Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 62
Текст из файла (страница 62)
(! 1.10) Дифференцируя эти функции в соответствии с формулами (! 1.4), получим 010000 1!г 1 г/г 0 0 0 000001 0 0 ! 0 ! 0 = 1С)(а). (11.11) а, Подстановка последнего в (11.9) приводит к следующему выражению (для простоты начальные деформации исключены): Пл=т/т( а (!(га! (а)+(уэ, (1!.12) где символом уэ обозначен потенциал заданных сил, выраженных через параметры (а), а основная матрица жесткости определяется формулой !ь1-„„„...~1!с! !с1!с!.тл~, Ос~э! 11л.г. Осеснмметрнчный пальцевой элемент с треугольным поперечным сечением Осесимметричные сплошные элементы являются обобщением плоско-напряженных элементов и так же, как и в случае плоской деформации, здесь применимы многие построения из гл.
9. Поэтому ниже рассмотрим подробно соотношения лишь для изображенного иа рис. 11.3 простейшего треугольного осесимметричного элемента. Элемент расположен произвольным образом в плоскости г — г так, что ни одна из сторон его не направлена вдоль оси симметрии. зэ( !(д Осесимметричные теис гдематрица ~ ) (С!'(ЕГ (С! г((А имеет вид аз аз а, аз а, ав (1 — Р)т, ,' ,' (! )7 + () )7 ( КСиннетричгв) О ~ О ) (~ —,)г)т,, О, Я вЂ” и)гз, л2,,2лд ! )г)з .' О,' О, (1 —,и)7 ((1.14) Здесь )з = ~ ~ г((гг(г, )в= ~ ~ з( г(г, г', = Д вЂ” '*, 1, = Д вЂ” ' з(гс(г, 7, = ~ ~ И~в(а, (1 А — ! . 7) 1, = Ц вЂ” ((гз(г.
(11. !8 — 11.20) Величины 1„1, и Уз легко вычисляются. Имеем 1 (гз+ уз+уз) (чз (гз гт)+уз (гз гз)+чв (гз — гз)1 3 (чз (гз гз) + гз (гв — гз) + чз (гз — гз) ! 1, 2 (г, + г, + гв) !чз (г, — г,) + чв (гз — г,) + ч, (г, — гз)1 а (11, 15а) (11.15а) (11.1 7а) и )в = 0зз + 0зз + айвз ( где для (, 1 = !, 2, 3 + 22;г) (2.5г"; — Иг,г +2 5г';) -1- +г',(11г'; — 7г,г +2гвз)1-)- ! / Ог) — гчгг '(з + —.
~ г) !п —. В 0 — Гг ! Гч' (11. 22) Выражения для г'„1, и 1, содержат переменную г в знаменателе и результирующие выражения имеют более сложный вид: з (ччггч,— г(ч,гг) (11.18а) (гз г(ч О ччч з п —, (1! .19а) где для (', /=1, 2, 3 11.20а) ззг 11.
Сплошные»лементьп честные случаи Выписанные выражения относятся к обобщенным параметрам (а). Матрица жесткости, соответствуюгцая физическим координа- там, легко строится с помощью задания преобразования от обобщен- ных координат к физическим (11.10) и применения этого преобразо- вания к (йс!. Если узлы расположены на оси симметрии, то возникают особые случаи, так как члены с 1п (г,агу) и (г,— гу) в знаменателе принимают бесконечное значение. Используя правило Лопиталя, можно про- вести оценки. Для особого случая с г,=О, гп г»ФО имеем (1, ), й= 1, 2, 3) 1гу (гь — гг)+ га (гг — гу)! гу ),= 1п —, (гу — а) ге ) э = Нуа — ',~«1(г — г,) (Зг, + г, ! + (ге — г„) (Зг, + г»)(— — ! г,!п —, а (11.18Ь) (11.19Ь) (ау в гг) г« = бул — 1а (! 1г';.'+ бгггу+2г))— (гг — г»1 1 гу — (11г', + бггг„+ 2г'„) — — г*; 1п — . 1В4 ' " З (11.20Ь) Рнс.
11А. Граничный элемент длн сплошного цилиндра. строить такой элемент, можно использовать поля перемещений и= =агу+а,г и тот наг+а,г. Подробный вывод уравнений жесткости для данного элемента совпадает с изложенными выше операциями, Очевидно, что получение явных «точных» выражений для коэффициентов жесткости, соответствующих осеснмметрнчному тре. Заметим также, что и«=О приводит к уменьшению размерности матрицы жесткости. Если гт=гт —— 0 и г»ФО, то можно также показать (11.3), что члены, содержащие 1„1, и )„не входят в выражение для матрицы жесткости из-за выполнения равенства и,=иг=О. В некоторых приложениях полезно иметь «граничный» элемент для сплошного цилиндра, как показано на рнс.
11.4. Чтобы по- ззз 1! Л Осесимметричиые теле стел еегтгтетт тип (а) г= 0.5 г 1,О Ь О, ь О. Ц О. О. О ф -О. -0.8 т 1.0 Рис. ! !.5. Анализ толстостенного цилиндра, налодяпгегося под деаствием внутреннего давления. (а) Конечно-элементное представление; (Ь) вычисленные напряжения. угольному элементу, затруднительно.
Тем не менее выписанные выше соотношения приводились в различном виде, например, в [11.2 — 11.4). Формулы и сведенные в таблицы коэффициенты для основных членов элементов высших порядков представлены в [11.51 и И1.6). Простые приближенные формулировки для осесимметричного треугольника основаны на использовании «среднего» радиуса (напрнмер, значения в центре элемента), рассматриваемого в качестве константы интегрирования. Точность этой аппроксимации зависит от близости элемента к оси вращения. 11. Сплошные злемечтьн част ~е случал При сравнении с классическими решениями установлено, что треугольный кольцевой элемент обеспечивает высокую точность, и это свойство, по-видимому, сохраняется и при решении прикладных задач. На рнс. 11.5 изображено конечно-элементное представление для задачи расчета толстостенной трубы, находящейся под 40 10 0 8 12 !6 20 24 28 32 36 Уиспо уекой ооопо среопонноо" пайернносого Рис.
11.6. Анализ сегмента сферы с использованием треугольных кольцевых злементов 111.31. С любезного разрешения журнала А1АА Лонгпа1; ю — перемещение в точке с, 1в дюймах); нагрузка в центре равна 965 фунтов. действием внутреннего давления. Используется довольно грубая сетка элементов. Различие между точным и численным решениями практически отсутствует. Во второй задаче (рис. 11.6) анализируется сегмент жесткозакрепленной сферической оболочки при действии сосредоточенной силы в ее вершине 111.3!. Для сравнения приводится решение этой задачи с применением тонких оболочечных конечных элементов. Очевидно, что осесимметричный сплошной конечный элемент обеспечивает сходимость к решению, несколько отличающемуся от решения, полученного на базе тонких оболочечных конечных элементов.
Различие объясняется расхождением между моделью поведения толстых оболочек и упрощенным представлением, даваемым теорией тонких оболочек. 113. Произвольные нагрузки 335 11.3. Произвольные нагрузки Нагрузки, действующие на осесимметричную конструкцию, не обязательно должны быть распределены осесимметричным образом. Примером реальных нагрузок указанного типа могут служить ветровые нагрузки на трубы или другие цилиндрические конструкции. Кроме того, при землетрясениях силы инерции, возникающие в результате ускорения поверхности земли, обусловливают неосесимметричные нагрузки на резервуары и толстостенные цилиндрические конструкции. В том случае, когда распределенная нагрузка Т меняется лишь вдоль окружной координаты О и представляется небольшим числом членов разложения в ряд, можно сохранить ббльшую часть преимуществ, изложенных в предыдущем разделе формулировок.
Ниже опишем способ обобщения последних с целью учета неосесимметричиых нагрузок. Во-первых, предполагается, что усилия Т разбиваются соответственно на радиальные, окружные и осевые компоненты Т„ Т„и Т,. Тогда, применяя стандартную процедуру разложения в ряд Фурье (см. 111.7)), построим следующие аппроксимации: Т, = ~'." Т,'л соз л9 + ХТ ',„з)п пО, Т» = — Х Та„з!п пО + ЯТа„соз п0, Тз = 2. Тга соз ПО+ ХТ,„з!п)20, (11.
23) и = Х и„'созпО+ Х и„"з)п пО, о= — 'Я уй 1 пп+Яи'„злО, цг = Х иг„' соз и О+ ~. цг„' з) и пО, (! 1.24) где и', ьл и цгг — симметричные компоненты смещения, а и', ра и ига — аптнсимметричные компоненты. Эти компоненты задаются в терминах степеней свободы с помощью привычного представления через функции формы и„'= ( М ) (и') и„"= ( М ( (цл), и„' = ( М„) (у„'), о„'= ( М, ) (уй), (11,25) ю'„= '( М ) (ьу„'), цг„'= ( М„) (н,'), где каждый член в каждом из разложений называется гармоникой, а и — порядком гармоники. Суммирование производится по и, причем в сумме столько членов, сколько необходимо для описания изменения нагрузок в окружном направлении. Верхними индексами з отмечены симметричные компоненты нагрузки, а индексом а— антисимметричные компоненты. Представительные компоненты радиальной нагрузки изображены на рис.
11.7. Результирующие перемещения имеют соответствующий вид 336 11. Сллотиные элементы: частные случаи где (и,',),..., (ту„') — векторы, имеющие компонентами соответственно степени свободы элемента для симметричных н антисимметричных членов л-й гармоники, а) Х, ), ( М, ) и ) М ) — векторы, включающие функции формы для компонент перемещений и, и и гн. Они являются функциями только координат г и г. Рнс. 11Л.
Несимметричное радпатьное иагружение и первые гармоники. (а) Рас- пределение несимметричного радиального нагруження; (Ь) первая осесимметрнч- ная гармоника; (с) первая антнсимметричная гармоника. Ввиду того что теперь необходимо учитывать изменения величин и в окружном направлении, уравнения, связывающие перемещения и деформации, примут вид даэ е =— да ' ди е =— г иг и 1 де ее= — + —— с дат (11. 26) ди дау дс ! Йа УУе=да+ г Щ 1 ди ди и Утв = — — + — — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
