Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Поэтому для элементов первого и второго порядков не существует альтернативных элементов из-за недостаточного числа степеней свободы, однако альтернативные элементы можно 10.2. Построения тетразлральных элементов построить в случае тетраэдральных элементов, основанных на кубических функциях (рис.
!0.3). Полный кубический полипом содержит 20 членов, поэтому элемент, который характеризуется только трансляционными перемещениями, может иметь, как показано на рис. 10.3(а), 20 узловых точек. В этих узлах задается 60 степеней свободы, используемых Степени Только трпнслннопннпе смеотпное достаем оо 20 солод сдоопдьь д дертпне ( а и и,и„,и, и и,и ) Степенп сдодпдьь длн пенно, петпеьео но передойка грпнн (Ь) и Рис. 10.3. Возможные типы тетраэдральных элементов, основанных на полях пе.
реммнени» в виде полных кубических полнномов. для описания перемещений и, о и со. Если необходимо сохранить полноту полиномиальных функций, применяемых для построения элемента с участием степеней свободы в виде производных от перемещений, то такой элемент должен также содержать 60 степеней свободы. Способ задания указанных степеней свободы изображен на рис. 10.3(Ь). Каждой из четырех вершин соответствует по три компоненты трансляционного перемещения и для каждой компоненты перемещения — по три частные производные, всего 12величин на узел.
Так, например, для компоненты и имеем дх 11' '''' дк 4' ду ~д ' '' до !к' да~1' ' ' '' дг 1ь (1О.! О) и аналогично для о и со. Это приводит к появлению 48 степеней свободы. Дополнительные 12 степеней свободы можно задать в виде трансляционных перемещений центров каждой из четырех граней (см. рис. 10.3(Ь)). Однако иметь узль> в центрах граней неудобно. Поэтому предпринимались попытки для построения элемента со степенями свободы только в вершинах, т. е. с 48 степенями свободы. Приводимое ниже обсуждение достоинств, присущих альтернативным формулировкам для тетраэдрального элемента, дает понять, почему элементу с 48 степенями свободы уделяется такое внимание, Были проведены обширные исследования по оценке вычислительной эффективности использования различных видов тетраэдральных элементов 110.1 — 10.3!.
В табл. 10.1, взятой из П0.3), указы- 1О. Трехмерные эпвмвнты; общий случай Табдица 10.1. Тетраэдральные конечные элементы «оч о о. о "Д л о и та й й,о и о В в савве Число Степеиеа свосодм, пралодящиасн Число узлов Оаоанечение Пуедставле- нне Ванечанни иа на увел еле- иеит 4 3 12 Поля перемещений в анде полного линейного полинома (постоянная деформация); подробнее см. [10. 3 — 10. 6] и [10.19] Поля перемещений в виде полного квадратичного полинома (линейная деформация); подробнее см. [!ОА] Поля перемещений в виде полного кубического полннома; подробнее см. [10.6) Поля перемещений в виде полного кубического полинома; подробнее см. [10.6]; !2 степеней свободы в вершинах и вдоль ребер (и, о, ш, "л.
° ", ша) и 3 степени свободы на серединах граней !и, и, ш) Трансляциоиные перемещения в качестве степеней свободы; поля перемещений в виде ие. полных кубических полиномов; подробнее см. [!0,2] и ]10.6] Перемещения и производные от перемещений в качестве степеней свободы; поля перемещений в виде неполных кубических палиномов; подробнее см, [10.!— 10.3] 10 3 30 4.2 13.8 20 3 60 8 60 16 3 48 4 12 48 10.2, Построения тетрвэдрвльнмя элементов вается среднее число степеней свободы, приходящихся на один элемент, для системы с бесконечным числом элементов; кроме того, это число равняется средней полуширине ленты в соответствующих глобальных матрицах жесткости.
Если используются эффективные методы решения алгебраических уравнений, то цена вычислений пропорциональна приблизительно корню квадратному из полуширины ленты. Кроме того, при оценке относительной эффективности необходимо учесть и другие факторы. Так, сказанное выше подра. зумевает, что для задания глобальной конфигурации требуется фиксированное число элементов, но следует, конечно, учитывать, что с ростом порядка элемента увеличивается и точность решения.
Из тетраэдральных элементов, представленных в табл. 10.1, наибольшими преимуществами обладает элемент Т48. Средняя полу- ширина ленты матрицы, отвечающая этому элементу, невелика изза наличия степеней свободы в виде производных от перемещений. Это свойство обсуждалось в равд. 9.2 для плоских элементов со степенями свободы в виде производных от перемещений. Следует в то же время отметить, что в случае неоднородности материала, когда теоретически нельзя допустить постоянство деформаций, возникают проблемы, связанные с применением степеней свободы в виде производных от перемещений. Если имеет место относительно слабое изменение свойств от точки к точке (например, при наличии градиента температур для материала, свойства которого зависят от температуры), требование к непрерывности деформаций (производных от перемещений) оказывается не столь существенным.
Если же существует значительная степень неоднородности материала, условие непрерывности деформаций неприелтлемо. В этом случае можно связывать лишь степени свободы в виде трансляционных перемещений. Кроме того, следует учитывать факторы, обусловленные представлением геометрических характеристик конструкции и особенно криволинейных границ. Конечно, можно использовать один тип представления для задания полей перемещений и другой — для описания криволинейных границ элемента. Остальные используемые при этом функции могут также различаться.
Тем не менее оказывается, что наиболее удобно использовать одни н те же виды аппроксимаций для геометрических характеристик и полей перемещений. Учитывая сказанное, ограничимся ниже построением тетраэдральных элементов лишь с линейным полем перемещений и элементов Т48. Первые являются базовыми для всего семейства тетраэдральных элементов; элементы более высокого порядка (с квадратичными и кубичными полями перемещений) из этого класса легко формулируются как обобщение этих элементов. Введенные в равд, 8 4 тетраэдральные координаты позволяют построить функции формы для представления любого порядка и приводят к алгебраичес- 3!2 1О.
Трехмерные елементин общий случай ким выражениям для интегралов от этих функций по объему элемента. (Явные формулировки для квадратичных элементов можно найти в (10.4! и 110.61, а для элементов с кубическим полем перемещений в (10.6!.) Элементам Т48 уделяется внимание из-за их эффективности при решении прикладных задач и из-за того, что на их примере демонстрируются операции, которые нужно выполнить, если перемещения записываются в терминах обобщенных координат, а не в виде функций формы.
10.2.2. Элемент с линейным полам перемещений !10.191 Линейные поля перемещений (н, ч, тч) можно записать в тетраэдральных координатах ( Е ! = ( ь, т', ьт ь4 ) (см. разд. 8.6) в виде и=~(.~(н), О=~1.~(ч), ш=( Е ~(тч), (1О.П) где н=! ит ит ит и,~, (10. 12) и аналогично для (ч ) и (тч ). Замечая, что, согласно (8.29), 1 1., — 1('чО) ) + с,,х+ст.У+се.г], где (чо!), с,, с,, и с,, выражаются в разд. 8.6 в терминах узловых координат х„..., гь Применяя соотношения (10.2) между деформациями и перемещениями к уравнениям (10.11), приходим к следующей форме уравнения (10.6): )с,! )О! )О! )О! (с,! ~0~ ( 0) ~0~ ~с,~ (с,~ (с, ) (0) ! 0 ! ! с, ! ! с, ! ) ст ) ! О ~ ~ ст ) (н! (ч! =!01(Л), (10.13) (тч! 1 6 (чо1) усу где ! ст ) = ~сц с, с, с, ~, и аналогичные пРедставлениЯ спРаведливы для ~с,~ и ~се~", матрица( О), имеющая размерность 12(4,— нулевая матрица-строка.
Линейное поле перемещений обусловливает постоянство деформаций внутри элемента. Поэтому такой элемент часто называют тетраэдральным элементом с постоянной деформацией (СЗТЬэлемент). Если (Е! определено в соответствии с (10.3) и все элементы матрицы (О! постоянны, то из (10.8) получим выражение для матрицы жесткости тетраэдрального элемента в виде (к)=[О)т (Е) (О)(чо1), где объем элемента (чо!) подсчитывается, как указано в равд. 8.6.
На практике чрезвычайно трудно задать конфигурацию конечно-элементной модели только одним указанным элементом. Проб- з~з ! 0.2. Построенмя тетраэлральнмз элементов лема заключается в правильном объемном расположении тетраэдров без пустот и т. д. Поэтому вычислительные программы часто предусматривают непосредственное задание шестигранных элементов, которые автоматически составляются из фиксированного числа тетраэдров.
На рис. 10.4 изображен олин из таких «супер- элементов», включающий пять тетраэдров. Рис. 10.4. Шестигранник, составленный иа пяти тетраэлров. 40.2.З. Элементы выселив лорлднов 1ФВ.Ь) Простой способ построения элемента Т48 основан на разложении величин в ряд по тетраэдральным координатам в виде и = ~гаг + 1знз+ Езпз+ тзоз+ 111гпз+ ~з1 зоз+ 1 ° агат+ + (ЦЕ,,— ЕзЦ) ам+(1.',Е.„— г.,Ц) ам+1Е.',У, — !.,гз) агр 110.14) Поля перемещений о и гл определяются аналогичным образом, поэтому полный набор обобщенных параметров перемещения может быть пРедставлен как (а)=) аг...азз ) т. 10. зрелмериые алеменсьи общий случай Теперь порядок построения матрицы жесткости соответствует изложенному в предыдущих главах.
Выписанные поля перемещений днфференцируют согласно соотношениям между деформациями и перемещениями (10.2) н приходят к уравнениям вида е=(С! (а). Кроме того, в каждой из четырех вершин определяются функции перемещений и их первые производные. В результате получают 48 уравнений, записанных в виде (Л)=(В)(а), где (Л) содержит степени свободы, представленные в (10.10) для поля и и в аналогичных формулах для полей о и ш. Следовательно, матрица жесткости дается формулой (10.8а): [Ц ([В]-')т ~ ] [С]т[Е][С]с((уо1)1 [В] '. ьча! Очевидно, полученное выражение слишком сложно для задания явного представления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
