Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Учет приложенных сил приводит к системе ограничений, и если прикладываемые нагрузки самоуравновгиюны, то для рассматриваемых целей этих соотношений достаточно. ггг 7. Вариациониыа принципы глобального анализа конструкций и Сг Рнс, 7.9. Чтобы описать методику, рассмотрим случай плоского напряженного состояния. На стороне элемента, параллельной осн х, действует нормальное напряжение а„, как изображено на рнс. 7.9. Согласно (4,4), в любой точке на этой стороне дтФ/дх'=а . Дважды интегрируя это выражение н определяя константы интегрирования через Ф н дФ/дх=Ф в концевых точках (т.
е. через Ф,, Фэч Фгт Ф„), получим а — Ф„+Ф„=) а дх, (7.3ба! — Ф, + Ф, — Ф„а = ) ~ ав дх (7.36Ь) Так как аа задана н является функцией только от х, то можно вычислить интегралы в соотношениях (7.3ба, Ь), Таким образом, получим два уравнения, которые задают ограничения. Учитывая аналогично все остальные граничные условия для напряжений, *' Если существуют начальные деформации или объемные силы, то справа стоит не нуль. Однако это обстоятельство не меняет причин, побуждающих строить ограниченна, учитывающие поверхностные нагрузки.
Рассмотрим теперь слагаемое )г*, входящее в выражение для дополнительной энергии. Задаваемые в точках (узлах) параметры функции напряжений не являются прн анализе заданными величпнамк, и, кроме того, соответствующие нм параметры деформации не имеют важного для приложений физического смысла. Поэтому методика, в которой узловые параметры деформации являются заданными величинами, не имеет в настоящем рассмотрении никакого значения, н можно считать У*=О. Тогда, согласно (6.68) н (7.35), П,=(/а=(~ Ф г/2)!г".1(Ф), н очевидно, что вариация П, по Ф приводит к следующему результату: (Р! (Ф)=0*'. Однако ясно, что в рассмотрении мы еще не выделили реально действующих нагрузок.
Выполняя это, получим ограничения, обеспечивающие правильный характер решения. '1 Ха Свойсгво верхней грани дев ренгеннв получим дополнительные ограничения. Сохраняя введенные ранее обозначения, запишем полную систему уравнений, задающих ограничения в виде (6( (Ф)=(з). (7.37) Зги ограничения можно учесть с помощью метода множителей Лагранжа (см. разд. 7.3) либо с помощью метода конденсации (и, 3.5.2). Используя первый метод и обозначая через ( Х ) вектор множителей Лагранжа, выпишем следующий расгииренный функционал дополнительной энергии: Пг= — [Р](Ф'+ ( 3.
~)Сг1(Ф) — ( ~(з). (7,38) Варьируя по (Ф) н ( Х ), получим (7 39) Эта система разрешима, потому что указанные выше ограничения, соответствующие движению тела как твердого целого, включены в эту систему. Они фигурируют и в уравнениях (7.37), если эти уравнения выписаны для системы приложенных нагрузок, которые полностью уравновешены. Так как в анализе обычно имеются неизвестные реакции опоры, которые не позволяют определить полную самоуравновешенную систему поверхностных сил, то, вообще говоря, необходимо учитывать эти условия путем непосредственной модификации глобальной матрицы податливости.
Подробное изложение способов построения ограничений, реализующих для различных напряженных состояний силовые граничные условия, приводится в работах (7.5, 7.5). Следует заметить, что указанные построения строго отвечают принципу минимума дополнительной энергии для всей конструкции только в том случае, если вид распределения прикладываемых напряжений вдоль границ элементов совпадает с видом выбранных полей напряжений в элементах, которым эти границы принадлежат. Если это ие так, то уравнения, задающие ограничения (например, (7.37)), отвечают лишь приближенному удовлетворению условий, которые должны выполняться точно в принципе минимума дополнительной энергии. У.о. Свойство верхней грани для решения, получаемого с помощью принципа минимума дополнительной энергии Действительное решение, получаемое с помощью принципа минимума дополнительной энергии, при определенных условиях обладает следующим свойством: значения коэффициентов влияния для пере- 224 7.
Вариационныа принципы глобального анализа конст укций мещений представляют собой верхнюю грань для значений уназанных коэффициентов, которые получаются в пределе прн уменьшении разгеров ячеек сетки. Рассмотрим случай, когда задаваемые перемещения равны пулю, так что К"-0 и П,=У". Для единственной прикладываемой нагрузки Р, н вызванного этой силой перемещения Л, имеем и =Р,Л,!2. (7.40) Сравним точное и приближенное значения дополнительной энергии деформации, замечая, что точное значение представляет собой минимум. Следовательно, (7.4!) ага (х ехасг((уарргох и после подстановки (7.40) в (7.4!) приходим к неравенству Рт (~~т)ахает~~ т ( г)арргох или ~+'-' — '=(7* ) х 1<(7' ), „„= '(",рг'х, (7.42) т е.
приближенное значение ~тт оказывается верхней границей. Как для верхней границы решения, обсуждавшейся выше, так и для нижней границы (минимум потенциальной энергии) можно дать физическое объяснение. Приближенное решение, основанное на принципе минимума дополнительной энергии, характеризуется разрывными полями перемещений, и поэтому оно более «податливо» по сравнению с точным решением.
На решение, получаемое при помощи принципа минимума потенциальной энергии и характеризующееся непрерывным, но приближенным полем перемещений, накладываются ограничения. Поэтому оно «жестче» точного решения. Смешанные и гибридные формулировки не обладают свойствами нижней илп верхней границ, Однако можно доказать, что они приводят к решениям, лежащим в промежутке между указанными пределами Предположим, например, что в гибридном методе напряжений поле напряжений удовлетворяет условиям равновесия не только внутри элемента, но и при переходе через границу элементов.
Тогда традиционная формулировка на основе принципа минимума дополнительной энергии для этого поля приведет к решению, соответствующему верхней грани («высоко податливое» рещение). Выбор поля перемещений на границе в гибридной формулировке накладывает некоторые ограничения на конечно-элементное представление, уменьшает податливость и смещает получаемые решения в сторону точного решения.
При этом, конечно, имеется возможность «перегрузить ограничениями» аналитическое представление и проскочить точное решение в сторону «нижней границы», соответствующей перемещениям, обусловленным граничным полем перемещений. Задачи Высказанные соображения имеют смысл только тогда, когда имеется привязка к известным значениям для верхней и нижней границ решений, и справедливы в пределах, определяемых полями, на которых строятся решения. Это значит, что степень сложности граничного поля перемещений в гибридном методе напряжений должна в некоторой мере соответствовать предполагаемому внутреннему полю напряжений.
Более сложные представления могут оказаться неэффективными. Оценки к указанным рассмотрениям можно найти в [7.71. Литература 7.1. Рох й., Яа«1оп Е. Рече!оргпепы гп Япк!ига! Апа!уз!в Ьу Р!тес! Епегйу Мгп«п~ха[гол.— А!АА Л, Липе !968, 8, Ха. 6, р. !036 — !042 [Имеется перевод Ракетная техн. и космон.— М.. Мир, 1968, № 6.[ 7.2.
Гпед 1 Маге ол Сггабгеп! Иега1!че Ме[ьобв гп Ргпие Е!ешеп1 Апа!увы.— А1АА Л, Маг, ! 969, ?, [Чо. 3, р. 565 — 567. [Имеется перевод. Ракетная техн. и космон — М Мнр, 1969, № 3.[ 7.3. Пгеепе [[. Е, Лопев к Е, Мс1ау [[. 'тЧ., Ягоше Р и Йепега[гзеб Чапа- Попа! Рплсгр!ев гп [Ье Гшие-Е!еглеп1 Ме!Ьод.— А1АА Л., Ли[у !969, 7, 5[о. 7, р. !254 — !260 [Имеется перевод Ракетная техн, и космон — М. Мир, 1969, № 7.[ 7.4. Нагчеу Л, Ке!веу 5. Тпапйи!аг Р!а1е Вепбгпй Е!еглеп1 мяЬ Еп1огсеб СошраПЬг!Иу.— А1АА Л., Липе !971, 9, 5[о 6, р. !023 — 1026 [Имеется перевод: Ракетная техн и космон.— М.: Мир, !971, № 6 [ 7.5. Са!!аййег [[. Н,, РЬаиа А. К. Рггес1 Г1ехгЬг1пу Ггпг1е Е!ешел1 Е!аыор!авПс Апа!умв — Ргос ГггМ 1п1егпап1 Сап[ оп Ягис1.
Месп гп Кис кеас[. ТесЬ., Вегпп, 1979. 7 6 Мог[еу 1. 5. Р ТЬе Тпапйи!аг Ейш!гЬпшп Е!егпеп1 гп 1Ье 5о!ииоп о1 Р!а1е Велений Ргоь!ешв.— Аего. !Лиаг1ег!у, Мау !968, 19, р. 149 — 169 7.7. Топу Р., Ргап Т. Н Н. Во«лба 1о 1Ье 1п1!ивисе Сае[!гоге«!в Ьу 1Ье Аввшпед Ягевв Ме[ьоб.— 1п1. Л. 5о116в апб Ягис1игев, !970, 8, р. !429 — 1432. Задачи 7.!. Разлагая соответствующие произведения матриц, проверьте, что конденсацию системы уравнений жесткости можно осуществить, полагая равными нулю силы, отвечающие исключенным степеням свободы, и строя матрицу преобразования, отвечающую этому базису (т е, проверьте подстрочное прим. в равд. 2.7).
7.2. Вычислите смещение свободного края нагруженной на канне консольной балки (см. рис. Р7 2). С этой целью постройте матрицу жесткости для конусообразного элемента, выбирал коническую конфигурацию для элемента и функцию формы, отвечающую конструктивному элементу постоянного поперечного сечения. Проведите расчеты для одно- и двухэлементного представлений и проверьте для решений свойство нижней границы [?ь ?г(! — гГз(х/5)е) [ 7,3.
Разработайте методику решения и выведите основные матричные соотношения, позволяющие учесть начальные деформации в матричном методе сил (методе, основанном на принпипе минимума дополнительной энергии). 7.4. Выполните расчет матричным методом сил в задаче 3 5, однако без рассмотрения лластинчатых элементов.
8 № вззг 226 7. Оариационные принципы глобального анализа конст укций 7лй Решите иллюстративную задачу из гл. 3 (рис. ЗА и 3.6), используя подход, основанный на минимизации квадратичной функции от узловых перемещений (см. (7,11) и (7.12)). ( Л') 7) Рис. Р?.2. Рис. Р7.6. 7.6. Два прямоугольных элемента, изображенных на рис. Р7.6, должны быть соединены. Перемещении о для соответствующих элементов вдоль линии соединения равны (х — х,) (х — 2х,) 1 ( х(2хе — х) 1 ( х(х — хь) 1 () Выпишите в алгебраической форме ограничение, которое необходимо наложить, чтобы обеспечить непрерывность перемещений в точке 2.
7Л. Постройте матрицу жесткости для изображенной на рис. Р7.7 балки в терминах степеней свободы ше, О, и Оер Далее задайте условия непрерывности углол и Рнс. Р7.7. Элементы А и В имеют одинаковую изгибную жесткость Ед вых смещений в шарнире с помощью метода множителей Лагранжа и найдите прогиб в точке 2.
В заключение поставьте и решите задачу, добиваясь непосредственно непрерывности угловых смещений в точке 2. Найдите внутренний изгибающий момент в точке 2 и сравните полученный результат с результатом, найденным с помощью метода множителей Лагранжа. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ПОВЕДЕНИЯ ЭЛЕМЕНТА И ЕГО ГЕОМЕТРИИ До сих пор обсуждение методов построения элементов носило достаточно общий характер и давало возможность применять теории, основанные на допускаемых напряжениях, функциях напряжений, полей деформаций н перемещений. Займемся теперь проблемой выбора указанных полей, или функций поведения, на систематической и рациональной основе, наиболее пригодной для численной реализации алгоритмов метода конечных элементов, Учитывая, что построение элементов на основе предполагаемых перемещений получило более широкое распространение, последующее обсуждение будет затрагивать в основном вопросы выбора функций перемещений. Однако в настоящее время усиливается интерес к использованию формулировок на основе напряжений или функций напряжений, а также гибридных формулировок, причем почти все рассуждения, приводимые здесь для функций перемещений, применимы и для других типов функций.
В начале главы изучаются общие условия, которым должны удовлетворять выбираемые представления функций поведения. Далее обсуждаются вопросы задания указанных представлений в виде полиномиальных рядов. Затем описывается регулярный подход к построению представлений в терминах физических степеней свободы, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
