Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 44
Текст из файла (страница 44)
в виде функций формы. Для треугольных (двумериых) элементов этот подход реализуется посредством использования гиреугальных координат, а для тетраэдра (трехмерный случай)— тетраэдральных координат. Далее описываются концепции„лежащие в основе интерполяции семейств функций для двух- и трехмерных четырехугольных и шестигранных элементов. Полезная концепция, согласующаяся с идеей функционального представления параметров поведения, заключается в представлении конфигурации элемента в той же форме. Зто позволяет определить элементы более сложных очертаний, например произвольные з 22В В.
Предстввление ункций поведения влементе н его геометрии четырехугольники или элементы с криволинейными границами. Этот подход, названный изопараметрическим представлением, также рассмотрен в этой главе. б.1. Требования н представлению функций поведения впемента Одно из преимуществ использования вариационных принципов при формулировке соотношений для элемента в конечно-элементном анализе заключается в том, что они помогают установить требования к пробныят 4ункт(иям или полям, описывающим поведение элемента. Можно записать следующие основные условия, вытекающие из вариационных и других соображений: 1. Выбираемые функции должны обладать определенной гладкостью (которая диктуется вариационной формулировкой) внутри элемента, а также при переходе через границы, разделяющие элементы одного и того же типа или имеющие одни и те же функции формы вдоль указанных границ формы.
2. Построенные на базе выбранных функций соотношения, связывающие силы и перемещения, должны давать нулевую энергию деформации при движении тела как твердого целого. 3. Выбираемые функции должны включать представления постоянных величин для соответствующих напряжений или деформаций. Согласно условию 1, необходимо, чтобы пробные функции были дифференцируемы столько раз, каков наибольший порядок производных в функционале вариационной задачи.
Иначе члены, содержащие указанные производные, обратятся в нуль или возникнет какое-либо другое несоответствие. Существование производных и-го порядка требует, чтобы в полиномиальном представлении функций поведения фигурировали по крайней мере члены и-й степени. Очевидно, нетрудно выбрать функцию, удовлетворяющую этому аспекту условия 1. Условие 1, удовлетворяющееся при переходе границы, разделяющей элементы, называется условием межэлементной непреромности.
В равд. б.3 показано, что если при построении соотношений между силами и перемещениями используется вариационный принцип, то условие ! вытекает нз требования однозначного определения интеграла (функционала), соответствующего указанному вариационному принципу. В частности, требуется непрерывность всех производных до порядка, на единицу меньшего максимального порядка производной в функционале. При выборе функций поведения, удовлетворяющих рассматриваемому аспекту условия 1, в конечно- элементном анализе возникают более серьезные трудности.
Для ЗЛ. Требоввнил и предстввлению функций поведение элементе простых элементов возможны регулярные методики построения требуемых функций, которые рассматриваются в этой главе ниже. Решение, строго соответствующее принципу минимума потенциальной энергии, при построении П требует рассмотрения полей перемещений, обладающих межэлемеитиой совместимостью. Если ищется решение, отвечающее принципу минимума дополнительной энергии, то при построении П, необходимо использовать функции, задающие равновесные поля напряжений, удовлетворяющие условиям равновесия на границах, разделяющих элементы.
Как было показано в равд. 7.2 и 7.6, указанные решения обладают тем преимуществом, что для них могут быть установлены границы изменения определенных параметров решения. Кроме того, можно доказать монотонную сходимость этих параметров при измельчении сетки разбиения 18.1, 8.21. Учитывая сказанное, будем уделять особое внимание определению функций, которые удовлетворяют требованиям классических вариационных принципов. Однако следует отметить, что некоторая степень межэлементной непрерывности требуется для функций, фигурирующих и в альтернативных принципах (приицип Рейсснера, гибридные принципы и т. д.), и даже для межэхементлно несовместимых полей, которые соответствуют традиционным вариациоииым принципам на стадии формулировки нонечиых элементов. При построении глобальных уравнений необходимо потребовать непрерывности функций, задающих физические степени свободы.
Для существования решения, основанного на принципе минимума энергии, необходимо выполнение условия 2. В равд. 2.9 показано, что число мод движений тела как твердого целого, содержащихся в системе уравнений жесткости элемента, можно определить, подсчитав собственные значения матрицы коэффициентов жесткости. Это условие сводится к требованию, чтобы упругие деформации не возникали при движении тела как твердого целого.
В случае простых элементов нетрудно проверить это требование. Например, для изображенного на рис. 5.4 треугольного элемента деформация в определяется, согласно (5.2!а) н (5.22), в виде е,=(1/хтут) ( — ути,+у,и,). Так как прн движении тела как твердого целого итр и„поэтому е„=О. Аналогичные условия выполняются для еу и у,у. Во многих формулировках сознательно нарушается условие 2, если представление движения тела как твердого целого выбранными функциями перемещений требует чрезмерно сложных выражений и операций при построении соотношений между силами и перемещениями для элемента. Это особенно справедливо, если построение осуществляется в криволинейных координатах.
С целью упрощения построений для большого числа формулировок криволиней- ц Предстааление уннций лоаедения элемента и его геометрии ных элементов допускается указанное нарушение условия равенства нулю деформаций при движении тела как твердого целого. Численные эксперименты 18.3, 8.4) показали, что невыполнение этого условия для некоторых элементов ухудшает, но не исключает сходимость решения к правильному результату.
более серьезные последствия возникают при нарушении условна 3. Невозможность аппроксимировать поле постоянных деформаций приводит к тому, что решение сходится к неверному результату и в некоторых случаях ошибка значительна. Ранее в некоторых случаях считалось целесообразным строить поле перемещений элемента, которое не аппроксимирует состояние постоянной деформации; в других случаях это состояние исключалось из рассмотрения неумышленно. Сходимость к неправильному решению происходит из-за того, что прн измельчении сетки деформированное состояние внутри отдельного элемента должно стремиться к состоянию с постоянной деформацией. Однако этого не происходит, так как указанного состояния в рассматриваемом представлении нет.
Пример подобной ошибочной формулировки дается в разд. 12.2. Ниже рассмотрим два основных класса представлений функций поведения. Это — представления в виде полиномиальных рядов и функций формы. Указанные выше вопросы изучаются для обоих классов. В.2. Попиноммальиые ряды Простейший способ аналитического описания функций поведения элемента состоит в представлении их в виде полиномиального ряда, коэффициенты которого являются обода(енными параметрами а,.
Даже в том случае, когда поле элемента записано в терминах функций формы, функции формы можно рассматривать как преобразования полнномиального поля. При обсуждении полиномиальных рядов будем рассматривать для простоты двумерный случай и предположим, что поле А описывается единственной величиной Л. Запишем указанные полинол миальные ряды в виде Л=Хх/уааг, или 1Ь-т Л= ~ р (т) ~ (а ), (8.1) где и — полное число членов ряда, а верхние индексы ( и (г — целые показатели степени, значения которых связаны с нижним целочисленным индексом 1 следующим образом: 1=э(э((+(г) ((+1+1)+1+1.
(8.2) Кроме того, через т обозначен порядок полинома, т. е. наибольшее значение показателя степени отдельного члена ряда (наибольшее 2З! 8.2. Поннномнаньные ряды значение суммы целочисленных показателей степени ! н й). Полином называется полным полиномом некоторого порядка, если он содержит все члены указанного порядка и ниже. Матрица-строка [ р(т) ~ представляет, в частности, вектор пространственных переменных полного полинома т-го порядка. Число членов в полном полииоме дается выражением л=г/,(т+ !) (т+2). (8.3) В качестве примера рассмотрим полный линейный полином А=а,+а,к+азу= [ р(!) 1(а).
Здесь и=3, что согласуется с (8.3). Кроме того, для второго члена 1=1 и к=О, откуда, согласно (8.2), 1=2. При изучении многих вопросов, связанных с полиномиальными рядами, удобно пользоваться так называемым треугольником Паскаля. Он имеет вид а, (константа ! член) а х азу (лине)Зная функция — 2 члена) 2 (квадратичная функция— а,х' а,ху а,у 3 члена) а,х а,х у а,ху а„у З г 3 (кубическая функция — 4 члена) х4 а хз а х24 2 а хо! а у4 (полинои 4-го поРЯДка 11 12 У 13 У 14 У 1З б членов) и т. д.
для полинома любого порядка. Треугольник Паскаля показывает сразу, сколько членов имеется в полном полиноме любого заданного порядка. Как правило, число обобщенных параметров выбирается равным числу узловых степеней свободы элемента. Хотя этот случай и был рассмотрен в гл. 5 и 6, далее изучим его вновь для завершенности изложения и для выявления свойств, не обсуждавшихся ранее. Определение обобщенных параметров в терминах узловых степеней свободы завершается определением полиномиальных разложений для каждой степени свободы.
При этом получаем столько уравнений, сколько существует степеней свободы. Выписывая их в виде (8.!), получаем (А)=[В1 (а). (5.3а) Коэффициенты матрицы [В) — целые числа или функции, зависящие от размеров элемента. Обобщенные перемещения записываются в терминах узловых степеней свободы, а именно (а)=[В1-'(А). (5.4а) Из (8.!) имеем А = [ р (т) 1 [В1 ' (А )= [ й( 1 (А) (8.2а) 232 В. Представление функций неведения элемента и его геометрии нли для поля Л более общего вида й=(р( )) (В)- (д)=1(ч) (б), (5.5а) где матрицы-строки заменены на прямоугольные матрицы, имеющие число строк, равное числу компонент поля А. В некоторых случаях, например когда геометрические характеристики элемента определяют зависимость одной степени свободы от другой, матрица (В) может стать вырожденной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
