Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Таким образом, узловые силы соответствуют возросшим значениям перемещений, и так как коэффициент жесткости определяется по единичному смещению, то значение силы, вызывающее единичное смешение прн допущении сдвиговых деформаций, должно уменьшиться. м„вт ,,Ех гх "'х иг Р'з~ ~тих (й Рнс. 12.1б.
Элемент, подверженный нагнбным н поперечным сдвнговым деформанням. (а) Узловые силы н перемещения в элементе; (Ъ) характер поперечных сдвнговых деформапнй. Рассмотрим, например, элемент, изображенный на рис. !2.!5, Предполагается, что сдвиговое напряжение т„, существенно постоянно на части площади, обозначенной символом А„и пренебрежимо мало на всех остальных участках (случай балки с широкими фланцами; для других видов поперечного сечения значение плотцади необходимо помножить на соответствующую константу).
Выпучивание из плоскости ие рассматривается. Тогда, согласно закону Гука, имеем (рис. 12.15(Ь)) у„х=рт/А,б. Кроме того, из теории балок Гт=Е! (г(зтх(г!хз), поэтому 12. Изгиб пластин 37а Вклад деформаций сдвига в энергию деформации равен — ~ (у„,)' А, б((х. о Поэтому с учетом выражения для сдвиговой деформации у„а полная энергия деформации запишется в виде 12Е! 144(Е!)з А бааз' Это выражение, вообще говоря, некорректно по причинам, высказанным ранее.
Простой подход к формулировке корректной матрицы жесткости элемента [12.501 состоит в том, что сначала строят матрицу податливости, учитывающую сдвиговые деформации. Так, если элемент консольно закреплен в точке 2, то смещение в точке 1, вызванное одним лишь сдвигом, равно (с О=Е!2(1+р)) 2 (1+ р) Р~Г. у»» и полные уравнения податливости имеют вид !.з 2(1+р) !.1 3Е! А Е ( 2Е! е-[ Р Применяя методику, описанную в равд. 2.6, на основе этих уравнений строят матрицу жесткости. Тогда корректное выражение для коэффициента жесткости имеет вид 12Е! 1 [(! +!2(1+ р) !)7А сз]' Из сказанного можно сделать общий вывод, что учитывать эффекты, связанные с деформацией сдвига для балочных, пластинчатых и оболочечных элементов, можно тогда, когда они формулируются непосредственно в терминах соотношений податливости (подход иа основе принципа минимума дополнительной работы) Теперь, если поперечное смещение нт описывается обычным образом с помощью кубического полинома (см.
(5.14а)), то можно записать данный интеграл для энергии деформации в дискретном виде и, минимизируя энергию деформации, получить матрицу жесткости элемента. Типичный член этой матрицы й„, который связывает Р, н нт„ имеет вид 379 12.4. Прогибы, выаваииые поперечным сдвигом или в виде смешанных соотношений, получаемых из функционалов, в которые входит дополнительная энергия деформации (например, из функционала Рейсснера (12.24)). Ранее подчеркивалось, что на практике в основном используют подходы, основанные на принципе минимума потенциальной энергии (предполагаемые перемещения). Имеется все же возможность использовать эти подходы при формулировке уравнений жесткости с учетом поперечных сдвиговых деформаций для балок, пластин и оболочек путем простой аппроксимации, в которой суммируются результаты, полученные по отдельности при анализе чистого изгиба и чистого сдвига.
Чтобы описать этот подход, изучим элемент 1 — 2, изображенный на рис. 12.1б, являю1цийся частью всей балочной конструкции. Из рисунка видно, что поперечная сдвиговая деформация равна у„=(гн,' — гв,')/Е, где верхним индексом з отмечено, что соответствующие перемещения обусловлены лишь деформациямн сдвига. Кроме того, так как у„=2(1+)х))сг/А,Е, то АгЕ г = 2 (1 л р) В (гн Это — уравнение жесткости для элемента.
Аналогично можно построить уравнение жесткости для оставшейся поперечной перерезываюшей силы Рв. Объединяя эти уравнения жесткости обычным 2 1 о (Ь) Рнс. 12.14, Смешение в виде чистого схвнга лля балочного элемеята. (а) Целая балка; (Ь) характер смещения лля элемента 1 — 2. способом, принятым в прямом жесткостпом анализе, можно построить глобальные уравнения жесткости для перерезывающих сил. Обозначим нх через (Р)=()гх)(Ах) (12.46) Разрешая эти уравнения, получим (А') = ! й'! '(Р ). (12.47) зво 12. Изгиб ллвсгии Обозначая глобальную матрицу жесткости, соответствующую чистому изгибу через 1кг!, а соответствующие перемещения — через (ЛУ), также получим (АГ)=(кг) '(Р).
112. 48) Аппроксимация полных перемещений представляется в виде суммы сдвиговых и изгибных перемещений: (А) =(А')+(Аг) (12. 49) Чтобы применить выписанную выше схему для пластин или изгибаемых оболочечных конструкций, необходимо аналитически представить конструкцию в виде системы фиктивных балочных элементов с учетом сдвиговых деформаций. Если эта аппроксимация неадекватна, то можно использовать теорию пластин, которая учитывает поперечные деформации сдвига. Существует ряд таких теорий [12.51 — 12.53), и большинство из них использовалось в конечно- элементном анализе 112.54 — 12.57). Однако, вероятно, что если упрощенный подход неадекватен, то и теории пластин, учитывавшие деформации поперечного сдвига, будут также неадекватными.
В этом случае имеет смысл применить трехмерный анализ и пространственные элементы. Мы снова вернемся к рассмотрению этого вопроса в равд. 12.6. 42.5. Искпючение ограничения на деформации поперечного сдвига (дискретная процедура, основанная на гипотезе Кирхгофа) 112.58) Как отмечалось, исключение деформаций поперечного сдвига при анализе изгибаемых балок и пластин осуществляется введением условия, соответствующего гипотезе Кирхгофа.
Можно построить выражение для энергии деформации, не привлекая этого предположения. В этом случае можно добавить выражение для энергии сдвиговых деформаций и использовать полученное таким образом выражение для энергии при формулировке матрицы жесткости элемента. Чтобы проиллюстрировать эту методику, вновь рассмотрим балочный элемент. Хотя условие, заключающееся в равенстве углового смещения 9 наклону (отрицательному) нейтральной оси, исключено, условие, что плоское в недеформированном состоянии сечение остается плоским и после деформации, сохраняется. Таким образом, основной величиной, описывающей деформацию изгиба, является угол 8, причем кривизна х=г)ОИх.
Полный наклон нейтральной оси г)пгЯх в этом случае обусловлен двумя факторами: угловым смешением и наклоном, вызванным деформацией сдвига. Сохраняя упрощающие предположения о дей- 12чв Исключение ограничения на деформации поперечного сдеига За! с и= ~ ~ („— ) Е!дх+ — ] (О+ — „~ ) А,бдх. (!2,51) О о Энергия деформации определяется теперь двумя независимыми величинами О и ш. Поэтому выпишем выражение для энергии в дискретном виде, выбирая два независимых поля: ш=~Х ](нг), О=~(че ](9), (12.52) где [ (и' ] и[ Ма ] — соответствующие векторы функции формы, а (н ) и (О) — соответствующие степени свободы.
Подставляя данные выражения в (12.51), получим 2" [ ][9)+" 23[ ](М+[Олй'И-)+'-2'[ "]( ), (12,53) где [йз] =] (Щ ~ Ма ] А,бс(х, о [1сза] = ~ ((ч" ) [ У' ] А, сгг(х, а Ы= )Ж) [ Х' ] Ег'с(х, е [кЧ= ~ (п)е) [ (Ч ] Агбг(х, е или и= ~; '[й][л), (12.53а) где 1кг'+ 1Рг1йзП [ л ] = [ [ 9.] [.
] ], [К1 = ~---„-; —;--:;-„-,-1. Важно помнить, что выписанные выше выражения для энергии содержат лишь первые производные от независимых переменных. Это означает, что выбранные функции не обязательно должны удовлетворять условию непрерывности наклона при переходе через границы элемента. Это обусловливает подход к анализу изгиба тонких пластин, в котором в качестве основной переменной используется угловое смещение.
При этом энергия сдвиговой деформации, определяемая соответствующими членами в выражении энергии, мала н не оказывает существенного влияния при вычислении прогибов. с твии перерезывающих сил лишь на площади А, и соответствующем ему состоянии однородного сдвига у„„получим — Ишгг(х=9+у„„ или — ук,=О+с(шЯх. (12.50) Имея в виду эти условия, можно написать следующее выражение для энергии деформации: 12, Изгиб пппсгии К сожалению, этот подход не эффективен из-за того, что получаемая матрица плохо обусловлена при стремлении величины энергии сдвиговой деформации к нулю и вырождена, когда энергия равна нулю.
Так как это обстоятельство возникает из-за того, что аналитическая модель неустойчива при наличии независимых параметров перемещений ( 0) и ( и ), можно восстановитьустойчивость, связывая эти степени свободы в дискретных точках согласно гипотезе Кирхгофа. Так, при 7,„=0 из уравнения (12.50) следует О= = — сЫЫх. Так как 0 и щ записаны в дискретном виде, то на основе этого условия можно выписать уравнения связи для узловых параметров ( ~0( ~зч ( ~. Применение методики, основанной на дискретной формулировке и учете гипотезы Кирхгофа, отчетливо иллюстрируется на примере, изображенном на рис. 12.!7 (12.54). На свободный конец консольной балки, разбитой на два сегмента, действует сила Р,.
Выберем следующие поля перемегцений в элементе А: 0=(1 — 5)0,+ВО„ю=(1 — 5),+Ь „ где $ — значение безразмерной осевой координаты вдоль элемента (5г х//.). Для элемента В выбираются аналогичные линейные поля. Рз Рис. 12Л7 Заметим, что описание параметров цг и О является приближенным. Если пренебречь сдвигом, из (12.51) получим следующее выражение для энергии деформации: 2 — ! О О О, ! ! О О О, (/ — ( О,О,~,~, 1 Е/ О ООО О ООО„ Теперь, чтобы выписать условия связи между 0 и пг, потребуем, чтобы деформация сдвига у„~равнялась нулю в центре каждого элемента, т. е.
с!гаЫх+0=0 в центре каждого элемента. Так как 0 изменяется линейно между концевыми точками ! и /, то значение 0 в середине элемента равно (О,+О!)/2; поэтому +з О 383 !2.6, Эффективность применения трехмерных конечных элементов Разрешая эту систему относительно О, и О„находим О= ', О= —,'+ —,, 2шэ . 4шэ э 1 э' В и после подстановки в [) можно получить уравнения жесткости э 4Е) ! ) м'э Решая эти уравнения при Р,=0, Р,=Р, находим гн,=10)эЕэ
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
