Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 53

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 53)

9.8(а) стержневого элелэента, нагруженного равномерно распределенной нагрузкой интенсивности г). Конструкция разбива- оА де О 2 22 (с) ~1-2 ~2-1 2-3 ГЭ-2 2 2 3 (Ь) (сО Рнс. 9.8. Подсчет напряжений в равномерно нагруженных стержневых элементах конс1 рукава. (а) Рассматриваемый элемент конструкции; (Ь) аналнтнческое представление; (с) распределение напряжений; (й) отдельные элементы. ется нз два элемента согласно рис.

9.8(Ь). Для каждого элемента задается энергетически эквивалентная нагрузка (гл)=дь/2 ( 1 1 ~ г. Уравнение жесткости для всей конструкции имеет вид Ф ) АЕ 2 — 1 Ия решая которое получим иэ АЕ 1 2 ф./2 узо 9. Плоско-напряженное состояние так что и,='Уя (дЕЯ(АЕ), и, =2дЕЯУАЕ.

МатРица жесткости длЯ стеРжневого элемейта представляет собой матрицу-строку (Е(Е) ( — ! ! ), и можно предположить, что в каждом элементе напряжение постоянно, т. е. ог,='У,дЕУА, о, з=дЕ!А. На рис. 9.8(с) данное напряженное состояние изображено штриховыми линиями. Точное распределение, полученное в результате решения задачи, показано сплошной линией. Чтобы предложить совершенно иной подход к расчету напряжений, рассмотрим основные уравнения, связывающие силы и перемещения для элемента.

Для элемента 2 — 3 имеем поэтому Е,,= — г)Е (знак минус соответствует растяжению, см. 9.8(б)), а Е, я=О. Аналогично для элемента 1 — 2 находим, что Е, г=пЕ и Ет,= — 2 дЕ (снова знак лгинус означает растяжение на левом конце). Разделив эти силы на площадь поперечного сечения А, получим точное распределение напряжений е', изображенное на рис.

9.8(с). Таким образом, правильные напряжения получаются, если вначале находятся силы в узлах, которые затем преобразуются в напряжения. Выражения для узловых сил могут включать ие только распределенные нагрузки, но также силы инерции (гп) (А), как в (б. (6), или другие виды распределенных воздействий.

Заметим, что узловые силы локально (в узлах) преобразовываются в напряжения. Для стержневого элемента, когда существует взаимно однозначное соответствие между компонентами сил в узлах и искомыми компонентами напряжений, это — непосредственно выполняемая операция. Однако для плоского напряженного состояния существуют гпри компоненты напряжений и только две компоненты силы в каждом узле.

Указанное рассогласование присуще большинству многомерных напряженных состояний. Поэтому при подсчете напряжений обычно пренебрегают «поправкой», вносимой членом (гл), и вновь используютформулу а=(8) (А), Возникающая при этом ошибка отражена на рис. 9.8(с) заштрихованными областями, откуда видно, что величина ошибки становится малой, если использовать, как это часто бывает на практике, большое число элементов. "1 Интересно отметить, что точные значения напряжений получаются в уэ. лах соединений для любьж распределений прикладываемых нагрузок, если применнются энергетически эквивалентные силы, вычисленные на основе функций формы, которые представляют точное решение соответствующих однородных (с нулевыми силами) определяющих дифференциальных уравнений.

Это происходит потому, что зсе соответствующие условия (равновесия, совместности) в этих точках при энергетически эквивалентных нагрузках выполняются точно (см. (9.11)!. 9.2. Треугольные плоено-напряженные элементы 281 Процедура, основанная на начальном вычислении узловых сил, позволяет соответствующим образом интерпретировать процедуру, базирующуюся на использовании матрицы жесткости. В формуле (6.16а) (что и учитывалось выше) член 1)«1 (А) соответствует члену 161(А) в (5.7Ь), поэтому можно определить (Г«) как соответствующее выражению 1Е1е'лн в (5.7Ь).

Однако [Е]е'лн можно рассматривать как «начальные напряжения» и'"", которые в данном случае представляют собой напряжения, обусловленные энергетически эквивалентной нагрузкой. При этом следует учесть, что все же остаются трудности при построении указанного преобразования для многомерных напряженных состояний. Ранее было показано, что при определенных условиях (например, для стержневого элемента при приложении распределенной нагрузки) можно подсчитать непрерывное точное распределение напряжений, однако практические соображения могут побудить к определению приближенных «гистограммных» форм распределений напряжений, когда напряжения терпят разрывы при переходе от элемента к элементу.

В других случаях (как, например, для треугольных элементов с постоянным значением деформации при приложении к конструкции сосредоточеияых сил) численное решение приводит в основном к разрывным распределениям напряжений во всей конструкции. Следовательно, для целей проектирования имеется необходимость в схеме, которая приводила бы к непрерывному представлению поля напряжений. Рациональным образом это можно сделать с помощью введения понятия сопряженных напряжений 19.121. Реализация этой идеи предполагает использование техники сглаживания, которая обеспечивает непрерывность представлений полей напряжений для согласованных конечно-элементных моделей. Если для поля перемещений А=(й(1(А) функции формы ( (ч 1 приводят к согласованному представлению, то простейшей и наиболее естественной согласованной аппроксимацией напряжений может служить соотношение о'=11'(1(о), где о' — согласованное поле напряжений, а (о) включает значения напряжений в заданных точках. Будем называть это представление совместимым с перемегцениями.

Конечно, можно выбрать согласованное представление напряжений, которое не является совместимым с перемещениями, однако для этого требуются дополнительные рассмотрения, не использующие результаты проведенных вычислений. «Стандартный» расчет сопряженных напряжений основан на том, что напряжения согласованы и совместимы с перемещениями.

Заметим, что а' может включать три компоненты в случае плоского напряженного состояния (о„о», т„„), поэтому 1(»(1 — прямоугольная матрица. Согласно теории для аппроксимации сопряженных напряжений, необходимо образовать два типа матриц для элементов. Пер- 9. Ппосно-непряженное соссоянне вая матрица представляет собой квадратную матрицу с ~~яГр~а~ ц]. яо! столбцы которой соответствуют элементам в (о~. Эту матрицу легко определить, рассматривая виртуальную работу сил, соответствующих сопряженным напряжениям о', на виртуальных перемещениях.

Вторая матрица — это вектор-строка, задаваемая выражением | ~ р~а~ ц]. се! где о — несогласованное поле напряжений, записанное здесь в виде строки. Эту матрицу также можно получить, рассматривая виртуальную работу сил, отвечающих несогласованному полю напряжений о и совместимых перемещений. Полученные выражения для матриц элемента объединяют в соотнощение, представляющее всю конструкцию, путем суммирования, идентичного с используемым в прямом методе жесткости. Сохраняя для глобального представления то же самое обозначение, что и для элементного, можно выписать вектор сопряженных напряжений в виде ц ~ — (~ цала~ н)~(~~я~ ~я~аац] ', ~. яа1 з Ьо! Можно считать, что выписанное выражение получается в результате приравнивания альтернативных выражений для виртуальной работы.

Чтобы проиллюстрировать данную идею, рассмотрим задачу, нзображенную иа рис. 9.8. В этом случае для каждого элемента й(чо!)=Айх и Поэтому для каждого элемента ~~~аз ця~д ц] ~~[я ']. Зах|етим, что эта матрица, за исключением постоянного множителя, совпадает с совместимой матрицей массы элемента. Объединим 9.2. Треугольные ллосно-нелряженные ееементы 2аз эти матрицы и получим представление для всей конструкции о,о,о, Кроме того, для каждого элемента, где постоянно напряжение о=ало имеем ( й! ~т/(ю1) = —" ( 1 1 (; чо! и опять, объединяя для всей конструкции с учетом, что а„- =я/,(г//./А) в элементе 1 — 2 и о„=я/я(ф./А) в элементе 2 — 3, получаем г/(/.Я/4)) 3 4 ! (. Поэтому, согласно подходу, основанному на введении сопряженных напряжеш1й, имеем — ~34! ~— = г/ л '(2 1 4 ) .

') ((а!] (о) — о)Я г/(чо1). чо! Из вышеизложенного вытекает несколько обобщений подхода, основанного на понятии сопряженных напряжений, два из которых приводятся ниже; 1. Можно использовать согласованные, но несовместные с перемещениями представления напряжений. Это, конечно, приведет к потере преимущества иметь в распоряжении ~ й! ( на основе уже рассчитапного поля перемещений.

Действительно, можно рассматривать описанный выше подход как «изосопряженное представление напряжений>. 2. Для построения вектор-строки можно использовать отличное от а напряжение. Если можно определить некоторое поле напряжений, которое лучше удовлетворяет локальным условиям равновесия, то, используя его, можно предположительно получить более подходяшие сопряженные напряжения. Это распределение совпадает с точным распределением напряжений на участке ! — 2 и отличается от точного решения на участке 2 — 3 в силу того, что о, оказалось равным д/./4А, а не нулю. Можно показать [9.!21, что вычисленные указанным выше способом напряжения минимизируют среднеквадратичное отклонение несовместных напряжений о от поля сопряженных напряжений о'. Иными словами, если (о) подсчитывается, как предложено выше, то следующий интеграл достигает своего минимального значения: гв~ 9.

Плоено-ненряжениое состояние Требования, возникающие при проектировании, часто таковы, что изложенный выше подход, в котором необходимо строить н обращать матрицу большой размерности, экономически невыгоден, и на практике больше опираются на непосредственную интерпретацию величин напряжений, полученных с помощью матриц напряжений для элемента. Формула о=[3] (Л), где [$1 — вообще говоря, функция пространственных координат, задает поле напряжений в терминах указанных координат. Однако для расчетов необходимо иметь формулу вида (о)=[51 (А), где (о) опять определяет напряжения в заданных точках. Главной задачей для исследователя является такое задание этих точек, которое удовлетворяло бы целям проектирования.

Характеристики

Список файлов книги