Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

В приведенном выше примере имеется невязка для одной степени свободы в полях перемещений на границах элементов. Обозначая точку, лежащую на стороне 1 — 2, цифрой 7 (см. рис. 7.8), можно записать ит и> О. Вычисляя затем в точке 7 соответствующие значения полей перемещения для элементов А и В, получим уравнения, задающие ограничения в виде, аналогичном соотношению (7.25). Если учесть указанное ограничение с помощью метода множителей Лагранжа, то в этом случае множитель Лагранжа представляет собой величину силы в рассматриваемой точке. Преимущества обобщенного вариационного подхода отчетливо проявляются при построении конечно-элементных моделей нзгибаемых пластин.

Возможность проиллюстрировать этот факт представится в гл. 12. Х Варнацнонныа принципы глобального анализа конструкций 21в У.б. Принцип минимума допопнитепьной энергии Если при конечно-элементном анализе в соотношениях податливости в качестве неизвестных выорать узловые или граничные силы, то выписать соответствующие формулировки на базе выражения для дополнительной энергии намного труднее, нежели конечно-элементные представления жесткостной формулировки, опирающиеся на принцип минимума потенциальной энергии. Это происходит из.за того, что для статически неопределимой конечно-элементной идеализации конструкции нельзя непосредственно выполнить преобразование от узловых сил элемента (Г") к прикладываемым нагрузкам (Р).

Если, с другой стороны, в качестве основных неизвестных выбраны функции напряжений, то формулировки сходны с используемыми при жесткостном представлении. Опишем эти два подхода ниже. Рассмотрим вначале случай, когда в качестве неизвестных выбираются силы, причем объемные силы и предварительные напряжения предполагаются отсутствующими. Для определения величины дополнительной энергии деформации уа в конечно-элементной модели, состоящей из Р элементов, воспользуемся соотношением (6.686). Имеем (7.27) где (Гг) и (тг) — соответственно вектор сил и матрица податливости йго элемента. Это можно записать в следующем виде: (/а т/ ( Ге ~ ~ (з ~(Гг) (7.28) где (Г') — вектор, включающий всю совокупность силовых векторов отдельныхэлементов ) Г') и все силы реакции опоры ~ )ст ), т. е.

~Г" )=( ~ Г' ) ( Г'3 ~Г' )1 й'1 1 Здесь( Р ) — глобальная матрица податливости, имеющая блочнодиагональную структуру, где каждый блок есть матрица податливости отдельного элемента. Все матрицы отдельных элементов (тт), т'=1,..., р, входят в этот массив.

Кроме того, в нем фигурируют нулевые строки и столбцы, соответствующие силам реакции опоры в точках закрепления. Может показаться, что следующий логически оправданный шаг состоит в переходе от внутренних сил и сил реакции (Г') к узловым силам (Р); однако, как было указано выше, это нельзя осуществить непосредственно в случае статически неопределимой конструкции. Следовательно, (Г') выражается в видесуммы двухсиловых систем (Г') и (Г').

Здесь (Г') — любая система внутренних сил, уравновешивающих (Р), и пока выбор этой системы не соответствует Хз. Принцип минимума дополнительной энергии уравнения [Г )=(В,:Щ(„'-„-). (3.158) Далее необходимо выписать выражение для работы [га, совер- шаемой иа заданных полях перемещений. Для простоты исключим случай ненулевых перемещений. Считаем, что число степеней свобо- ды в узлах, соответствующих точкам опоры, равно нулю.

Поэтому вклад этих слагаемых в [ге равен нулю. В соответствии с традици- онными положениями анализа, учитывающего дополнительные си- лы, рассмотрим только сосредоточенные, прикладываемые к узлам силы Ри Однако при рассмотрении указанных сил временно допу- стим, что соответствующие степени свободы Лг заданы и далее в процессе решения Р, трактуются как варьируемые параметры. Следовательно, Р*= — ! Р [(М (7. 29) Подставляя полученное' выражение в (7.28) и проводя выкладки с учетом, что П,=Уе+эге (см.

(б.б8)), получим и,= ~,'[Гп,)'Г ! [((7,)(Р)+ ! Г" $<)у,ГГ( /!О,НР)+ +'",'"(Щ'Г[ Л7)Л 1 — [ [(й!. (.30) Чтобы найти стационарное значение величины П„выполним варьирование правой части (7.30) по всем параметрам, как (Р), так и (Г,). Тогда ~ 1~,1 Г ~ [ 1М ! [~т! Г! .[ 1И ~ ( Р ~ Р) („,) Решение нижней части уравнения дает (Г')= — ([Рэ[ ~1г ~ЮэЦ т([0э[тг!г ! [Щ)(Р), (7.32) н после подстановки в верхнюю часть уравнения приходим к выражению [Р! (Р)=Ю (7.33) окончательному решению задачи, эта система будет связана с несогласованным деформированным состоянием.

Силы (Г') представляют собой амплитуды самоуравновешенных сил. Число этих сил равно числу статически неопределимых степеней свободы в рассматриваемой задаче. Как показано в равд. 3.3, выбор дополнительных снл, а также построение соотношений, связывающих внутренние силы с приложенными нагрузками и дополнительными силами, можно осуществить, оперируя глобальными уравнениями статики (3.15), т. е, (Р)=[В[ (Г').

Кроме того, для этих целей можно использовать физические соображения. В любом случае в результате получим 7. Вариационныа принципы глобального анализа конструкций где объединенная глобальная матрица податливости имеет вид га1 грцтГ)г )уц гР 1т[-(, ! гР1р»1т Х Г)г ) Щ1! '[Щт [ Хг ) !'Рс[1 [Р). (7.33а) Поле внутренних сил (и силы реакции опоры, если они входят в (Ег)) можно найти, подставляя (7.32) в (3.!56). Имеем (Ег) — ~[Р ! [Р ! ПР [тггг [[Р Ц-г[Р [т[ аг ~[Р Ц (Р) (7 34) Прикладываемые узловые силы рассматриваются теперь как известные величины.

Будет показано, что в сравнении с жесткостным анализом приведенный выше анализ податливости требует большего числа следующих друг за другом матричных преобразований. Еще более значительны оказываются затраты на построение соотношений (3.!5д), исходя из значения матрицы [В!. Согласно методике, описанной в равд. 3.3, матрица [В! формируется из уравнений равновесия для каждой степени свободы. Поэтому в [В! то же число строк, что и число уравнений в прямом методе жесткости. Заметим, что метод исключения Гаусса — Жордана есть по существу метод обращения матриц, поэтому затраты на выполнение этих операций соответствуют затратам на построение обратной к матрице [К), т.

е. объединенной глобальной матрицы жесткости. Способ, позволяющий избежать перечисленные трудности, должен использовать, как предложено в разд. 6.6, функции напряжений в качестве параметров поля напряжений. Согласно этой схеме, дополнительная энергия деформации (-го элемента имеет вид Уга=(~ Ф' ~/2)[г! (Ф'), (6,745) где для плоского напряженного состояния величина (Ф') содержит в качестве параметров значения функции напряжений Эри и соответствующие производные в узлах элемента (см. (6.75)).

Для других типов напряженного состояния используются другие функции напряжений. В нашем случае податливость элемента [гг! определяется согласно (6.72а). Непрерывность поля напряжений при переходе через границы элементов — если поля напряжений элементов допускают непрерывное задание — достигается приравниваннем значений параметров функций напряжений в узлах соединений элементов. (Поля напряжений в элементах могут быть записаны через узловые параметры функции напряжений, но в такой форме, что будет нарушаться непрерывность усилий при переходе через границу между элементами. Такие элементы можно также объединить, приравнивая параметры функции напряжений в узлах, однако с их помощью нельзя получить правильное конечно-элементное представление величины дополнительной энергии.) Эту процедуру можно осуществить аналогично 7ик Принцип минимуме дополнительной внергии той, которая указана в разд.

3.2 для метода жесткости. Таким образом, строится процедура прямого метода податливости. Представим полученную глобальную (для р элементов) дополнительную энергию деформации (7е в виде (7. 35) где )Р) — глобальная матрица податливости, соответствующая функциям напряжений (а не силам), а (Ф) — вектор глобальных параметров функции напряжений.

Кроме того, (7е можно выписать, используя приведенную в равд. 3.3 схему конгрузнтных преобразований. Важно учесть тот факт, что дополнительная энергия деформация элемента (7'е строится по полю напряжений и, задаваемому с помощью производных соответствующего порядка от поля функции напряжений Ф (см. (6.74) и (4.4)). Например, порядок производных для случая плоского напряженного состояния равен двум. Следовательно, (7* определяется с точностью до членов, которые исчезают в результате дифференцирования. Ситуация совпадает с той, которая возникает для конечно-элементного представления с использованием перемещений, когда нельзя выделить движение тела как твердого целого из-за выполняемых для определения поля дефор.

мации е операций дифференцирования перемещений А, Чтобы удовлетворить указанному выше требованию, можно зафиксировать достаточное число узловых силовых параметров, чтобы получить статически определимые неподвижные условия закрепления. К примеру, было замечено, что функция напряжений Эри для плоского напряженного состояния двойственна поперечным смещениям в теории изгиба тонких пластин, в которой для реализации требуемых условий закрепления следует фиксировать три соответствующим образом выбранные степени свободы.

Отсюда следует, что аналогичным образом в случае плоского напряженного состояния достаточно зафиксировать три силовых параметра. Совершенно необязательно, чтобы зафиксированные степени свободы, скажем Фю включались непосредственно в дополнительную энергию деформации подстановкой Фт=0 в (уе. Можно ввести эти ограничения с помощью обсуждавшейся в разА. 7.3 процедуры множителей Лагранжа. В этом разделе было также показано, что если ограничения делают систему статически определимой и эти ограничения учитываются с помощью метода Лагранжа, то в этом случае в основной матрице (Р) необязательно подавлять степени свободы, отвечающие движению тела как твердого целого.

Характеристики

Список файлов книги