л' = епт'. (6.24а, Ь) Вариация 6Ь приводит к малому изменению функционала, обозначаемому через 6П, которая является первой вариацией фуннт(ионала.

Характеристики

Список файлов книги