Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 35
Текст из файла (страница 35)
В общем случае имеется рассогласование между рассматриваемыми перемещениями на границах элемента, определяемое величиной (и — и), где, как и прежде, и — граничные перемещения, отвечающие (а). Вспомним, что, согласно строгой формулировке принципа минимума потенциальной энергии равд. 6.2, граничные условия для перемещений удовлетворяются точно и составляют главные граничные 65. Гибридные методы перемещений 183 условия. Так как в нашем случае эти условия строго не выполняются, то последние рассматриваются как есптественные граничные условия, Вспомним, что естественные граничные условия представ"[Пд) л = [У)(аг» А,(тамгам] а=[р3(з) г [ь) 4 т =[ьЩ) ляются непосредственно в функционале энергии при помощи чле- на, выражающего работу. Выпишем интеграл работы граничных сил Т на невязке перемещений (н — и), т.
е. ) Т(п — а)д5, и модифицируем соответствующим образом выражение для потен- циальной энергии "'. Имеем П,'=0 — ') Т псБ — ) Т(н — и) г(Я. (6.60) В проводимых рассмотрениях граница 5, состоит из частей границ элементов, аппроксимирующих границу конструкции. Так как здесь рассматриваются лишь вопросы построения внутренних элементов, то в дальнейшем опустим интеграл по Я,. Таким образом, *' Член ) Т(и — н)л5 можно получить иначе, если предположить, что Пмт— л зл функционал, построенный с целью исключения невязки в перемещениях (и — н). Поэтому требуется ввести ограничения вида (й — и)=О.
С этой целью используем, во-первых, метод множителей Лагранжа из равд. б.з, согласно которому необходимо ввести дополнительное слагаемое ~ )т(п — п)05 в выражение для потенциальзл ной энергии. Однако, как было замечено ранее, множитель Лагранжа имеет в нашем случае размерностыпараметра нагружения и является граничным усилием т, соответствующим невязке (и — н). поэтому к основномт выражению для потенциальной энергиИ необходимо добавить член ~ Т(н — н)Й5. зл Рис.
В.(0. Предполагаемые поля напряжений и перемещений, используемые зо втором гибридном методе перемещений. (а) Описание перемещений (внутренние и соответствующие поверхностные смещения (и) выражены через обобщенные пара. метры (ау), задаваемые поверхностные смещения (н) — через узловые смещения (б)); (Ь) описание напряжений (поверхностные силы выражены через обобщенные параметры ())()). 184 б. Ввривционные метОды лостроенив конечных элементов (6.60а) У', [71 ~~ [( 1т[тл1 нс1 зв [(;ц= Ц [У~1Ч"И51. (6.62) (6.63) Чтобы построить искомую матрицу жесткости, выпишем алгебраические уравнения, варьируя сначала Пр* по (а ), а затем по ((),). Имеем [Н) (а,)+ Щ фт) = О, (6.
64а) [7)(А) — [с))т (а ) =О. (6. 64Ь) Выражая из этой системы (аг) и (~т) через (А) и вновь подставляя полученные выражения в (6.60Ь), получим П;*= ~',~ [Ц(А», [Ц [71т[[Щт [Н1-т [тэ11-т [71 (6.65) (6.66) где приходим к следующему модифицированному выражению для потенциальной энергии: П„" = и — ~ Т(н — 1,(З. зн Для дискретизации выражения (6.60а) требуется выразить величины е, н, и и Т через исходные поля.
Представления для е и н уже имеются в виде (5.66) и (6,55). Требуется теперь соответствующим образом представить а и Т. Необходимо выразить и в терминах узловых перемещений (А). (Это соотношение было уже записано (см. (6.17)) символически в виде н=(Г! (А), где верхней чертой отмечены заданные величины.) Кроме того, граничные усилия Т должны быть выражены через обобщенные параметры 9Д.
Здесь для обозначения параметров, не входящих в число параметров, отвечающих движению тела как твердого целого, также используется нижний индекс), что согласуется с предыдущими рассуждениями относительно определения граничных усилий (см. замечания, приведенные в тексте до выражения (6.56)). Итак, запишем указанные соотношения в виде Т=(Ц ((),). (6.6!) Дискретизацию Пр' можно выполнить при помощи подстановки в (6.60а) выражений для а, оп н и Т соответственно из (5.66), левой части (6.55), (6.17) и (6.61). В итоге получим П,'= ~ [Н)(аг) — ( ~х 3Щ(А)+ [ ат ~[Щ(6 ), (6,60Ь) где (Н) определяется согласно (6.57), а 185 6.К Гибридные методы перемещений В,зм. Пример реализации второю гибридного метода Рассмотрим снова балочный элемент, который изображен на рис. 6. П.
Величины е и н определяются так же, как и в предыдущем примере, а матрица ! Н! та же самая. Граничные смещения и равны уз. ловым перемещениям: и= [ игг Ог игэ 9э ) т= ( Л ! т поэтому очевидно, что [г[=[$! (единичная матрица). Так как в настоящем подходе требуется выразить вектор граничных усилий Т вЂ” ! Р; М,г, М, )т в терминах обобщенных параметров, то для м,,в, м,в 1 ~2 и'ы ог гм — — г — г=! г'г, ггг рнг. аль каждой узловой силы выберем один обобщенный параметр, т.
е. Как и ранее, Т вЂ” система самоуравновешенных сил, поэтому из условия равновесия следует, что г"г= — гг и М,= = — г"г1,— М,. Откуда ргин — рг и рг= — рта — рэ. Следовательно, Т= ! Р, Мг Р, М, ! т =[[.! (6г), где матрица [Е! совпадает с матрицей Ш, построенной для иллюстРации пеРвого гибРидного метода, а (Рг)= [ Р, Рг ) т.
Из иллюстративного примера для П,' имеем матрицу [7г! для этого случая. Применяя эту матрицу совместно с приведенным выше выражением для [Ц и [гг)=[[! в формулах (6.62), (6.бЗ), находим Подставляя указанные матрицы и полученную ранее матрицу [Н! в (6.66), приходим к обычной матрице жесткости элемента. взяв. Обобщенная лотенаиальная энергия Подход, основанный на обобщенной потенг(иа,тьной энереии, можно пояснить, по-иному интерпретируя выражение (6.60а), Рассмотрим вычисление энергии деформации 0 и поверхностных интегралов как не связанные друг с другом операции, Взятая отдельно, энергия деформации зависит от перемещений внутри элемента А. В этом частном виде метода обобщенной потенциальной энергии [6.6— 1вь Ь.
Вариационные методы построения конечных элементов 6.6), который рассматривается ниже, перемещения внутри элемента записываются в терминах узловых перемещений, т. е. А=(М! (А). Однако эти перемещения не удовлетворяют требованиям межэлементной непрерывности. Так, матрица жесткости, которую назовем основной иатриией жесткости ((с,(, подсчитывается в результате подстановки А в (7. Поэтому элементы не будут согласованы. Рассмотрим теперь поверхностный интеграл по 5„в (6.60а), (Здесь опять обсуждаются лишь внутренние элементы, поэтому поверхностный интеграл по Зо опускается,) Из предыдущих рассуждений следует, что этот интеграл отвечает за реализацию условий непрерывности перемещений вдоль границ элемента.
Как и ранее, опишем граничные перемещения и независимо от внутренних перемещений таким образом, чтобы они были согласованы при переходе границы элемента, но выражались через узловые перемещения (А). Что касается граничных усилий Т, то в нашем случае они сначала записываются через производные от перемещений. При этом используются соотношения теории упругости (4.5), соотношения, связывающие напряжения с деформациями и деформации с перемещениями. Эти перемещения далее аппроксимируются с помощью в. В результате получим интеграл, который квадратичен по узловым перемещениям (Ь) и который содержит в качестве матрицы Гессе корректировочную матрицу жесткости ((т,!. Следовательно, полная матрица жесткости имеет вид (й(=! "в)+(йс!.
(6.67) Альтернативным к описанному выше подходу, основанному на методе обобщенной потенциальной энергии, является подход (6.9, 6.!О(, в котором основные матрицы жесткости элементов (й,! определяются численно и суммируются, образуя глобальную матрицу жесткости без какой-либо корректировки соотношений, отражающих разрывность перемещений для отдельных элементов. Далее в виде ограничений выписываются соотношения, отражающие выполнение в среднем условий межэлементной непрерывности, и эти ограничения при помощи метода множителей Лагранжа добавляются к глобальным уравнениям. Так как этот подход правильнее отнести к процедуре анализа конструкции в целом, возвратимся к нему снова в гл.
7. Так как идеи построения элементов с помощью гибридных методов и метода обобщенной потенциальной энергии иллюстрировались на простых примерах, то приведенные построения не обладают общностью. Это отчетливо видно из замечаний относительно построения некоторых полей перемещений н граничных усилий (см. текст, следующий за (6.56)). Однако в главах, касающихся расчета плоского напряженного состояния н изгиба конструкций, мы вновь б.б. Метод минимизации дополнительной энергии 187 вернемся к формулировкам этого типа, проводя при этом рассмотрения более общего вида. Исследования еще более общих вопросов представлены в работах (6.5 — 6.8, 6.П, 6.!2!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
