Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 48
Текст из файла (страница 48)
При этом полезно знать, что полный полипом степени и можно записать в треугольных координатах в виде я Л = Х а!ЦЦ1.; (р+г)+г т), (8.1а) !.! где в сумму входят все однородные члены степени т, т. е. показатели функций формы в точности определяются трехцифровыми ин- и т. д. для полинома любого порядка, Теперь необходимо задать способ построения функций формы Ура, так, чтобы они удовлетворяли обычным условиям, накладываемйм на данные функции (например, Л! „=1 в точке рог; Флаг=О во всех остальных точках).
Как показано в одномерном случае, этим условиям можно удовлетворить, задавая функции формы в виде произведений функций соответствующих координат н проводя лагранжеву интерполяцию в каждом из направлений. По аналогии с одномерным случаем для применяемой функции имеем Х аг(Ыа, 1.1)=Яр(11)тт' 11-а)Уг(а.з)! (8.12а) где члены в правой части соотношения задаются в виде 251 а.5. Треугольные элементы дексами узлов согласно рнс.
8.14(а) и (Ъ). Для кубического разложения, например, имеем Л = (/ т)' а, +(сз)' аз+ (/ з)' аз+ (/ т)з / за, + (/,,)з (.,а, + + (/'з) /"таз+(/ з) /.тат + (/т) ( зал+ (/ з) /-зп„+/т/з(зотз. Располагая выражением выписанного типа прн построении опорной матрицы жесткости, можно использовать преимущества явных формул интегрирования для треугольного элемента. Второй часто выполняемой при представлении полей в треугольных координатах операцией, особенно при рассмотрении соотношений между деформациямн и перемещениями, является операция дифференцирования. Например, рассмотрим деформацию а„= =ди/дх.
Если рассматривается квадратичное поле перемещений„ где и выражается в виде й/зз,иззз+...+й/ззтизз„то первый член в выражения для е, равен д1чзоз д/.т д/.з =4/. — —. дх т дх дх Замечая, что, согласно определению йз (8.22), д(.з/дх=Ьт;/2А (1= =1, 2, 3), поэтому — "" =,—" (4Е,— 1). дх И наконец, что наиболее важно, можно выписать простое явное выражение для интегралов, которое является также обобщением формул одномерного случая. Искомые интегралы имеют вид й(Ц, /.„1.,)=) (Ь,) (/.,)'(/.,)" т/Аее А 2АЫ с! гн (а+с+а+2) 1' (8. 26) (Ср.
с (8.13).) Из (8.20) вытекает, что только две координаты независимы н интеграл всегда можно преобразовать к виду Ю(/.„ /з) =) (/т)з(/.,)Ус(А. Так как это выражение представляет собой частный вид (8.26) при с(=0, Ь=е, с=/, то -т (/ т, т'з) = 2А (е-1-/.1-21 1 ' (8.26а) Имея в виду приведенные выше рассуждения, интересно отметить некоторые не столь заметные преимушества представлений в треугольных координатах. Во-первых, задание узлов в представ- 252 8.
Представление функций доведения элементе и его геометрии ленин элементов высокого порядка (см. рис. 8.14) автоматически указывает место расположения узлов. Заметим далее, что изображенные на этих рисунках массивы в точности соответствуют различным уровням в треугольнике Паскаля. Поэтому каждому порядку интерполяции в треугольных координатах отвечает полное полиномиальное представление соответствуюи(еео порядка. Ранее отмечалось значение понятия полноты и, по-видимому, по этой причине треугольные элементы занимают особое место в конечно-элементном анализе. Другая причина их распространенности состоит в возможности гибкого их использования при представлении геометрических объектов сложной формы.
().6. Тетраэдрапьиые эпементы Изображенный на рис. 8.15 тетраэдр есть трехмерный аналог плоского треугольного элемента. Подобно случаю плоского треугольного элемента определение функций формы и интегрирование энергии деформапии осуществляются здесь в тетравдральных координатах, которые являются аналогом треугольных координат из равд. 8.5. (оо(), Ы: Рнс. 8.18. Базисный тетразяр.
Местоположение точки внутри тетраэдра, полный объем кото- рого обозначен через (уо1), можно определить при помощи следую- щего набора отношений: (уо1), (уо)), (.= —, й= —, (уо1) ' т (уо1) где (уо1); ((=1,..., 4) обозначает объем, заключенный между линиями, соединяющими точку с вершинами тетраэдра, противолежащими вершине (. На рис.
8.15 изображен (уо!),. Величины 7 „..., 7., представляют собой тетраэдральные координаты. С учетом (8.27) имеем (8.28) 8.4 Тетраэлреньные элементы 255 и, дополняя это уравнение соотношениями между декартовыми координатами точки х, у, г н тетраэдральными координатами, получим 1 1 1 11 1 (,т 1., ~в х, х, х, х, Ув Ув Ув Ув Хт ав Зв аа 1 Рнс. 8.18. Обобщенна на трехмерный случай трсугольннна Паскаля.
жения для полных полиномов любого порядка, задаваемых в узловых точках элемента, а также функций формы, соответствующих указанным полнномам. Типичная тетраэдральная функция формы помечается четырьмя нижними индексами в виде 1тр„, и следующим образом зависит от Л„..., Л,: йГ„атв(Ьт, ( в, Лв, Ьв)=МР(Ст) гУ,(1 в) Лг(йэ) 1Ув(Ьв), (8.30) Обращая матрицу, заключаем, что Ьг — — — ~(ЧО(.)г+Св х+С, у+С, г) (1=1, ..., 4), (8.29) 1 1 где (ЧО1 )г — объем, заключенный между стороной тетраэдра 1 и лучами, проходяшими через ее вершины н начало координат; (чо1) равен одной шестой значения детерминанта выписанной выше (4к4)-матрицы, а С,, С,, и С,,— дегерминанты возникающих при обращении (3'к З)-подматриц.
Имеющаяся аналогия между тетраэдральнымн н треугольными координатами позволяет применить изображенный на рнс. 8.16 лгглтраэдр Паскаля при определении совокупности членов разло- 1 254 8. Представление функций поведения элемента и его геометрии т. е. представляется в виде произведения функций от соответствую щпх объемных координат. Введение соответствующих нижних ин дексов аналогично случаю треугольных координат и иллюстриру ется для тетраэдрального элемента, построенного на базе квадра О002 0020 !О 2000 Рнс. 8.(7. Нумерация узлов для тетраэдрального элемента о квадратичным полиномиальнылг представлением. тичных функций на рис.
8.17. Заметим, что сумма четырех индексов должна равняться !п=2 в этом случае и порядку тп выбранной функции в общем случае. Соответствующая формула для М„(=р, г) или г дается опять выражением (8.11). При интегрировании в объемных координатах будем иметь следующую формулу для типичного интеграла: Ю((., 7, (, 1. ) ~ (7. ) (1, ) (Ь ) (Е ) а((чо!)— то! 6(чо!)а! Чс(сд (а+ь+с+д+3)! ' (8.31) Вследствие (8.28) только три из координат независимы, и поэтому можно упростить выписанное выражение. Предположим, что исключение (4,4)4 приводит к следующему преобразованию интеграла 3( ): тогда имеем 6 (то!1 е! (! я! ( т э' а) = (е-(- т-~- 8-(- 3)! (8.3!а) Подробное исследование тетраэдральных координат приводится в (8.9). 255 В.7, аиутреииие моды и редукция к простым формам 3.7.
Внутренние моды и редукция к простым формам Ранее отмечалось, что желательно выписывать уравнения элемента, отвечающие узлам, расположенным лишь в вершинах н на сторонах элемента. С внутренними степенями свободы трудно оперировать. Также было показано, что внутренние степени свободы естественным образом вводятся при построении функций формы для элементов высокого порядка.
Аналогичная ситуация возникает, если соотношения выводятся на основе обобщенных координат, причем число указанных координат превышает число степеней свободы, отвечающих сторонам и вершинам элемента. Эти «дополнительные» обобщенные координаты можно рассматривать как «внутренние» степени свободы. В этом разделе излагается два способа, с помощью которых можно исключить внутренние степени свободы.
Кроме того, изучается вспомогательная задача построения функций формы для элементов с различным числом узлов на соответствующих сторонах элемента. Рассмотрим сначала случай, когда внутренние степени свободы естественно возникают при построении функций формы для элемента высокого порядка. В этом случае матрица жесткости элемента может быть построена с использованием всех степеней, представленных в функции формы, Предположим, что внутренние степени свободы обозначены ни>киям индексом Ь, а степени свободы, отвечающие сторонам и вершинам элемента,— нижним индексом с.
Тогда построенная матрица жесткости может быть записана в виде "ьь ~ь» ~ь 'Г ) ь (8.32) Во внутренних точках элемента силы (Гь) будут известными величинами, полученными в результате рассмотрения энергетически эквивалентных нагрузок, приложенных сосредоточенных нагрузок и т. д., либо эти силы равны нулю, так как указанные точки не соприкасаются с другими элементами конструкции. Следовательно, исключение внутренних мод проводится в точности по схеме конденсации из равд. 2.8. Здесь уместно отметить, что «внутренние моды» более точно назвать как «дутые моды», т. е.
моды, имеющие отличные от нуля амплитуды внутри элемента н обращающиеся в нуль на его сторонах. Это происходит в силу того, что амплитуда функции формы равна единице для рассматриваемой степени свободы и нулюдля остальных степеней свободы. Второй способ исключения нежелательных степеней свободы состоит в непосредственной модификации функции формы таким образом, чтобы она выражала только требуемое число параметров. По видимому, простейшей схемой исключения степеней свободы из ,згл . о 256 а. Представление фуннцнй ловеденнл элемента н его геометрии рассматриваемых выражений является введение соотношений, связывающих исключаемые степени свободы с оставшимися степенями.
отрим, например, изображенный на рис. 8.14(а) треугольный нт, построенный при помощи квадратичного поля перемещефункция формы для которого подробно изучалась в равд. 8.5, ° оложим, что необходимо исключить узел 110. Можно потре, чтобы перелтещение вдоль данной стороны было линейно; тогда Лото=-(Лото+Лото)!2, и, подставляя в полное выражение для поля перемещений, получим 7 Л =!07моЛмо+ЫотоЛооо т107000Лаоо+!07000Лотт+(07000Лтот, я я где ~уооо (~~~000+ ~тд' 110) Л 000 (т 000+ тй'110). Предложенный подход может быть успешно применен и для прямоугольных областей. Например, выше была указана необходимость исключения внутреннего узла изображенного на рис.
8.7(Ь) прямоугольного элемента с биквадратным полем перемещений. Перемещение в этой точке можно задать в видесреднего значения от Х ПЕРЕМЕщвинй На СЕрЕдИНаХ СтОрОН: Ло=т(0(Л0+Ло+Л„+Л,). МОЖНО также включить при усреднении и узлы в вершинах прямоугольника с помощью взвешенного учета соответствующих степеней свободы. Таким образом, можно выписать набор различных выран жений в терминах заданной сокращенной системы степеней свободы. Более элегантный подход (8.101 к построению специальных функций перемещений можно осуществить с помощью процедуры, включающей суперпозицию отдельных функций перемещений. Прежде чем приступить к реализации данного подхода, который здесь будет использован только для прямоугольных элементов, удобно выразить функции формы в терминах безразмерных координат ($, т!) с началом в центре прямоугольника.
В этой связи функции формы для прямоугольников задаются в физической системе координат (х, у), начало которой расположено в вершине прямоугольника. Чтобы осуществить это преобразование (см. рис. 8.18(а)), ис- ПОЛЬЗУЕМ СООТНОШЕНИЯ $ =(Х вЂ” Хо)l(Х,— Х,) И Ч =(У вЂ” Э' )!(Уо — Ут) где х, и д,— координаты центра прямоугольника, а х, и у,— координаты нижней левой вершины. Тогда безразмерные координаты четырех угловых точек всегда равны +1 или — 1. Рассмотрим теперь построение функции формы для прямоугольного элемента с биквадратным полем перемещений, в котором необходимо исключить внутреннюю точку (см. рис.
8.18(а)). Функцию формы для лежащего на стороне элемента узла 2 можно получить в виде произведения квадратичной функции (! — $0), соответствующей направлению вдоль рассматриваемой стороны, и линейной функции Ч,(1 — т!) для перпендикулярного направления, Поэтому полНая фуНКцИя фОрМЫ дЛя ЭтОй ТОЧКИ раВНа ЛГо=т/0(1 — $0) (1 — т!). Построение функции формы для угловой точки приводит к более сложной задаче. Во-первых, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
