Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 66
Текст из файла (страница 66)
В рассматриваемом случае соответствующими функциями напряжений являются функции напряжений Саусвелла Ф' и Ф' (см. 112.6)), определяемые следующим образом: ( д ) ' х ( дх ) ' "х 2 ( дх + д ) ' (12. 16) ! д /дФ» дФЯ~ д11 б) = —— 2 д» ~ дх ду ) ду ' 352 12. Изгиб пластин для ~лучая плоского напряженного состояния; имеем Фи ! (т! ~ (Фи) Фа ! (тс ~ (Фп) (12.
20) где (Ф") и (Фз) включают вычисленные в узлах-соединениях значения Ф" и Ф' (и возможно, их производные по х и у). После дифференцирования, согласно (!2.!8), получим (12.21) 2 ) Ф т 1ЕГ! ' Ф с(А = 1" ! !11 (Ф), (12,22) л ю= 11гпг~сз- гл1зз1. 1~А (12.23) где Сравнивая полученное выражение с (9.7), видим, что матрица по- датливости !!1 при изгибе, соответствующая функциям напряжений, совпадает с общим видом матрицы жесткости для плоско-напряжен- ного состояния.
(Толщина ! включена в (Еу) '.) 12.1.4. Функционал Рейсснева Функционал Рейсснера для общей трехмерной теории упругости был представлен в равд. 6.8. Как и в случае функционалов потенциальной и дополнительной энергий, можно получить внд функционала Рейсснера для изгиба, опираясь на полученные ранее результаты, если использовать аналогию между напряжениями и изгибающими моментами, а также между деформациями и кривизнами.
Функционал для изгиба пластин, аналогичный (6.81), имеет вид Пл — — ~ Ф! х дА — (/" + )г + 1/', (12.24) где !/* и )г определены согласно (12.14) и (12.18). Так как ожидается, что выбранное поле перемещений пт не будет соответствовать заданным перемещениям пт, необходимо представить выражения от перемещений в !'* (см. 12.16)) через (пт — ю), (дпг/дл — дпт/дл) и (йст/дз — дауда) .
Формула (12.24) не накладывает каких-либо требований к непрерывности Вз!. Однако в силу наличия вторых производных относительно и необходимо, чтобы поперечные перемещения и их За исключением отдельных констант, матрица !01 совпадает с мат- рицей преобразования от деформаций к перемещениям для плоского напряженного состояния (см. (6.6Ь)). Тогда путем подстановки в первый интеграл из (!2.18) имеем 12.1. Теория изгиба 353 производные удовлетворяли условиям межэлементной непрерывности.
Это обстоятельство не дает каких-либо преимуществ данному функционалу по сравнению с функционалом потенциальной энергии. Чтобы добиться преимуществ, проинтегрируем выписанное выРажение по частЯм и полУчим следУющий ФУнкционал 11н, введенный Херрлланом 112.6, !2.71: ПН = ~ ВЗ1' Игг/ 4 — (/* — ~%, д Г(~+ 1'+ Р», (12.24а) А зп где Я„ — полная граница элемента и дЧЛх йо дз11у дге дзлгху дог дв11ху дге я32' Ту' — —" ° — + ' ° — +— дх дх ду ду дх ду ду дх ' г 11я„т1яГ 1я„1лл~, А 1гя.т1я.1лл — 11г1 1г1лз~, А 5 М 1= 11)1я1=(1)я Г= а (М) и (А) определяются согласно заданным нагрузкам и перемещениям соответственно на поверхности элемента и на его границе.
Варьируя Пн последовательно по ( М ! и ( А), получим т о А '(М (12.27) Условия внутриэлементной непрерывности для нг и йй из Пн заключаются в том, что нг и И„должны быть непрерывны, где Ȅ— изгибающий момент, нормальный к границе элемента. 12 м 25лт Теперь, если обозначить дискретизованную величину ш аналогично предыдущим главам, т. е. нг= ( 1Ч„, ) (Л ), (12.25) то внутри элемента наклон ту'=( дш/дх дш/ду~ запишется в виде зу'=-1М„'.)(А), а на границе 5„— в виде дн1дз=(Ч)(А). Кроме того, для Ы запишем вз2=~д1м1 (М) (12.2б) и внутри элемента ВЗ1'=(1)м)(М), а на его границе йИ,=($Л(М). Подставляя в (12.24), получим Пи= ( М ) ~а„~ (А) — 1-"," (и„~(М) — ) А ( (М)+ ! М ) (А), 2 (12.24Ь) где Зал 12. Изгиб пластин 12.2.
Прямоугольные пяементы ЧХ.2Л. Прпдполпгаоммп модели ппрпмпщппий — пдипстппппоп поле (ъч) го= ~ ~ (чо ] 1 !т)е„..] [ !т)е ] ) ("а) = [ (т) 1(Л[ (12.28) (",) где (Л ) задается согласно (12.10) и [. й)„ .] = [ [Л'т (х) Лт, (у)][Лг, (х) Л, (у)] х Х [Лг, (х) Лг, (у)][Фг (х) Л(, (у)] ~, )т)а ] = [ [Лгз (х) Лтт (у)][Ага(к)'Лтт (у)]х Х[йа(Х) Йт(у)][ЛГ, (Х) Фз(у)] ~, [ )т)а„] = [ [Л1т(х) Лгз(у)][Л(г(х).)Уз (у)]х Х[Л',(х) Лг, (у)][Л', (х) Л', (у)] ~1, Здесь Лгт (х) = (1+ 2$т — 2$т), Л/, (х) = (3," — 2Е'), )т', (х) = — х Я вЂ” 1)'. Л), (х) = — х(т'.— а), Л', (у) =(1+ 2цз — Зт!'), Л!, (у) = (3 нт — 2т)"), Л1.
(у) =. (и-1)", 4 (у) /01 т)) (12. 30) где $=хlх, и т)=у!у,. Назовем зто поле балочнои функцией попереч- ных смещений. Существуют два общих подхода к формулировке матриц жесткости для изгибающих пластин, основанные на предполагаемых полях перемещений. В одном, называемом подходолг с единспгвеннылт полем, функциональное представление перемещений занимает всю поверхность элемента. В другом подходе — элемент разбивается на подобласти и в каждой из них делается независимое предположение относительно соответствующих полей перемещений. Указанные подходы при определенных условиях приводят к одной и той же матрице жесткости.
В данной главе исследуются альтернативные варианты представления прямоугольных элементов единственным полелт. Аналогичные вопросы рассмотрим в п. 12.3.1 и 12.3.2 для треугольных элементов. Прп первом рассмотрении прямоугольного изгибаемого пластинчатого элемента (см. рис. !2.3) может показаться, что для задания функции прогибов гс подойдет простое обобщение функции прогибов для балки (5.14а). Вспомним, что эта функция обеспечивает непрерывность как щ, так и угловых смещений 6 при переходе через узлы, соединяющие элементы.
Условия межэлементной непрерывности перемещений для прямоугольного элемента вьиолняются, если зададим поле поперечных смещений на основе балочных функций в следующем виде: 12.2. Прямоугольные элементы 35» Проверяя эту функцию при переходе через границы элемента, приходим к выводу, что поля прогибов ш и угловых смещений 0„, 6, непрерывны, если соединены элементы, построенные на одинаковых функциях. Поэтому условия межэлементной совместности удовлетворяются.
Если величины из (12.29), на которые умножаются узловые перемещеняя, расписать подробно и изучить, то окажется, что член, отвечающий постоянной сдвиговой деформации, а именно простая функция кручения ху, отсутствует. Как указывалось в равд. 8.1, чтобы быть уверенным в сходимости к правильному результату, необходимо учесть все состояния с постоянной деформацией, а для изгиба пластин простая закрутка соответствует постоянной деформации кручения. Следовательно, необходимо отклонить предлагаемую функцию.
Выбор межэлементной согласованной функции перемещений, включающей также все однородные деформированные состояния, можно осуществить, используя обсуждаемую в гл. 8 концепци1о интерполяции. Здесь, для того чтобы удовлетворить условиям, накладываемым вдоль границы как на функцию, так и на ее производные, используем интерполяционную формулу Эрмита (равд. 8.4). Основываясь на этом подходе, можно записать полный полипом третьего порядка ! 12.8): пг = [Соотношение (12. 28) + Л', (х) Л', (у) Гт + Лг (х) Уэ (у) Г, + + Л~«(х) Лг'«(у) Г, + Лг, (х) Ж«(у) ГД. (12.31) где степени свободы Г; — значения смешанных производных в узлах: Г,= 1дэпддхду 1„и т. д.
Поэтому заметим, что балочная функция (12.28) является всего лишь неполным эрмитовым полиномиальным разложением и в случае прямоугольного элемента для представления единственной функции требуется 16 членов разложения. Те же требования уже выдвигались в равд. 8.4, в котором показано, что полное произведение кубических функций включает 16 членов. Матрица жесткости элемента, полученная на основе (12.31), приведена в (12.8). Альтернативой к указанным функциям может служить двенадцатичленный полинам, содержащий столько слагаемых, сколько «очевидных» степеней свободы имеется в узлах. Этот полипом задается в виде треугольника Паскаля согласно рис.
12,4. Он может быть записан через функции формы, Представление с помощью функций формы имеет тот же вид, что и для случая балочных функций поперечных смещений (!2.28),Матрица-строка ( )ч„( задается выражением (12.29а). Для оставшихся членов функции формы имеем ( М .
( = ( (1 -В Л .(У) $У,(у) -3 У.(у) -(1 — $)Л(.(у) ), $Чл ) = ( — (1 — т))ттгэ (х) (1 т))ту«(х) Чанг«(х) ЧЛ~»(х) (12.32) 12» 12. Изгиб ппестин Заметим, рассматривая рис. 12.4, что двенадцатичленная функция не является полным полииомом в смысле, определенном в равд. 8.1. Функция полна вплоть до третьего порядка (10 членов), и необходимо выбрать еще 2 члена из пяти, отвечающих четвертому порядку. Слагаемое х'у' можно не рассматривать, так как для него нет логической пары из оставшихся. Члены х' и у' приведут к квадратичным вариациям перемещений вдоль границ элемента и к а1 азх аз У абуз нех а5 ху а, а х а21У 5 16 Рис.12.4. Лненалнатичлеинмй ослином„согласующийся с треугольником Паскаля.
более серьезным разрывам непрерывности перемещений вдоль межэлементных границ, нежели члены х'у и хуе. Поэтому выберем последние. Интересно отметить, что указанный выбор позволяет удовлетворить определяющему дифференциальному уравнению (12.ба) на свободных от нагрузок областях пластины; следует, однако, еще раз отметить, что для стационарности аппроксимации потенци. альной энергии удовлетворение этому условию не требуется. Интересны н другие свойства этой функции.
Она включает члены, задающие движение тела как твердого целого и однородную деформацию, причем исследование показывает, что прогибы оказываются межэлементно согласованными. Однако угловые перемещения не удовлетворяют этим условиям. Чтобы подтвердить эти высказывания, необходимо лишь оценить полиномиальное представление (рис. 12.4) вдоль типичной границы элемента. Выбирая с этой целью сторону 1 — 2 (вдоль оси х), имеем 1а = а,-)-а,х+а,х'+а,.х', — = а, + 2а,х+ Затх', дю дх — =а, + а,х+а,х'+а„х', 352 12,2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
