Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. для стержневого элемента уравнение Эйлера имеет второй порядок, поэтому функция должна быть не менее чем квадратична). В методе конечных элементов функционал полной системы состоит из суммы функционалов Пт для р отдельных областей (элементов), т. е. тьу 6.4, Минимум лотеициальной ьне гии печивается непрерывность производных, на один порядок меньших, нежели наибольший порядок производных, встречающихся в функцио- нале. Ь.эйс Метой множителей лагранжа длл учета ограничений Метод множителей Лагранжа справедлив при наличии ограничений и в дискретизированной задаче.
Если имеется г ограничений вида Фь(Л„..., Л„)=0 (1=1, ..., г), (6.38) со вводится расширенный функционал Пв((Л, Ц)=П((А))+ ~ )ьЬ", (6.39) 6.4. Минимум потеициаяьной энергии Ь.4.$. Свойства лотаннианьной анергин Принцип минимума потенциальной энергии представляет собой основу для непосредственной формулировки уравнений жесткости элемента. Потенциальная энергия конструкции Пр представляет собой сумму энергии деформации У и потенциала внешних сил )г, т.
е. П,-и+у, (6,40) Принцип формулируется следующим образом: среди всех допустимых перемещений те, которые удовлетворяюпт условиям равновесия, обеспечивают стационарное значение потенциальной энергии. По- где второе слагаемое в правой части соотношения — сумма произведений $у на соответствующие множители Лагранжа кь.
Приметим первое необходимое условие для каждой степени свободы Лг и для каждого множителя Лагранжа ),ь. Система получающихся ноотношений для степеней свободы имеет внд (6. Збс) а дифференцирование по Ль приводит к ограничениям (6.38). Заметим, что аналогично равд. 6.2 соображения анализа размерностей позволяют определить размерности множителей Лагранжа и выявить физический смысл этих множителей. Если за=0 представляют собой ограничения на перемещения, то Хь — соответствующие силы. В гл. 7 представится возможность проиллюстрировать указанное утверждение на примере.
!ю 6. Вариачионныа методы построения нонниных элементов я7томв' 6'П =6Ч/+6тР»О, и При выводе приведенного выше принципа яля простоты исключим из рассмотрения объемные силы. Обозначим через Л/ величину энергии деформации, приходящу!ося на единицу объема, или плотность энергии деформации (см. равд. 2.4, где дается исходное определение энергии деформации).
Тогда изменение плотности энергии деформации вследствие изменения величины деформации бе, вызванного виртуальным перемещением, равно 6(Н/)=-абе, (6.43) (6. 42) где о — равновесное напряженное состояние, существовавшее до вариаций перемещений. Ввиду малости здесь опущены слагаемые, обусловленные действием приращений напряжений на соответствующих виртуальных деформациях. Подставляя соотношения между напряжениями и деформациями (4.!5), получим следующие выражения для приращения энергии деформации: 6(с[(/)=е[Е)бе — е'"'[Е! 6е. (6.44) Интегрируя в пределах от О до значения е, соответствующего а, получим (меняя местами члены в подынтегральном выражении второго интеграла) Н/= — е[Е!е — ) а[Ево е'"н г((чо1), ! то! откуда для всего конечного элемента после интегрирования Л/ по объему имеем (обозначая третий член в правой части соотноше- ния через С(е'"и)): (/ = — ~ е [Е! ес((чо1) — 1 е [Е] еп !с((чо!) + С (епн) (6 46) то! та! Замечая также, что применение 6 аналогично применению дифференциала, запишем первую вариацию (/ в виде 6(/ = ') е [Е! 6ес( (чо1) — ) е'"!! [Е! 6ен (чо!).
то! то! Потенциал приложенных нагрузок равен [/= — ~.' рА — [т.,(В, т=! о (6.48) 6П =6(/+6 =О. (6.41) В состоянии равновесия потенциальная энергия П минимальна. Следовательно, ту! 6.4. Минимум потенциальной энергии 6)г= — ~ч~~Р';бА,— ~ Т биЮ.
(6 49) Обращаясь вновь к принципу виртуальной работы (6.!), видим, что, согласно (6,41), 6У+6$'=6П„=О, откуда первая вариация должным образом записанной потенциальной энергии П„равна нулю, т. е. Пр стационарна в точке, соответствующей решению. 6.4Д. Конечно. элементная дитлретиэаиня Приведем рассуждения, опираясь на знание полей перемещений, выраженных в терминах степеней свободы. Согласно (5.6с), имеем е=(тт) (А).
Поэтому, подставляя указанное выражение для а в (6,46), получим П= ~ ~()т)(А) — ! А~(Г'а")+С(в'и"), (6 50) где (й) и (Г'"и) определяются согласно выражениям (6.12а) и (6.12Ь), полученным с учетом принципа виртуальной работы, Кроме того, запишем в дискретном виде величину Г (учитывая, что, согласно (6.17а), бп=1)г) (А)): )г= — ! А ) (Г) — ( А ) (Г~), (6.51) где (Гл) определяется из (6.12 1). Теперь с учетом (6.50) и (6.51) запишем выражение для потенциальной энергии полностью в дискретном виде П„= ~ ~ (й!(Л) — ~ А ) ((Г)+ (Г'"и)+ (Ги)), (6.39а) которое является квадратичной формой общего вида. Используя далее условие стационарности (т.
е. (дП/дА)=0, см. (6.35Ь)), получим [л! (А)=(Г)+(Гииг)+(Гл). (6.52) Чтобы выяснить, максимальна или минимальна в этой точке энергия, рассмотрим вторую вариацию. Для консервативных на- где все входящее в выражение символы определены ранее. Снова заметим, что интеграл по участку поверхности З„где заданы пере. мещения, не входит в выписанное выражение благодаря выполнению условий кииемаптической доггустимости для выбранных полей перемещений.
Иными словами, указанные геометрические главные (или вынужденные) граничные условия строго выполняются. Первая вариация )г дается выражением 172 6. Вьряяциояныв методы построения конечных эяьмамтов грузок, если [г ) — постоянный вектор, то б*п,= [ И [[й[ [И). [Е.бЗ) Ясно из физического смысла, что энергия деформации должна быть положительна. Учитывая, что энергия деформации равна [7='/э[.Л [[к) (хъ), а Ю вЂ” произвольный вектор, заключаем, что [и[ — положительно определенная матрица. Следовательно, величина бхПр неотрицательна и потенциальная энергия минимальна. Факт достижения потенциальной энергией минимума на решении может быть использован проектировщиком для оценки некоторых параметров и установления границ для точного решения.
Это свойство используется в дальнейшем в гл. 7 при построении решения для всей конструкции. Заметим также, что положительная определенность матрицы [К! позволяет установить минимальные свойства. Для некоторых смешанных вариационных принципов, о которых речь пойдет ниже, основная матрица коэффициентов в конечно-элементном представлении не обладает этим свойством и поэтому нельзя задать границы изменения параметров решения. Следует подчеркнуть, что принцип минимума потенциальной энергии можно применить при построении матрицы жесткости элемента как присущее конструкции свойство без учета условий, которые должны выполняться при переходе через границы элемента, если элемент включен в глобальное представление конструкции. Если при построении глобального конечно-элементного представления эти условия нарушаются, то аналитическая модель характеризуется межэлементной несогласованностью, при этом нет уверенности в том, что при решении будет достигнут нижний предел.
На практике несогласованные элементы применяют из-за того, что онн проще согласованных элементов. Можно проверить, позволяет ли использование указанных элементов найти в пределе при измельчении сетки правильное решение [6.5[. Примеры таких элементов даны в последующих главах, Как было показано, формулы для матриц элементов в линейных задачах теории упругости совпадают, если их получать на основе принципов соответственно виртуальной работы и минимума потенциальной энергии.
Принцип виртуальной работы является более фундаментальным и его обобщения позволяют построить конечно- элементные представления не только для задач расчета конструкций. Поэтому многие предпочитают использовать именно этот принцип, С другой стороны, выражения для энергии деформации либо хорошо известны, либо легко выписываются во многих задачах расчета конструкций. Кроме того, энергетический подход делает наглядными экстремальные свойства решения и позволяет построить, как мы увидим в гл. 7, альтернативные алгоритмы, основанные на этих свойствах. 4.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
