Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 67

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 67)

Прямоугольные элементы где пг и дго/дх определяют изгиб в направлении х. Кроме того, заметим, что разложение для ш представляет собой кубический полипом. Из опыта с изгибом балки ясно, что заданные на концах четыре степени свободы (ш„ш„Олн О„) из общего числа степеней свободы полностью определяют вариацию ш и дцг!дх вдоль этой границы. Однако наклон нормали дц»ду описывается кубической функцией, и, так как для определения этой функции остались всего лишь две степени свободы О„и Ояы то она определяется неоднозначно. Поэтому решение, полученное с использованием элементов указанного типа, не будет доставлять минимум потенциальной энергии.

С другой стороны, имеются теоретические обоснования сходимости решения для этого типа элементов (см., например, [12.13[). Матрица жесткости элемента, отвечающая этой функции, задана в табл. !2.1 (см. стр. 389 — 391), Исследуя изображенный на рис. 12.4 треугольник Паскаля, можно выбрать различные альтернативные представления. Существуют также соответствующие альтернативы при построении полей перемещений с использованием функций формы. В работе [12.9[ приводится ряд функций формы для представлений с двенадцатью степенями свободы.

В [!2.!0[ и [12.!1[ обсуждаются альтернативные степенные поля перемещений с 16 степенями свободы, в [12.8, 12.12[ и др. формируются прямоугольные элементы для пластин с более чем 16 степенями свободы. 12.2.2. Предполагаемые моделе перемещения — метод подобластей Альтернативные построения, основанные на предполагаемых полях перемещений, можно осуществить, разбивая четырехугольный элемент на четыре треугольных элемента и задавая независимо поля перемещений в каждом из треугольников. Далее треугольные элементы объединяют, чтобы получить четырехугольный элемент посредством задания условий непрерывности перемещений вдоль «внутренних» границ, определяемых разбиением на подобласти. В работе П2.14[ предложен этот подход при формулировке межэлементно согласованного элемента с !6 степенями свободы.

Внутри каждого треугольника выбирается полное кубическое (10 членов) полиномиальное представление поля перемещений. Традиционное задание трех степеней свободы (перемещение и два вращения) в углах дополняется заданием вдоль каждой стороны одной степени свободы в виде углового перемещения. Аналогичный подход был предложен в работе [12.18[, где на основе принципа минимума потенциальной энергии построен четырехугольный элемент путем соответствующего обьединения четырех треугольных элементов. Здесь треугольные элементы сами строятся посредством разбиения элемента на три треугольные подобласти (формулировка этих треугольников описывается в п. !2,3,2).

12. Изгиб пластин Зза Следует отметить, что, прежде чем составлять из треугольников четырехугольный элемент, стороны которого становятся внешними границами, задаются условия, обеспечивающие исключение степеней свободы в серединах указанных сторон. Таким образом, в окончательном варианте четырехугольный элемент имеет всего 12 степеней свободы (по трп в каждом углу). Условия внутренней и межэлементной согласованности для этого элемента выполняются. 12.2.5. Обобщенный аарнацнонный подход Обобщенный вариационный подход, описанный в гл. 6 и 7, особенно привлекателен при формулировках изгиба пластин.

Так как трудно определить и оперировать с полями поперечных перемещений, которые полностью межзлементно согласованы, желательно выбрать удобное поле, которое не удовлетворяет этим условиям, и далее навязать условие непрерывности, задавая ограничения. Для двенадцатичленной функции (12.27), например, необходимо обеспечить лишь непрерывность угловых перемещений. Довольно глубокие исследования в этой области четырехугольных изгибаемых элементов можно найти в статьях [12.16, 12.17).

Этот подход обсудим для треугольных элементов в разд. 12.13. 12.2д. Смеглаииые формулнровни а напряжениях н перемещениях В работах [12.18, !2,!9[ исследованы гибридные формулировки в напряжениях для прямоугольных элементов, а формулировки для четырехугольных элементов даны в [12,20). В каждой используется схема с единственным полем.

В [12.21[ приведены две альтернативные формулировки путем разбиения элемента па подобласти и с использованием гибридной схемы в напряжениях. Подход на базе функционала Рейсснера, модифицированный, как описано в разд, 12.2, Херрманом [!2.7), был применен в работе [12.22) для различных четырехугольных элементов как для представления единственным полем, так и при разбиении элемента на подобласти.

122зь предполагаемые поля напряжений Как было указано, для функционала дополнительной энергии, выраженного в терминах функции напряжений Саусвелла, требуются те же поля, что н при описании перемещений, если анализировать плоско-напряженное состояние на основе подхода, использующего принцип минимума потенциальной энергии. Поэтому рассуждения, касающиеся последней темы из равд. 9.3, справедливы и в данном случае. Результаты подсчетов с использованием указанного подхода приведены в [12.23[. 259 12.2. Прямоугольные алементы 12.2.6. Сравнение чнсленныа реаультатов Расслготрик1 вначале жестко закрепленную квадратную пластину 2ак2а, на которую в центре действует сосредоточенная сила Рт (рис, 12.5). Учитывая симметрию относительно двух осей, можно Рис. 12.5. Квадратная жестка аашенленная пластина.

исследовать эту задачу, используя лишь олин элемент для четверти пластины, введя при этом лишь одну степень свободы; перемещение ш, под сосредоточенной силой. В этом случае Рг=!его„Р=Рг,'4, х,=да=а. Согласно табл. !2.! (см. стр. 389), для формулировки с использованием 12 членов имеем а а~120(1+1) — 24р+84~шт~ р е1ъ или, полагая 0=Е(а/12(! — р'), р=0.3, имеем пг1=0.0232(аеР,У0), Используя коэффициенты жесткости из 112.8)для шестнадцатичленной формулировки, получим пг,=0.0212(аеРг/Р). Точное решение 112.2! равно ш,=0.0224(ааР,10), поэтому каждое нз решений приблизительно на 8% отличается от точного, находясь по разные стороны от него. Как и предполагалось, «согласованное» (шестнадцатичленное) решение ограничивает снизу точное решение. На рис. 12.6 представлена задача, рассматриваемая при сравнении различных формулировок пластинчатых элементов при изгибе.

В задаче определяются перемещения, вызванные действием сосредоточенной силы, приложенной в центре свободно опертой пластины. Приводимые графики вычислений отражают зависимость возникающей при численном определении перемещений ошибки от размеров сетки разбиения квадранта пластины. Следует отметить, что представленные результаты не обязательно определяют нужные параметры для сравнения точности и эффективности, так же как и размеры ячейки не обязательно являются наиболее точной мерой затраченных усилий Такие величины, как напряжение или энергия деформации, являются более существен- 12.

Изгиб пластин 'П 1хт г»2 (и 2х2 1х1 Рис. 12.6. Задачи для сравнения вычислительных аспектов. !а) Сетки для прямоугольных элементов; (Ь) сетки для треугольных элементов. Показаны лнгпь представительные образцы сеток, Здесь также используются сетки, повернутые на 90'. ными параметрами, характеризующими поведение конструкции.

Наиболее предпочтительной мерой затраченных усилий могли бы служить такие факторы, как затрачиваемые усилия при программировании алгоритма, затраты на решение системы уравнений и интерпретацию полученных результатов. Например, те же самые величины, но в зависимости от других характеристик эффективности были приведены в работе !12.24!. В данной главе графики главным образом приводятся для того, чтобы выяснить верхнюю и нижнюю границы решений, продемонстрировать сходимасть н оцепить альтернативы внутри ограниченного числа форм элементов и процедур их построения.

На рис. 12.7 приведены результаты для различных формулировок прямоугольных элементов. Заметим, что двенадцатичленный полипом стремится к точному решению сверху, так как условия межзлементной непрерывности перемещений нарушаются, характеристика, соответствующая «нижней границе», которая получается с использованием принципа минимума потенциальной энергии, не достигается.

Наоборот, формулировка с использованием шестнадцатичленного полинома и разбиения элемента на подобласти, предложенная в работе !12.141, обусловливает сходимость и обеспечивает достижение нижней границы для получающихся решений. На этом же рисунке приведены результаты для двух формулировок зы 12.3. треугольные элементы ь !о мь % ь о ь '4 -5 -!О г 3 4 5 РаесгеРнссить сеитии (ест. рис. 12.6) Рис.

Характеристики

Список файлов книги