Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 57
Текст из файла (страница 57)
б 8 9.3. Проверьте правильность выражения для коэффициента дп матрицы жесткости прямоугольного элемента (см рис. 9.15) (Ью в зависимости от и,). 9.4. Постройте матрицу жесткости для кольцевого элемента, изображенного на рис Р9.4. Так как выполнены условия осевой симметрии, то ег=диlг(г, яе =и(г. Выберите в качестве функции перемещений функцию и=(! — (гlгя-г)[иг+ Ч-(г(гв г)ггя, тле г,; — г,— г,. 9.5. Обсудите формулировку гибридного прямоугольного элемента на основе потенциальной энергии, используя для описания усилий на краях элемента функцию напряжений. 9. Ппоско-напряженное состояние Рис. Р9.4.
9.8. Вычислите энергетически эквивалентные нагрузки для квадратичного закона распределения напряжений и сетки конечных элементов, указанной на рис. 9.10. Предположите, что в треугольных элементах деформации постоянны, а не меняются по линеиному закону. 9.7. Постройте вектор начальных снл для треугольного элемента с линейно меняющейся деформацией в случае линейно меняющейся температуры в свободном от напряжения теле, т. е. Г=МгГг+ИеГэ+МэГа, где М, и т. д.— функции формы линейного поля, а Г,, Гэ и Га — температуры в вершинах элемента. 9.8. Придумайте подходящее поле перемещений для построения матрицы жесткости секторного элемента, изображенного на рис.
Р9.8 и постройте матрицу перехода от узловых смещений к деформациям (()!. ( 7йлитаащ ~ узловые «алм) х Рис. Р9.8. 9,9. (Численная задача.) Проведите конечно-элементный анализ квадратной пластины, изображенной на рис. Р9.9 (та же задача, что и на рис, 9.10), самостоя- 4Д мне (1 - — ) ух аабдду Рнс Р9.9. зоз Задачи тельно выбирая тип элемента и сетки. Для сравнения решений как для перемещений, так и для напряжений см. работу: Соттрег О.
К., (йпбйегй О.М., 01- зоп М, )). А 5па!!огч Я1е1! Рйпйе Е!егоеп( о( Тг(анди!эг 5)гере.— 1п!. 1. 5о(!бз апб 5!гис!игез, !970, й, р. 1133 — П36. Замечание. Необходимо строить сетку лишь в заштрихованном квадранте. Заметим, что и и о разны нулю з точке )З, перемещения о равны нулю вдоль оси х, а и — вдоль оси у; Е=)от фунт/дюйме, и=О.З, /=1. 9.10. (Численная задача.) Проведите коиечно-элементный анализ изображенной на рис.
Р9.!О консольной балки прямоугольного сечения единичной толщины (та же задача, что и на рис. 9.!1), самостоятельно выбирая тип элементов и сетку. Нагрузка Р распределена по параболическому закону в виде касательных напряжений, приложенных к прямоугольному поперечному сечению; т э=(2Р/9Е)(!в — 36уз/ьг); Е=10' фунт/дюйм', 9=0.2, 1=1. Рис.
Р9.10 (сетка ЗХ9 изображена лишь в иллюстративных целях). 10 ТРЕХМЕРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ: ОБЩИЙ СЛУЧАЙ Сплошные, или трехмерные, элементы позволяют получить решение задач общей трехмерной теории упругости. Указанным задачам ранее уделялось относительно мало внимания при проектировании из-за трудности использования традиционных подходов к решению. Поэтому в этой области, за исключением простейших случаев, конечно-элементный анализ стал фактически неоспоримым средством отыскания решения. Имеются в виду такие задачи, как расчет массивных бетонных конструкций плотин, расчет напряжений в породах, решение задач механики для грунтов и скальных пород, возникающих при буровых работах, численное определение напряжений ва флаицах и соединениях толстостенных труб. Основные сплошные элементы представляют собой непосредственное обобщение на трехмерный случай плоских элементов. Изображенный на рис.
10,1(а) тетраэдральный элемент есть обобщение треугольного элемента на трехмерный случай, а шестигранный элемент (рис. 10.1 (Ь)) — трехмерный аналог плоского прямоугольного элемента. Хотя построены различные специальные и альтернативные виды трехмерных элементов (например, пятиграикый или клинообразный элемент), на практике чаще используют тетраэдральный и шестигранный элементы.
В этой главе рассматриваются только эти основные элементы. Из-за «проклятия размерностиа конечно-элементное представление для сплошного тела требует введения исключительно большого числа степеней свободы (рис. 10.2). Из рисунка видно, что если для получения решения заданной точности в одномерном случае требуется 10 степеней свободы, то в трехмерном случае — 3000. Поэтому решающими для использования метода в трехмерном случае являются вопросы экономичности. Необходимо добиться наибольшей эффективности выполнения (1) операций ввода и вывода данных, (2) процедур решения систем уравнений большой размерности, Введение 305 (3) представления реальной конструкции ее конечно-элементной моделью.
Вопросы (!) и (2) лежат вне круга вопросов данной книги, читателю рекомендуется обратиться к литературе, цитируемой в конце данной главы. Требования (3) обусловливают применение очень сложных процедур представления геометрических характеристик. Поэтому концепция изопарамстпрического представления геометрии Рис. 1О.1. Сплошные элементы: (а) элемент в виде правильного тетраэдра и оси координат; (Ь) элемент в виде правильного шестигранника и оси координат. элемента, т. е.
использование функций формы для описания границ элемента, приобретает особое значение для трехмерных элементов. Эти концепции развивались в равд. 8.8 и обсуждаются далее. Существующие формулировки трехмерных элементов почти всецело основываются на предполагаемых полях перемещений и принципе минимума потенциальной энергии. Формулировкам на базе дополнительной энергии и смешанным формулировкам еще предстоит продемонстрировать свои преимущества для задач данного класса, Так, в задачах трехмерной упругости, если функционал дополнительной энергии выражен в терминах функции напряжений, то нужно преодолеть трудности, обусловленные операциями с функциями, которые непрерывны вместе с частью своих производ.
ных при переходе через границу элемента. Поэтому в данной главе рассматриваются лишь формулировки, основанные на предполагаемых перемещениях. 1О. Трехмерные зпемент»п общий случай (а) у,» х,и (с) Рис, 10.2. Рост числа степеней свободы с увеличением размерности задачи, (а) Одномерный случай (!О степеней свободы); (Ь) двумерный случай (200 степенен свободы); (с) трехмерный случай (3000 степеней свободы). 10 1.
Основные сООтношения 10Л.1. Уравнении теории упругости Основные соотношения для трехмерных элементов даются линейной теорией упругости. Рассматривая равновесие бесконечно малого элемента, имеем (для простоты объемные силы исключены) дп„отхр дт.» — "+ — + — "' =О, дх др дг дпр дтрх дтрх — + — + — =О, др дх др 10.1. Основные соотно!ненни Линейные соотношения между деформациями и перемещениями за- писываются в виде ди е =— дх ' ди е = —, Ф ды е дг ' (10.2) На практике может оказаться необходимым применять уравнения состояния с 21 упругой константой. Тем не менее в основном внимание в данной главе уделяется вопросам построения уравнений жесткости для элемента и рассмотрение ограничавается случаем нзотропного материала, для которого о„ Х Е (1+ н) (! 2н) о, о о — н) о 0 (1 — 2Н) 2 е е„ е, 0 0 (! — 2н) 0 0 0 0 (! — 2н) 2 О О О О О или о=(Е) е, (10.3) 10.1.2.
потенцнвявнея вневтня Энергия деформации, входящая в выражение для потенциальной энергии, имеет вид () =-2 ~ а[Е1е((чо1) — ~з[Е1в'и" ((то1)+С(в"и), (10.4) ча! чо! где е определяется согласно (10.3) и при учете температурного расширения и'"и=[аТаХаТООО )т, (10.5) (1 — н) н И 0 и (1 — н) н (1 ди ди Ухт ду +дх1 ди дти у = — +— вт дт ду' й!в ди у = +— дх дв' 1О. Т ехмарные элементы: общий случай где а — коэффициент температурного расширения, Т вЂ” приращение температуры, отсчитываемое от температуры, при которой в теле отсутствуют напряжения. Как и в гл. 9, удобно записать некоторые поля перемещений в элементе в терминах узловых перемещений (Л).
В этих случаях преобразование от узловых перемещений к деформациям можно записать в аиде (см. (5.6с)) в=(0) (Ц. ((0.6) Энергия деформации равна (см. равд. 6А) 2 (к)(о) 1- з ! (Р"' )+С(в'"и) (10,7) где М !)~оу~о1!о~ ( о| ! то! (тн")=~ ! (Рт ~э~( '""(т~ О). ) ро! (!0.8) ()0,9) В других рассматриваемых в этой главе случаях выражать поля перемещений через узловые перемещения неудобно и требуется использовать обобщенные параметры перемещений (а).
Тогда, согласно (5.6а), преобразование обобщенных параметров перемещений (а) к деформациям можно записать в виде е=(С! (а), а из (5.4а) получим преобразование узловых перемещений к обобщенным перемещениям: (а)=(В) ' (Л). Поэтому матрица жесткости дается выражением ец-того' !! ~сг щит( о1 ~эг . (308 ) 1 то! 40.2. Построения тетраэдральных элементов 10.2Л. Общие замечания В равд. 8.6 показано, что понятия тетраэдральных координат (Г.„ / „ /.э Ет) и «тетраэдра Паскаля», естественно, приводят к определению семейства тетраэдральных элементов первого и более высокого порядков. Такие элементы характеризуются компонентами трансляционных перемещений (и, о, тп) в каждом узле. Как показывает рассмотрение плоских треугольных элементов, в качестве степеней свободы можно выбрать не только компоненты траисляционных перемещений, но и значения их производных (ди/дх, ди/ду и т, д.) в узлах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
