Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Во многих несжимаемых материалах, например в резине, при нагружении возникают большие деформации. Это обстоятельство требует построения специального вида определяющих соотношений с учетом больших деформаций и соответствующих модификаций конечно-элементных формулировок Зги вопросы рассматрнва отея в [11 201 Литература 341 11 3 Шди 5 Ехр!~с~! Ехргеввюпз 1ог Тпапди!аг Тегш Е[ешеп1 ВЬИпея Ма1- пх — А[АА 3, Зиле 1968, 5, Хо 6, р 1174 — 1175 [Имеется перевод Ракетнал техн н кослюи — М Мир, 1968, № б [ 11 4 Ве!у[вслдо Т Ггпг1е Е!еглеп1 1ог Ахмчпппе1пс 5ойбз побег АгЬИгагу Ьоайп3в илй в[одев а1 Опал — А!АА 3, 1972, 10, !в!о !1, р 1582 — !584 [Имеется перевод Ракетная техн и космон — М Мир, !972, № 11 [ 11 5 СЬасоиг 5 А Н~ОЬ Ргесииоп Лхмушше1пс Тпал3и!аг Е[ешеп1 Овеб ш йе Ала1уяз о1 НчбгаиЬс ТигЬше Сошропелй — Тгалз А5МЕ, 3 Ваяс Ел3, 1970, 92, р 819 — 826 1! б Вйчев[ег Р Конгад А Ах~зушше1пс Тпапци!аг Е!ешепй 1ог йе 5са!аг Не[глЬойг Е9иаЬоп — !л1 3 Мшп Мей Елд,[973,5, Хо 4, р 481 — 498 !! 7.
бодо!ш!гоИ 1 5, йегйеИег й М МайешаЬсз о1 РЬуясз алг[ Модегп Еп. 8гпеепп8 — Хетч Чогд, Ы Ч Мсбгагч-Н~!! ВооЬ Со, !966, р 56 — 83 11 8 %'~!зол Е 5!гис1ига[ Лпа!уяз о1 Ахмуппле1пс 5о[юв — А1АА 1, Оес !965,3, Мо 12, р 2267 — 2274 [Имеется перевод Ракетная техн и касмои— М Мир, 1965, № 12! !1 9 Агцуггз 3 Н, Висд К Е, Опе8ег1, МагесгеЬ О АррйсаЬап о1 йеМа1пх 0~ар!асешел1 Ме1Ьод 1о йе Апа[уяв о1 Ргеяиге Чеяей — Тгапв Л5МЕ, 1970, 92, 5ег В, р 317 — 329 !1 10 ЪепЬе~исг О С ТЬе Гш~[е Е[егпеп! Мейоб ш Ел3шееппд 5сгепсе СЬар. 1ег 13 — Ьопбоп МсОгатч-Н~!1 ВооЬ Со, Ь16, 1971 [Ииеетси перевод Зенкевич О Метод конечных элементов в технике — М Мир, 1975, 541 с [ !! 11 СЬпзЬап 3 Т [?пбгашед 51гевв 0~в1пбиггол Ьу Нишепса! Мейобв — Ргос Л5СЕ, 1 5о~1 Месл Гдп Ош, Ноч 1968, 94 Мо 5Мб, р 1333 — !345 !! 12 СЬпвИап 3 Т, ВоеЬшег 3 %' Р[апе 5!га~п Сопзойба[юп Ьу Вийе Е1еглеп[в — Ргос А5СЕ, 1 5о~! МесЬ Гбп 0~ч, 3и1у 1970, 96, [го 5М4, р !435 †!457 !! !3 Нгчап2 С, Мог3епз1егп Х, Миггау 0 Оп 5о1имоп о1 Р!апе 5!га~п СолюЬбаЬоп РгоЫеглз Ьу Г!ш[е Е[ешеп1 Мейлах — Сапайап Оео1есдп !9?1, 8, р !09 — 118 11 14 5апбли й 5 Гш~[е Е!егпеп! Лпа!узм о1 Солю!н1аЬоп апб Сгеер — Ргос.
о1 Соп1 ол АллйсаЬоп о1 йе Гшпе Е[ешел1 Ме!Ьод ш Оео1есЬшса! Ел5, ед С Оезал 'с! 5 Агшу Еп3 ЧгсЬзбигд Ехрепшеп15!а, Ч~сдзбиг3, М~я, !972, р 697 — 698 1! 15 Негппапп 1. й Е!авг~сйу ЕлиаЬопз 1ог!псошргеемЫе апб Хеаг[у!псогпргевяЫе Ма1епа[з Ьу а Чапа!юла! ТЬеогеш — А[АА 3, Ос[ 1965, 3, Мо !О, р 1896 — !900 [Имеется перевод Ракетная техн н космон — М. Мир, 1965 № 1О [ 1116 НидЬез Т, Айй Н Ггппе Е[ешепй 1ог СошргевяЫе ало!псапргезяЫе Сапппиа — Ргос о1 5угпр оп Аррйса!юп о1 Г~п~1е Е[егпеп1 Мейобз ш Сгчй Епд, ежов % йогчап апд й Наиде[1, Чапбегй!1 Бпш, ХавЬшйе, Тепп, Моч 1969, р 27 — 62 !!!7 Нгчал8С, НоМ, 1Чг!вол Х ГшпеЕ!ешеп1Лпа1уязо15оИ Оечогшайопв— Ргос о1 бушр оп Арр!юа1юп о1 Г~п~1е Е!ешеп1 Мейобв гп С~чг! Еп3, ей [Ч йогчан алб й Наиде[1, Чапдегй!! [?шч, ХазЬчгйе, Тели, Ыоч !969, р 729 — 746 1118 Кеу5 ТЧ А Чапайапа! Рппс~р!е1ог!псошргевяЫеапдЖеаг!у 1псоглргев яЫе Ли~во!гор~с Е!авЬсйу — 1п1 3 5о!гбз апб 51гис1игез, 1969, 5 р 951— 964 11 19 Тау[ог й С Рийег К, Неггшапп Ь й Оп а Чапа[юла! ТЬеогеш 1ог!псошргевяЫе апб Ыеаг!у 1псошргезяЫе Огйо1гор~с Е!азЬсйу — [п! 3 5о1№в апд 51гис1игез, 1968, 4, р 875 — 883 11.20 Обеп 1 Т, Кеу 3 Е 14ишепса1 Апа[уяв о1 Г!ппе Лх~вушше1пс Ое1огша[~опз о1 1лсогпргевяЫе Е[аз1~с 5о1н1з о1 йечо1иЬоп — 1п1 Ю 5о1ггЬ апг[ 51гис1игез, !970, 6, р 497 †5.
342 11. Сплошные элампнтьп частные случаи Задачи 11.1. !1остройте матрицу жесткости для кольцевого элемента, показанного в разрезе иа рнс. РП.!, используя линейную радиальную функцию перемещений. ! ! 1 г Рис. Р11.1. 11.2. Постройте матрицу жесткости кольцевого элемента, изображенного в раэ. реве на ркс. 11.4, используя билинейную функцию перемещений, 11.3. Проверьте формулу (1!.!8!т) для 1 . 11А. Используя для перемещения и иэ (1!.24) двучленное гармоническое разло- э а жение в ряд по симметричным членам (т. е. и, н из), постройте соответствующую матрицу жесткости кольцевого элемента из задачи 11.1.
11.3. Основываясь на функционале Рейсснера для плоско-напряженного состояния (см. (6.81)), получите выражение (П.38) для функционала Пт в случае несжимаемого материала. 11.6. Выведите дискретную форму для Пг (см. соотношение (11.38)) н преобразуйте полученную смешанную матрицу к матрице жестностн, предполагая, что параметры поля давления не связаны с параметрами этого поля соседних элементов. 11.7. Получите матричные уравнения для анализа обобщенного плоского деформированного состояния, используя описанный в конце равд. П .1 подход.
11.8. Получите явный вид матрицы ()Улт) нз (11.27). 11.9, Постройте для несжимаемого упругого изотропиого материала матрицу жесткости, основанную на девиаторных компонентах деформации. Йспользуйте простой (с линейным полем перемещений) треугольный элемент при условиях плоской деформаппн. 11.10. Обобщите соотношения жесткости для плоской деформации (1!.3) на случай учета начальных деформаций. 12 ИЗГИБ ПЛАСТИН Много усилий затрачено на построение конечных элементов, моделирующих пластину при изгибе 112.1!. Требованиям адекватной формулировки трудно удовлетворить, и по этой причине было предложено чрезвычайно широкое множество альтернативных формулировок.
Поэтому строились улучшенные модели на основе более широкого использования вариационных принципов, нежели для других типов элементов. Однако и здесь основными были формулировки, базирующиеся на принципе минимума потенциальной энергии. Значение изучения вопросов, касающихся изгиба плоских пластин, превосходит чисто утилитарные аспекты непосредственного построения элементов в рамках линейных статических формулировок, как это сделано в данной главе. Один из эффективных элементов конечно-элементного анализа тонких оболочек базируется иа представлении их плоскими элементами.
Такие элементы строятся с помошью суперпозиции свойств изгибаемых н плоско-напряженных элементов. Плоское напряженное состояние описывалось в гл. 9; данная глава завершает описание существенных аспектов анализа оболочек. Важность понимания вопросов изгиба пластин вытекает также из практической ценности изучения динамических аспектов поведения и потери устойчивости пластинчатых и оболочечных конструкций. Последняя тема рассмотрена в гл.
13. При построении конечно- элементных уравнений, описывающих это явление, будем опираться на полученное в данной главе конечно-элементное представление. И наконец, следует отметить, что упоминавшиеся выше трудности в выборе адекватных полей перемешений возникают из-за того, что изгиб тонких пластин описывается дифференциальным уравнением четвертого, а не второго порядка, как в случае плоских 344 12. Изгиб пластин и трехмерных задач теории упругости. Уравнениями четвертого порядка наряду с широким кругом физических задач описываются н другие задачи теории упругости, поэтому важно выяснить основные характерные трудности для каждой нз них.
Этот вопрос был затронут потому, что трудности при выборе допустимых полей перемещений можно обойти, используя смешанные вариационные принципы и вариационные принципы, базирующиеся на рассмотрении функционала дополнительной работы, для которых минимальны требования при выборе полей напряжений, либо с пишщью нзопараметрическнх трехмерных элементов, которые описывают поведение тонких пластин при наложении определенных ограничений и выполнении других операций. Изопараметрические элементы изучались в гл. 9 и 1О, первый подход обсуждается ниже. В начале данной главы описывается наиболее простая ситуация, возникающая при изгибе пластин, т.
е. изгиб в отсутствие сдвиговых напряжений н начальных деформаций, Кроме того, обсуждаемые формулировки н задачи в основном относятся к изотропным материалам. Вслед за кратким обзором основных соотношений теории изгиба пластин внимание уделено многочисленным альтернативным формулировкам для четырехугольных и треугольных элементов. В противоположность гл. 9 «Плоско-напряженное состояние» треугольные элементы здесь менее предпочтительны, нежели четырехугольные. Поэтому последние рассматриваются в первую очередь. Во многих отношениях построение и стиль этой главы отличаются от построения и стиля других глав книги. Детальное описание операций по формулировке лишь небольшого числа из широкого разнообразия формулировок пласгинчатых элементов при изгибе потребует объема целой главы.
Наша же основная цель — дать всестороннее описание техники построения конечных элементов для изгнбаемых пластин, и чтобы добиться этого, здесь принят обзорный стиль изложения. Однако некоторые основные аспекты проблемы рассматриваются подробно. Подробно приводятся основные соотношения и выражения для энергетических функционалов изгиба пластин, благодаря этому можно выявить важную роль смешанных функционалов и функционала дополнительной работы. Весьма полно дается описание прямоугольных элементов.
Пристальное внимание уделяется двум широко распространенным видам треугольных элементов. И наконец, 1 рассматриваются деформации, вызываемые поперечными сдвигами. ~ Этот аспект изгиба пластин важен сам по себе. Кроме того, на его основе можно предложить подходы описания изгиба без сдвига, которые более просты с точки зрения формулировки, нежели обще- принятые подходы, базирующиеся на использовании допустимых полей перемещений. 12.1. Теория изгиба 12.1. Теория нагиба 12.1.1. Основана соотнан>анна Теория изгиба пластин подробно излагаекся во многих книгах (см., например, (12.2 — 12.4!), и ниже вкратце приводятся лишь необходимые соотношения для дальнейшего построения элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
