Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Примером этому служат изгибаемые элементы, для которых на границе элементов должны быть непрерывны не только поля, но и производные от функций, задающих эти поля (угловые смещения). Не существует полей перемещений простого вида, которые отвечали бы этим требованиям. По этой причине нередко построение соотношений для элемента пластины при изгибе осуществляется выбором поля перемещений, которое непрерывно внутри элемента, а не при переходе через границу соседних элементов. Принцип минимума потенциальной энергии справедлив при формулировке соотношений для отдельного элемента, однако решение в случае глобального представления не соответствует строгому применению принципа минимума потенциальной энергии из-за разрывиости перемещений вдоль границ смежных элементов.
Аналогичные трудности встречаются и при формулировке соотношений для элемента на основе принципа минимума допол- 6.9. Некоторые еаключктвлькыв аемечаккл 199 нительной энергии, особенно в том случае, когда поле напряжений внутри элемента описывается полями функций напряжений. В этом случае можно провести параллель с процессом построения соотношений на базе принципа минимума потенциальной энергии, и все возникающие прн этом трудности переносятся на соответствующие формулировки для принципа минимума дополнительной энергии.
Альтернативой к формулировкам на базе принципов минимума потенциальной и дополнительной энергии с непрерывными н разрывными полями на границе соседних элементов служат подходы, вытекающие из принципов минимума обобщенной потенциальной и дополнительной энергии, применение гибридных подходов и функционала со многими полями. Метод, опирающийся на принцип минимума обобщенной потенциальной энергии, используемый при построении соотношений для отдельного элемента, дает корректирующую матрицу жесткости элемента.
В гл. 7 показано, что уравнения, соответствующие этой матрице, можно использовать и в глобальном конечно-элементном представлении, полученном на базе принципа минимума потенциальной энергии с разрывными вдоль границ элементов полями перемещений, В гибридных методах используются не только обобщенные формулировки известных энергетических принципов, но и представление характеристик элемента с помощью нескольких полей.
Например, энутри элемента задается один вид поля перемещений и (или) напряжений, на границе элемента задается независимо в другой форме поле напряжений и (или) перемещений. Все поля, за исключением одного, задаются в терминах обобщенных параметров. Последнее поле выражается в терминах физических степеней свободы. Соответствующее энергетическое выражение (модификация потенциальной и дополнительной энергии) записывается вначале в терминах обоих классов параметров и требуется выполнение условий стационарностн для набора обобщенных параметров.
В результате приходим к системе уравнений для обобщенных параметров, выраженных в терминах физических степеней свободы. Эти соотношения используются для исключения обобщенных параметров из выражения для энергии. Получающееся в результате выражение для энергии содержит в этом случае искомую матрицу жесткости или податливости в обычной форме. Вариационные принципы с использованием мультиполей приводят непосредственно к смешанному виду соотношений между силами и перемещениями для элемента. Так как уравнения Эйлера для этих функционалов являются уравнениями, лежащими в основе теории упругости, включающими производные низких порядков, требование к непрерывности задаваемых полей ниже, чем при подходах, использующих вариационные принципы.
Приведем, как и в разд. 5.4, сводку преобразований, применя- б Варкамионные мвто ы пост ранив конечных впамантоа п=(Х!(рг) (6 77) узловых напряжений в поле напряжений и=!Я~(рг) (6 7!) обобщенных силовых параметров в граничные Преобразование Преобразование усилия т —.(1.) Уг) (6 61) Преобразование узловых сил в граничные усилия Т=(,Е)(гг) обобщенных параметров смещения в (6 56) Преобразование смещения граничные п=(Ч! (а) Преобразование смещений в граничные смещения п=(д'1(А), (6 66) (6 17) Литература 6 ! Михлин С Г Нариапиоиные методы в математическая физике — М Гос техтеориздат, 1957 62 Бсиес1ег й ТЬе Чапа11опа! Мейод ~п Епрпееппд — Нету Чогх, 1ч,т' Мсбгатч Ни1! Воох Со 1967 63 ! апаиааг Н 1.
Епегау Ме1Ьода |п Аррнег1 МесЬап~са — Хеъ Чогх, Л! У ЯоЬп тЛ |1еу а Бона !пс, 1962 64 Ъаайгн К Чапанопа! Мейода ~п Е1аапспу апд Р1ааисг1у — Ох1огд Рег аавоп Ргевэ 1968 6 Б Бггапд О, Р~х О Ап Апа1!мч о1 йе Гппйе Е!евеп1 Мейод — Еп21егяоод Снпэ, Н Л Ргепнсе На!1 1пс 1973 !Имеется перевод СтренгГ, Фиксмж Теория метода конечных элементов — М Л1ир, 1977, 349 с 1 66 Тона Р~п Л!ем Омр!асевеп1 НуЬпд Грийе Е1евеп1 Моде! 1ог Бонд Соп1~ ппа — !п1 д Нвв Мей Епа !970, 2, р 73 — 83 67 МсЕау и % А Брег~а! Чапа1~опа1 Рг|пс~р1е 1ог йе Рвпе Е!егпеп1 Ме 1Ьод — А!АА3, Маг 1969 7 Л1о 3, р 633 — 634 1Имеется перевод Ракет ная техн н космон — М Мир, 1969, №3! 6 8 Кйпсй Е, Андо У Ыеъ Чапа1~опа! Гппспопа1 1ог йе Е~п~гн Е1евеп4 Ме- емых в предшествующих формулировках элементов Эти преобразования, которые при описании величин граничных усилий или перемещений помечены черточкой сверху, при формулировке соотношений для элемента считаются известными в каждом конкретном случае Кроме того, силы и перемещения помечаются нижними индексами 7' и з, при этом матрицы преобразования соответствующим образом разбиваются на подматрнцы, если необходимо раз личать степени свободы, отвечающие соответственно неподвижному закреплению элемента и незакрепленному элементу Преобразование обобщенных силовых параметров в поле на пряжений Задачи йод апд [й АррЬсапоп [о Р[а1е апд ВйеП РгоЫевз — г[ис Епй Реяйп, 1972, 21, р 95 — !!3 69 Огеепе [т Е, Лопез [[ Е, МсЕау 9 'тЧ, 5[гоше 0 [[ Оепега!ггед Чапа1ю.
па! Рпшс~р[еь ~п йе Ггп|[е Е[евеп[ Ме[Ьод — А1АА Л Ли[у 1969, 7, г[о 7, р !254 — 1260 [Имеется перевод Ракетная техн н космон, !969, !Ф 7 ) 6 10 Наггеу Л !Ч, Ке!зеу 5 Тпапйи!аг Р!а!е Вепйпй Е[егпеп1 ипй Еп[огсед СогпраПЬгЫу — А1АА Л, 9, [Чо 6 Липе !9?1 р 1023 — 1026 [Имеется перевод Ракетная техн и космон — М Мир, !971, Лчз 6) 6!1 Р~апТ Н Н,ТопйР1п Вамьо1 РветеЕ[егпеп[Ме1Ьодз[ог5оИСоп1шиа†1п1 Л Нив Мей Еп8, 1969, 1, Хо 1, р 3 — 29 6!2 Р~ап Т Н Н НуЬпд Моде!з — !п Нивепса[ апд Соври1ег Мейодь ш 3[гни!ига[ Месйашсз, Б Л Гепчез, е[ а! (сд ) — Неге Уогй, Х У Асадеппс Ргею, 1973 6 13 ОаПайЬег [! Н, РЬаПа А Рггес1 Г[ех~Ь|!Пу Гвде Е[егпеп1 Апа[уюз— Ргос о1 Г~гь! [п1 Соп1 оп 5[гни! МесЬ ш [[ис[еаг йезс1ог Тесно!ойу Вег.
Ьп, !971 614 Р~ап Т Н Н Репчапоп о1 Е1егпеп1 5Ы1пега Ма[песа Ьу Аюшпед 51геез Р~з!пЬи[1опз — А!ААЛ, 1964 2 р 1333 — !336 [Имее ся перевод Ракетная техн и космон — М Мнр 1964 ) 6 15 Р~ап Т Н Н Е[евеп[3Ы[пеьь Ма[песа 1ог ВоипдагуСошраЬЬгЫу апд РгазспЬед Воипдагу 31гевез — Ргос о[ Сон[ оп Ма1пх Мейодз ~п 5[тип! МасЬап~сз, АГГ01. ТЕ 66 80, 1965, р 457 — 477 6 16 Пеоипег Е Оп а Чапапопа1 ТЬеогев ш Е[азысыу — Л Май РЬуз, 1950, 29, р 90 6 17 ГгаеПь де ЧеиЬе[ге В Ршр[асевеп[ апд ЕйийЬпив МодеЬ ш йе Гшйе Е[егпеп1 Мейод, СЬар1ег 9 5!гезь Апа[уюь, О С Ъеп1аетч|сг апд О НоЬз[ег (ед ) — Ьопдоп Лойп гЧ~!еу, 1[д, 1965 6!8 Ргайег [Ч Чапапопа[ Рппс~р!ез о1 1.шеаг Е!аз[оь[амсз 1ог РмсопЬпиоиз Р|зр[асевеп1ь, Б[гашз, апд 3!геьзеь — 1п [[есеп[ Ргойгезз гп Арр!гед Меспашсз ТЬе Г Одопа[ Чо[шпе — [[етч Уст[с ЛоЬп тЧ~[еу А Бонз, !пс, 1967, р 463 — 474 6 !9 5етчеП М Л Оп Риа[ АрргохппаЬоп Рппшр!еь апд ОРПвжаЬоп ~п Сопы.
пиигп МесЬашсз — РЬ~[ Тгапз, [[оуа! 5ос о1 Еопдоп, 13 Хоч 1969, 265, Но !!62, р 319 — 351 Задачи 6 1. Проверьте справедливость принципа виртуальных снл 6Уэ= — 6[г, где [?ч— дополнительная энергия деформации При этом виртуальное поле напряжений 6о должно удовлетворять всем граничным условиям в напряжениях 6 2. Найдите энергетически эквивалентные нагрузки в узлах стержневого эле- мента для распределения нагрузок, задаваемого формулой р=йэ(1 — (х?5)з) 6 3 Постройте согласозанную матрицу массы для простого изгибаемого балочного элемента 6 4 Постройте согласованную матрицу массы [в) для треугольного элечента из нзотропного материала в случае плоского напряженного состояния (см рис 5 3), где р — масса, приходящаяся иа единниу объема При этом геометрические характеристики треугольного элемента обозначаются символом [„= ') х"умдА.
А 6 5. Нагрузки, распределение которых показано на рис Р6 5, приложены к грани элемента, перемещение которого задается следующей линейной функцией и=(1 — — ) иг+~ — ) и, Вычислите энергетически эквивалентные силы в точках ! и 2. б. Ввриациониые методы построения конечные элементов 6.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
