Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 49
Текст из файла (страница 49)
8.18(Ь) для точки ЗЛ. Внутренние моды и редукция к простым формам 257 1, билинейная функция дает ненулевые смещения в точках 2 и 4. Задать нулевые смешения в этих точках можно, вычитая из данной функции 1/2 функции формы Фа(см. рис. 8.18(с)) и 1/2функции формы )ут [Согласно предыдущим рассуждениям, )т',=т~,(! — $) (1 — т)а) ). Следовательно, гтг'='г (1 — й) (1 — т)) †'! (1 †) (1 — т)) — т) (1 — э) (1 — т)'). Можно показать, что полиномиальные коэффициенты, входящие в рассмотренные функции, лежат в отмеченных на рис.
8.18(с) областях, т. е. они отвечают квадратичным функциям, соответству- )ча = т (1 4 ) (а) 1 2 3 <ь) (с) Рне. 8.18. Непосредственное построение поля перемещений для восьмиуэлового прямоугольного элемента. юшим разложениям вдоль сторон, умноженным на линейные функции в перпендикулярном направлении, С помощью изложенной методики схема легко распространяется на построение выражений любого порядка вдоль сторон элемента для двух. и трехмерного случаев.
9 тя ябтт 25а а. Прадстааление функций поаедения элемента и его геометрии 8.8. Иэопараметричесное представление (8.т т] Изопарпметрические элел!гиты — это элементы, в которых функции, используемые для представления поведения прн деформнровании, используются также и для описания геометрических характеристик элемента. Построение изопараметрического элемента представляет собой «преобразование» безразмерного прямоугольного элемента с заданным числом узлов в реальный криволинейный элемент с тем же числом узлов. Так, если функции, задающие поле перемещений в формулировке, основанной на принципе минимума потен- (1, 1) (с) (Ь) Рис. 6.19.
Иэопараметрнческне элементы. циальной энергии, суть кубические полиномы, стороны элемента описываются теми же кубическими функциями. Если межэлементно совместные поля перемещений выбираются для описания геометрических характеристик элемента, то в объединенной аналитической модели деформированный элемент состыковывается с любым подобным ему соседним элементом без разрывов геометрических характеристик.
В двумерном анализе простейшим четырехсторонним изопараметрическим элементом является изображенный на рис, 8.19(а) элемент, в котором для обобщения прямоугольника на случай произвольного четырехугольника используется линейное поле. Лучшее задание криволинейных сторон достигается для элементов более высокого порядка, например изображенных на рис. 8.19(Ь) и (с), 259 з.а, Ивопврвмвтривесков предстввпеммв (а.11] где квадратичные и кубические функции, используемые для представления перемещений, применяются также для задания границ. Представляют, кроме того, практический интерес изображенные на рис.
8.19(д) и (е) элемеьипы смешанного типа с различным числом узлов на каждой стороне и при наличии или отсутствии внутренних узлов. Несущественно, что те же самые функциональные представления для перемещений используются и для задания геометрических характеристик элемента. Если порядок функций, представляющих геометрические характеристики, ниже порядка функциональных представлений для перемещений, то рассматриваемые элементы называются субпараметричеснимй! если же порядок функций, задающих геометрикц выше, то элементы называются суперпараметрическими. Изопараметрические, суб- и суперпараметрические конечно-элементные представления являются, пожалуй, наиболее важными при анализе трехмерных упругих тел Соответствующие вопросы рассматриваются в гл.
1О. Трехмерный анализ обычно требует чрезвычайно большой памяти ЭВтЧ. Если конструкция имеет криволинейную поверхность, то при регулярном конечно-элементном представлении обычно требуется большое число элементов для воспроизведения гсометрических характеристик конструкции без существенного улучшения в представлениях полей напряжений или перемещений. Поэтому представление с помощью изопараметрнческих элементов уменьшает затраты на описание геометрии.
Для описания операций, выполняемых прн построении изопараметрических элементов, достаточно рассмотреть двумерный случай. На первом шаге требуется задать систему безразмерных координат Д, Ч) с началом в центре элемеппа )~и операции рассмотрены в равд. 8.7 для плоского прямоугольного элемента. Заметим еще раз, что для любого прямоугольника с= — (х — х,)/(х,— х,) и 9=(у — у„)/(у,— у,), где х, и у,— координаты центра прямоугольника, а х, и у,— координаты нижней левой угловой точки. Вспомним также, что безразмерные координаты четырех угловых точек всегда равны +! или — 1 (см. рис. 8.19(а)). На втором шаге необходимо выразить функции формы ( Х ) = ~ Ут . У,... !Ч„) в терминах безразмерных координат.
При билинейной интерполяции, например, имеем (для узлов, определенных на рис. 8.19(а)) ~ ь( 3 = (т $ (1 х)(1 8) (1+евП1 т!) (1+хо) (1+т!) (1 ев)(1+т!) $ ° Определим функции формы, которые в силу сказанного записываются в виде ( й(($, Ч)), и зададим координаты хи у элемента в виде х=~ в(Д,т!)~(х), у=~ (ч(я,т!) !(у), (8.33) 9в 2ао а. Предстввление функций ловедения клементе и его геометрии где (х) и (у ) включают координаты х и у узловых точек элемента, т. е. (х)= ( х,...х,...х ) т, (у)= ( ут...ут...у„~ т. (8.34) д!Ч т дх д/У; ду дат д$ д$ дх д$ ду дМ; дх дМ; ду дЛ/~ дп ди дх дп дд (8.36) Используя (8.33), определим дх/д$=( дМ/д$ ) (х) и аналогичным образом дх/дт! и т.
д. Поэтому (8.36) можно записать в виде дМ; ду; дМ; с т дУ; (8.37) где Г Л1 и„,ьц дч ткл (8,38) Как принято в матричной алгебре, матрица первых производных, т. е. (2х2)-матрица (3), называется матрицей Якоби. Для иллюстративного случая билинейного элемента (см.
рис. 8.19(а)) имеем — д,-) =4 ( — (1 — ) ( — ц) (1+Ч) — (1+9)1. !. ~= дМ! ! (дч! 4 Поэтому верхний левый элемент в (х! равен ,/„='/,!(1 — т)) (х,— хт)+(!+т!) (х,— х,)). Аналогично находятся выражения для чтя, /м и l„. Таким образом, х=хь у=у, в точке /, Соответственно имеем и=) Х(5, т!) ) (ц), о=( й)($, т!)~ (у), (8.35) где (ц )= ~ и, и, и, и, ) т, (у )= ~ о, о, о, о, ) т. Чтобы построить матрицу жесткости элемента, необходимо най.
ти деформации, которые в свою очередь являются производными по х и у от перемещений. Однако теперь перемещения являются функциями от координат ", и т!. Следовательно, необходимо найти связь между производными пох и у и производными по $ и т!. Это можно осуществить, применяя правилодифференцирования сложных функций.
Получим 26] а.а. Иеепереметричесиее предстеепеиие [а.!! ] Левая часть соотношения (8.37) задана, а вектор в правой части следует найти. Поэтому для получения требуемой информации, необходимо обратить 0!. Может случиться, что проектировшик задает систему реальных узлов (т.
е. координаты узлов х;, хт и т. д.), которая недопустима, т. е. возникает ситуация, когда матрица [.]] вырождена. Операция обращения матрицы 01 чувствительна к определенным отклонениям от основной прямоугольной формы и, кроме того, к местоположению узлов на сторонах элемента [8.]3!. Для биквадратных элементов, например, лучше всего располагать узлы в средней точке между соседними узлами, лежащими в вершинах. Теперь можно изучить вопросы использования изопараметрических элементов при построении матрицы жесткости элемента. Соотно]пения между деформациями и перемещениями имеют обычный вид а=[0] (Л)„где деформации е относятся к декартовой системе координат (х, у). Поэтому [01 содержит производные функций формы по декартовым координатам.
Для плоского состояния имеем, согласно (5.22), (8.39) Поэтому для определения ]О] необходимо использовать преобразование (8.37). Соотношения между напряжениями и деформациями имеют вид о=[Е1е, а элементарная площадь йх йу при интегрировании заменяется на йх йу=]3! й$йт], где ].[] — детерминант матрицы [31.
Кроме того, интегрирование выполняется в пределах от — ] до +]. Теперь можно записать обычную формулу для матрицы жесткости элемента (6.]2а), выбирая в направлении г единичную толщину: Р 4.1 Е! ]4] ] ]]П]]Е]]П]44]=[ ! ! ]Е]']Е]]П]4 (]! ]4]44~. (! 4!) ~л 3 -! -! Очевидно, что выражение для [31 является весьма сложным даже в простейшем случае билинейного элемента.
Поэтому задание явных выражений для [к] невозможно, и коэффициенты матрицы должны определяться путем численного интегрирования [8.]21. В связи с вопросами выбора функций формы для изопараметрического представления интересно отметить, что, если моды движе- 8. Представление функций наведения элемента и его геометрии иг Х А1, + пя 2, 'Аг,х, + па Х Аг,У, = аг + Я, т+ !хаУ г=! или к ~ А[,у!=у. ~ Аг, = 1, Х А[,х, = х, ги 1 Первое из приведенных условий выполняется в силу основных свойств функций формы, а второе и третье условия — вследствие (8.33). Идеи изопараметрического представления переносятся естественно и на трехмерный случай.
Здесь не приводится детального изложения этих вопросов, так как обобшение матриц [Л) и [х)) на трехмерный случай является очевидным Так же непосредственно проводится обобшение иа представление в треугольных и теграэдральных координатах, причем в этом случае необходимо предварительно выразить одну нз координат Л.г в терминах остальных координат. Для треугольных координат необходимо сначала использовать (8.20), а для тетраэдральных координат — соотношения (8.28). Литература В 1 ЛоппкопМ., МсЬау К, Сопуегбепсео1 йе Г1п!1е Е1егпеп1Мейоб !и 1Ье ТЬеогу о1 Е[аа!ге~!у.— Л Арр[ Месь, 90, Липе 1968, и 274 — 289 [Имеется перевод, Прикл декан — М Мир, 1968, № б ) 8.2.
Топя Р, Р~яп Т ТпеСоптегаепсе о1 Г1п1!е Е!е~пеп! 51ейоб 1п Во1юпб 1.шеаг Е!акт~с Ргоыегп — 1п1 Л 5оиба апб 5!гнс1пгса 1967, 3. р 865 — 879. В.З. Нма1ег йг, 51г|кип Л К19№ Еобу Р!вр1асегпепы о[Снгуеб Е1егпепй ш йе Апа!уыв о1 5Ьена Ьу йе Ма!ох-Р!ар!асегпеп! Мейой — А1АА Л, Апб. !967, 5, !4о В, р 1525 — !527 [Имеется переносн Ракетная техн и космон — М.; Мир, 1967, № 8.[ 8.4. Мпгга» К. Н Сопппеп1а оп йе Сопуегбепсе о! Г1п11е Е[егпен! Во[ппопа— А1АА Л, 1970, В, Ыо. 4, р В!5 — 816 [Имеется перевод. Ракетная техн и космон — Мс Мир, 1970, № 4.[ 8.5.
Рпппе Р. Согпр1е1е Ро!упоппа! Рмр[асетеп1 Г!ейа !ог Рш~1е Е!ептеп1 Мейог1 — Аего. Л., Маг 1968, 72, р. 246 — 247 иия тела как твердого целого и условия постоянства деформаций включались в исходную (для прямоугольника) функцию поведения, то они сохранятся и после преобразования. В случае плоской задачи перемешение, соответствуюшее движению тела как твердого целого, и условия постоянства деформаций можно записать в обшем виде' А=тат+а,х+иау. Для прямоугольника имеем Л= [ Ы ($, г!) ) [А)=аг+а у+агап (8.42) В каждом узле требуется, чтобы А,=сх,+и,х,+аауг, и после подстановки в (8.42) для и степеней свободы получим 263 Задачи 8.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
