Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 65
Текст из файла (страница 65)
ну Рнс. 12.1. Бесконечно малый элемент гонкой пластины На рис. 12.1 изображен бесконечно малый элемент тонкой пластины толщины й Пластина характеризуется плоским напряженным состоянием (о,=у„,=Таз=О) и, согласно обычным предположениям изгиба пластин, напряжения линейно изменяются по толщине. Интегрируя действующие в пластине напряжения по ее толщине, приходим к результирующим силовым характеристикам в виде изгибающих Ж„, >Из и крутящего >1)1,а моментов, отнесенных к единице длины. Векторы, отвечающие положительным значениям этих моментов, изображены на рис.
12.1. Для простоты на рисунке не показаны производные этих элементов и соответствующие им сдвиги, которые учитываются при формулировке дифференциальных уравнений равновесия. Имеем ((3 (>а 6)1„= ~ о„гог, %,= ~ о„гйг, - ((а — ((2 ((з й)!зд Е'!ая з тяаг ((г -!(3 УдсбНО раССМатрИВатЬ СтрОКу уеиЛий Вве= ! %„>)И„Ыз„)т КаК аналог вектора напряжений и=! о„о„тяа )т для плоского напряженного состояния. Основное предположение теории изгиба тонких пластин заключается в том, что отрезки, которые были первоначально перпенди. кулярны к срединной поверхности пластины, остаются перпендику. 34Ь ОЬ Изгиб ииасзии лярными к этой поверхности и в процессе деформирования пластины.
Производные угловых смещений этих нормалей определяют кРивизны х„, х„и кРУчение хху повеРхности. ПРедполагаетсЯ, что они адекватно аппроксимируются вторыми производными функции поперечных смещений гв: д зги дзггг 2дзги Х =, Х = — — Х (12. 1) дхз' и дух' ху дхду' где нг отсчитывается от исходного состояния срединной поверхности пластины. Кривизны и кручение — главные меры деформации при изгибе тонких пластин.
Следовательно, вектоР кРивизны х= ( хх Х„нзу ) ЯВЛЯЕТСЯ аНаЛОГОМ ПОЛЯ ДЕфОРМаЦИИ Е= ( Е„Е„У„у ) для плоского напряженного состояния. Учитывая приведенные выше аналогии и определения, построим еще одну аналогию с плоской теорией упругости и введем уравнения состояния изгиба тонких пластин Вз( = ~ ЕД х, (12. 2) где для ортотропной пластины О„сг, О [Ет)= В, П„О 0 0 О„„ (12.31 Здесь 1г„, Оу и (х, — изгибина жесткости ортотропной пластины.
В более знакомом случае изотропной тонкой пластины о о 0 0 (1 — р)/2 (Ет)=0 (12.3а) где Етз = 12(1 Рз) (12.4) (12. 5Ь) Определяющее дифференциальное уравнение равновесия изгиба пластин важно для понимания вопросов выбора полей перемещений в элементе. Основой для этого уравнения служат дифференциальные уравнения равновесия, которые выводятся путем рассмотрения рав- новесия сил, действующих на бесконечно малый элемент соответст- венно вдоль вертикальной оси и осей х и у. Следовательно, имеем дух дну — '+ — у+)=о, дх ду (12.5а) дЧЛ„ дйй„у — "+ "" — Ф =О.
дх ду х — + — Я О, дй))ху ду дх у (12.5с) 12Л. теория изгиба 347 где д — поперечная распределенная нагрузка, а !2и и 6„ — перерезывающие силы. Теперь, подставив соотношения между моментами и кривизнами (12.2) в (12.5Ь) и (12.5с), а результирующие выражения — в (12.5а), получим Для пластины из изотропного материала это уравнение упрощается: ( о!го одгго дгго . ~ дхь + дх'ду' дух ) (!2.6а) Заметим, что получение решения задачи изгиба тонких пластин с кинематической точки зрения полностью сводится к нахождению единственной компоненты перемещения ш, т.
е. прогибов. 12.1.2. Потенциальная энергия Большинство существующих формулировок конечных элементов для изгибаемых пластин получаются на базе принципа минимума потенциальной энергии. Развивая аналогию с плоско-напряженным состоянием, получим П = — ') н ~ ЕД н г(А + (г, (12.7) где н и (Е71 определены ранее, а )г — потенциал прикладываемых нагрузок. В случае заданных распределенных нагрузок д, нормаль- ных к поверхности пластины, указанный потенциал выражается формулой (12,8а) — ~ (Ж ш+6Я„О„+Я,.О,)г(5, (12.8Ь) где Я, — участок границы, где приложены указанные нагрузки. Наконец, для заданных усилий г'г! и моментов М,, и Мгч в узловых соединениях имеем г — ~ г„!р! —,~~ М, О,, — Х Мо Оу, (12.8с) г=! ! ! г=! а для заданных граничных усилий Ф, изгибающих и скручивающих моментов 8)1„и И, (рис.
12.2) потенциал равен 34в 12. Иагиб нласгии где суммирование по к распространяется на все узловые соединения элемента, Рисунок 12.3, на котором изображен прямоугольный пластинчатый изгибаемый элемент, поясняет вид сосредоточенных сил и моментов и соответствующих им перемещений. Основные предположения теории изгиба тонких пластин (сохранение нормали, пренебрежение сдвиговыми деформациями) приводит к тому, что наклон срединной поверхности и угловое смещение в каждой точке совпаа Ф, Рис.
12.2. Заданные граничные усилия. дают. Поэтому О,= уяг/ду(, О„= — 1дгв/дх1 В выражении для О„ отрицательное значение производной обусловлено тем, что вращение в положительном направлении вокруг оси (см. рис. 12.3) вызывает отрицательные прогибы гв. Следует также указать на различие к1ежду моментами в узлах, являющихся сосредоточенными моментами М„, Ма, измеряемыми в единицах д1ойм фунт (или м Н), и распределеннйми моментаип И„, %а, 6й„а, измеряемыми в единицах дюйм фунт/дюйм. Узловые параметры искомого конечно-элементного представления суть сосредоточенные моменты (М.п М„,) и силы (г",,), а также соответствующие им перемещения. С физической точки зрения очевидно, что поле перемещений конечного элемента при изгибе, как этого требует принцип минимума потенциальной энергии, должно быть непрерывно вместе со своими первыми производными при переходе границ элементов.
Те же условия получают математически, анализируя выражение для функционала потенциальной энергии П , включающее вторые производные от кв, что и обусловливает необходимость непрерывности первых производных. Этому требованию удовлетворить трудно.
Поэтому при формулировке изгибаемых пластинчатых элементов оказались весьма привлекательными альтернативные вариапионные принципы, требующие непрерывности лишь самой функции ю. Вид функционала потенциальной энергии показывает, что выбираемое поле должно быть по крайней мере квадратичным — в ре- 349 12.1. Теория изгиба зультате взятия вторых производных исключается вклад всех линейных и постоянных членов полей перемещений. Как было показано для балки, обычно при описании изгиба используют кубические функции.
Насколько этот подход эффективен для пластин, станет ясно из последующих разделов. Тнпегные азмвые ееалая 8 М~,О Рнс. 12.3. Иагибаемая тонкая прямоугольная пластина. В качестве заключительного замечания, касаюгцегося потенциальной энергии, отметим, что для изотропного материала уравнение (12.0) является урав ением Эйлера для функционала потенциальной энергии. Значение этого обстоятельства заключается в том, что то же уравнение (с функцией напряжений Зри Ф в качестве неизвестной переменной) определяет растяжение пластины при применении формулировок, базирующихся на принципе минимума дополнительной работы. Следовательно, рассуждения, касающиеся выбора полей перемещений, непосредственно справедливы и для формулировок, соответствующих плоской задаче. Уместно изучить процедуру дискретизации функционала потенциальной энергии при получении конечно-элементных соотношений между силами и перемещениями.
Принимаемый подход очень близок процедурам из предыдущих глав. Выражение для выбранного поля перемещений сначала дифференцируется согласно (12.!) с целью отыскания поля х. В результате приходим к соотношениям вида х=!0)(д). (12.9) Например, для изображенного на рис. 12.3 прямоугольного элемента (Д )= ~ ге, пг, пг, пг, 0„ 0„ 0„, 0 'Ого 0„ 0„ 0„ ( ~. (12,10) Подставляя (12.9) в выражение для энергии деформации, входящее в полную потенциальную энергию, получим и, =~;~ (й)(д)+)г, (12.
7а) 12. Иагиб поастии где, как и в предыдущих главах (12. 11) Заметим, что предполагаемое поле перемещений фигурирует в определении величины У, если заданы распределенные нагрузки и, 41, %„н %он В тех случаях, когда предполагаемое поле представлено полиномиальным рядом, важно обратить внимание на определение величин 9, и 9о. Имеем (см. равд. 8.2) ш=( р(т) ) (а), (12.1 2 а) поэтому 9„=- ~ Р ~ (а), 9„= — ~ Р( ~ (а). (12.12Ь, с) 12Л ан Депепнитепьнап энергии Дополнительная энергия упругой конструкции определяется в гл.
6 в терминах напряжений и=( п„опт„э~. Теперь, используя аналогию, описанную в п. 12.!.1, можно построить выражение для дополнительной энергии при изгибе тонкой пластины. Имеем П,= =Ба+'о'", где в данном случае и = —,,' ~ЦИг~В,)-*9!1(А (12. 14) л и для распределенных и граничных нагрузок р'= — ) д шйА — ~ (Ф ш+%„9„+%,.9,)1(З, (12.15) л Бо Следовательно, определяя (12.12) в узлах, приходим, как обычно, к полной системе уравнений вида (Ь)=(ВЦа), (! 2.13) Разрешим это уравнение относительно (а) и подставим полученное выражение вновь в (12.12).
Продифференцируем результирующие выражения согласно (12.1) и выпишем (12,9). Также можно продифференцировать выражение (12.12) непосредственно согласно соотношениям, связывающим кривизны и перемещения (соотношения (12.1)), и подставить полученный результат в выражение для энергии деформации. Получим «основную» матрицу жесткости, относящуюся к параметрам (а). Матрица жесткости, соответствующая узловым перемещениям, получается в результате применения к основной матрице жесткости матрицы, обратной к [В) из (12.13), подобно тому, как преобразуются координаты. Ниже, в этой главе представится возможность проиллюстрировать эту процедуру.
351 !2.1. Теория изгиба 1 д / дФ» дФа'г дЯ ог 2 ду ~ ду дх ) дх где Й вЂ” параметр, связанный с распределенной нагрузкой следую- щим образом: (да да) (12.17) Если подставить выписанные выше выражения для %„, 18)х, %„а, ©„, (ра в уравнения (12.6), то можно убедиться, что уравнения равйовесия удовлетворяются, что и должно быть для функций напряжений. Наиболее часто задаваемые перемещения полагаются равными нулю, т.
е. )га =О. Поэтому при обсуждении дискретизации П, сосредоточим наше внимание на выражении для 0а. Подставляя в (12.14) выражение (12.16), получим 1 ~Ф'~Е]- Ф'(А 2~Ф'~Е]- 1 и (А+ А х О 1 +~ ~110 ]~Ег]-' 1 11з1(А х О (12.18) где Третий интеграл в правой части (12.18) исчезает при дифференцировании (/е, а второй интеграл даст вектор констант. Следовательно, чтобы рассмотреть основные свойства конечного элемента, изучим лишь первый интеграл. Ясно, что, за исключением вида констант и того факта, что матрица (Е1~ ' заменяет (Е11, этот член имеет тот же вид, что и энергия деформации для плоско-напряженного состояния. Итак, выберем тот же вид аппроксимации, что и Здесь поперечные 1в и угловые 8„и 8, смещения задаются на участке 3, границы, а граничные условия задаются на оставшейся части границы За. При анализе изгиба пластин особенно полезна функция дополнительной энергии, выраженная в терминах функций напряжений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
