Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Плоско-напряженное состоянне Соответствующий вид граничных условий уже был выписан ранее: граничные условия для напряжений представлены в (4.5), а для перемещений — в (4.9). Определяющие дифференциальные уравнения равновесия в перемещениях задаются соотношениями (4.!7). Определяющее дифференциальное уравнение совместности представлено в (4.15) в терминах напряжений, а в терминах функции напряжений Эри — в (4.19). 9ЛД.
Погенцнальнал енергня У= — ~ ов ! т(А, 11 2 з (9,5) где о и в определяются согласно (9.1) и (9,2). Вводя в (9.5) уравнение состояния ортотропного материала (без учета начальных деформаций) и принимая во внимание соотношение между деформациями н перемещениями (4.7), получим 0 = — ) в[Е2в! с(А, (9.5а) л где [Е] определяется согласно (9.3) и После преобразования имеем +(1 — ряар„„) б ( — + — ~ ~!дА. (9. 5Ь) Принцип минимума потенциальной энергии предполагает рассмотрение допустимых полей перемещений.
В данном случае поле перемещений определяется, вообще говоря, в каждом узле компонентами и и и, поэтому вектор смещений в узлах обозначим через [ Л ) -[ [ ц ) ~ 9 [ ). Кроме того, в обсуждаемом ниже методе Для потенциальной энергии рассмотрим ниже лишь слагаемое, отвечающее энергии деформации У. Потенциал действующих снл 1) зависит от вида этих сил, причем о нем можно сказать что-лнбо определенное, если задано распределение указанных нагрузок, Энергия деформации для плоского напряженного состояния равна 9.1. Основные соотнопденнв 269 Я! д ! дв[ 0 [ [ (([[ ~[()) !й!„ (9.6) Следовательно, уравнение (9.5а) преобразуется к виду [я~[в)) )[Ж) 2 [(ч))' (9.5с) гдв [д[ — [[[в[ [в[[в[ддд~.
д [л (9 7) РЛ.З. допопннгепьная внергня Согласно (6.68а), дополнительная энергия деформации равна (7 = ~ о~Ц- о~г(А д" (9.8) Применим подход, основанный на введении функций напряжений Ф, и заметим, что функция напряжений Эри Ф из (4,4) пригодна в рассматриваемом случае. Допустимое поле, задаваемое функцией напряжений Эри внутри элемента, можно записать в виде функции формы следующим образом: Ф= ~ [ь[ ) (Ф), (6.77) где (Ф) состоит из значений функции напряжений в узлах, а [ [ь[ ) содержит выбранные функции формы.
Тогда, дважды дифференцируя Ф и учитывая определение функции напряжений (4.4), получим од- [['[д[[Ф). (6.78) где коэффициенты матрицы [Ид), вообще говоря, являются функциями от х и у. Подстановка в выражение для дополнительной энергии деформации [ риводит к соотношению Уе=(~ Ф~/2) [1) (Ф), (9.8а) жесткости поля перемещений и и и выписываются непосредственно в терминах узловых перемещений в виде функции формы, т. е. и=[ [[ [(н)„о=[ М ~ (ч) (вообще говоря, и выбирается лишь как функция от (н) и аналогично для о). Для плоского случая в разд, 5.2 в соотношении (5.22) н равд.
8.8 в соотношении (8.39) уже использовалось преобразование степеней свободы в деформации. Поэтому в принятых обозначениях имеем Э. Плоско-напряженное состояние где так же, как и в (6.72а), 1П-[1~иппаГ ~ип~гл]. (9.9) Здесь не приводятся основные соотношения для формулировки смешанных вариационных принципов в случае плоского напряженного состояния; в этой главе лишь кратко излагается роль этих принципов прн формулировке элементов. В работе (9.)! можно найти подробное изложение вопросов, связанных с функционалом рейсснера, в случае плоского напряженного состояния. 9.2. Треугольные ппосно-напряженные элементы 9.2Л. Элементы, построенные на базе предполагаемых перемещений В этом разделе рассматриваются плоско-напряженные треугольные элементы, построенные в предположении, что поля перемещений представлены соответственно полными линейнымн, квадратичными (а) (с) -е д з.
' (ь) Рис. нзд Возможные виды треугольных элементов: (а) треугольный с постоинныч значением деформации (СВТ-элемент); (Ь) треугольный с линейной деформацией ().5Т-элемент); (с) образованный нз четырех треугольников с узламн на середн. нах сторон; (б) десвтиузловой треугольный с квадратичной деформацией (()5Т- элемент); (е) треугольный с квадратичнои деформацией, включающий производные в качестве степеней свободы.
9.2. Треугольные плоско-напряженные элементы 271 и кубическими полнномами. В разд. 8.5 показано, что теоретически для треугольных элементов нет ограничений на степень полиномиального представления, так как легко расположить узловые точки внутри и на границе элемента, чтобы учесть функцию любого порядка. Однако на практике ценность элементов, основанных на полиномах, степень которых превышает третью, является дискуссионной. В этом случае, с одной стороны, существенно труднее выписать коэффициенты для элемента, а с другой — необходимость измельчения конечно-элементной сетки, моделирующей конфигурацию реальной конструкции, делает недействительными преимущества более усложненных представлений поведения элемента. На рис. 9.2 изображены элементы, обсуждаемые в этом разделе. Основной элемент (см.
рис. 9.2(а)) со степенями свободы в вершинах треугольника построен в предположении постоякства деформаций, что равнозначно постоянству напряжений клн линейности перемещений. Этот элемент часто называется СИТ-элементом. Матрица жесткости этого элемента для изотропного материала получена с помощью альтернативных процедур в равд. 5.2 и 6,4 и представлена на рис.
5.4. Так как этот вывод в равд. 5.2 проведен детально, здесь не требуется дополнительных пояснений. По мере усложнения следующим элементом является изображенный на рнс. 9.2(Ь) шестиузловой треугольный элемент, построение которого основано на задании полных квадратичных полиномов для перемещений и и о. Так же как в разд. 8.5, имеем и= а1ааанааа+ агааамааа+)т)ааапоаа+~атаптта+ лтаппагт+ агтаанаот' (8.25Ь) и аналогичное выражение для а. В терминах треугольных координат из (8.!1а) н (8.12а) получим й7, = 7„ (27., — 1), )У„„ = 7.,(27., — 1), У„, = 7.,(27., — 1), (9.1О) В этом случае после применения соотношений между деформациялш и перемещениями (4.7) приходим к (9.6), где (н)=1 иаоо...и м ) (т')= ) Оааа...птат 3 и аналогично для других векторов из (9.6). Первый член в (9.11) равен, как показано в разд.
8.5, ' ааа т| 47 (9,12) Всв остальные члены получаются также легко в результате диф- ференцирования. 272 9. Плоско-напряженное состояние Матрица жесткости формулируется с использованием (9.7). На практике интегрирование тройного произведения 1017(Е!(01 по области, занимаемой элементом, выполняется численно в виду сложности явных выражений для коэффициентов жесткости элемента. Однако получение явных выражений возможно, если построение ведется в терминах коэффициентов жесткости для С5Т- элементов 19.21. Явные выражения для коэффициентов матрицы же.
сткости элементов более высокого порядка оказываются громоздкими. Квадратичное поле перемещений приводит к линейным распределениям деформаций (или напряжений) в треугольном элементе, такой элемент обычно называется Е5Т-элементам. Может показаться, что объединение четырех С5Т-элементов, как показано на рис. 9.2(с), приведет к тому же результату, что н один 15Т- элемент. Однако 15Т-аремент определяет непрерывное (линейное) напряженное состояние внутри элемента, а совокупность С5Т- элементов дает четыре различных постоянных значения каждой компоненты напряжения. Внутри 15Т-элемента дифференциальные уравнения не удовлетворяются.
Этот факт был продемонстрирован ранее в разд. 4.5 с помощью полиномиального представления полей перемещений и, и о, а не с помощью рассмотрения функции формы. Очевидно, условия равновесия в узлах, находящихся внутри всех элементов более высокого порядка, также нарушаются. Как показано на рис. 9.2(Ь) штриховыми линиями, 15Т-элемент подходит для представления в изопараметрической форме. Операции, реализующие это представление, были описаны в разд. 8.8. Вообще говоря, все обсуждаемые здесь и в последующих главах конкретные элементы подходят для представления в изопараметрической форме.
Так как детали построения во всех случаях соответствуют изложенным в равд. 8.8, то далее, за исключением частных случаев, не будут обсуждаться вопросы, связанные с изопараметрической формой представления. Для дальнейшего улучшения представления может использоваться треугольный элемент, базирующийся на полных кубических (десятичленных) полиномах перемещений для компонент и и ш В этом случае встречаются два альтернативных способа расположения степеней свободы. В первом — изображенном на рис. 9.2(д)— задается обычным образом набор из 10 узловых точек, и в качестве степеней свободы выбираются значения и и о в каждом узле.
Во втором — изображенном на рис. 9.2(е) — узлы задаются лишь в вершинах, где наряду с и и о задаются также и производные от этих величин (ди1т(х=ик и т. д.). Это приводит к появлению 9 степеней свободы соответственно для каждой компоненты и и о, т, е. всего к 18 степеням свободы. В полном разложении обеих величин и и о имеется 20 степеней свободы. Дополнительные две степени сво- 2УЗ 9.2.
Треугольные плоско-напряженные элементы боды можно задать в виде двух компонент смещения центральной точки элемента. Можно исключить эти две степени свободы с помощью процедуры конденсации, описанной в равд. 2.8 или с помощью более элегантных процедур, описанных подробно в работах (9.4 — 9.6). Кроме того, можно разделить исходный треугольный элемент на три треугольника, выбрать внутри каждого из них девятинли десятичленные полиномы для и и и и исключить внутренние степени свободы, налагая условия непрерывности перемещений. Этот подход более распространен для изгибаемых треугольных элементов и обсуждается в связи с этим в п.
12.3.2. Элементы более высокого порядка с наборами узлов, соответствующих треугольнику Паскаля, т. е. с узлами вдоль сторон и внутри элементов, приводят к более общим уравнениям жесткости с большей шириной ленты в соответствующих ленточных матрицах по сравнению с элементами, степени свободы которых сосредоточены лишь в вершинах. Причину этого можно выяснить, добавив совокупность из двух треугольных элементов к конечно-элементной З Запопнапельньи узлау- о 2 спгспсно ерабаУы наузеп па 2 сыепсна суеты на узел ° З сгпепенео ауоаааьг на узел Е Л Ег (а) (Ы Рис. Э.З. Сравнение альтернативных форм задания степеней свободы.
(а) Обьединеиие двух треугольных элементов с квадратичной деформаиией; (Ь) производные в качестве узловых степеней свободы. модели с границей, задаваемой на рис. 9.3 точками Е, А, В, С,г". Если, как показано на рис. 9.3(а), добавим элементы с представлением деформаций в них в виде квадратичной функции, которые имеют 1О узлов (тип элемента совпадает с изображенным на рнс. 9.2(б)), то в соответствующей ленточной матрице возникают дополнительные коэффициситы, отвечающие 18 стспсияы свободы. Добавление двух элементов с квадратичным распределением деформаций внутри них и со степенями свободы в виде производных в узлах и в центре треугольников (тип элемента показан на рис.
9.2(е)) приводит, однако, к появлению дополнительных 10 степеней свободы. Различие объясняется тем, что в точке 1:Т в элементах со степенями свободы в виде производных степени свободы взаимосвязаны. 9. Ппосно-напряженное состояниЕ Увеличение ширины ленты в ленточной матрице приводит к возрастанию стоимости решения уравнений при проведении расчетов. Другое преимущество элементов со степенями свободы в виде производных заключается в том, что производные, используемые как степени свободы, непосредственно пропорциональны деформа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
