Галлагер - Метод конечных элементов. Основы (947497), страница 75
Текст из файла (страница 75)
е. работа этих сил у' на любых кинематически возможных перемещениях зависит только от начальной и конечной конфигураций системы. Тем самым исключаются случаи, когда направление действия силы «отслеживает» направление отклоненного элемента системы, на который эта сила действует. 13. Анализ устойчивости упругих тал Для условий равновесия в невозмущенном состоянии, т, е. когда осевая сила меньше критической нагрузки, применение принг[ипа стас(ионарнослти потпгнциальной энергии в виде равенства нулю первой вариации от П (т. е. 6П„=О) приводит к уравнению жесткости (13.25) При этом (Лу) можно определить пз уравнения (!3.25), используя обычные средства, причем мы придем к результатам, учитывающим взаимодействие осевого и поперечного деформнрования, влияние осевых нагрузок на жесткостные характеристики балки.
Следует отметить, что таким образом можно учесть эффект увеличения изгпбной жесткости при действии растягивающих нагрузок. Чтобы рассмотреть вопрос потери упругой устойчивости, когда интенсивность системы осевых нагрузок, вызывающих выпучивание, еще не известна, инкремептальная матрица жесткости должна быть вначале подсчитана численно при произвольно выбранной интенсивности нагрузки (предполагается, что распределение осевых спл фиксировано). При выпучивании считаем, что интенсивность системы осевых нагрузок в ьт раз больше произвольно выбранной интенсивности сил (Р,), использованных при построении матрицы [[га), поэтому уравнение равновесия принимает вид 6Пг — — [Ку) (Лу )+ от[[та) [Ьу ) — (Р ) =О.
(13.26) В этом месте необходимо рассмотреть условия нейтрального равновесия; онн определяют собственное значение ы и отвечающую ему моду выпучивания (тх„). Необходимую информацию нельзя получить, рассматривая первую вариацию функционала потенпнальной энергии, поэтому следует выписать вторую вариацию 6'П =6(6П ). Йз рис. 6.2, на котором схематически изображена зависимость потенциальной энергии от некоторого представительного параметра перемещения А, следует, что в состоянии устойчивого равновесия бтП )О, а для нейтрального равновесия 6тП =О.
Последнее условие определяет точку бифуркации искомого решения. Теперь, применив эти условия к (13.24), запишем вторую вариацию потенциальной энергии в виде 6'П„= [ 6Ау ) 1 К) (66 у ) =О, и так как в данном случае!К)=[Ку[+!Кх!, то [[К,)+[К [[=О, (!3.27) где символом [ [ обозначен детерминант. Таким образом, имеем условие, согласно которому детерминант матрицы (13.27) равен нулю. Альтернативой этому условию является то, что не существует единственного решения (условие бифур- 13.2, Глобальиая формулироаиа 40! кации) уравнения [13.26), если найдется вектор (Лу) и скаляр оу, такие, что [Ку+оуКа!(Ау)=0. Вычисление детерминанта с целью определения значения оу для системы большого порядка неэффективно. Обычно используют модификацию уравнения [13.27), умножая его на (Ь).
После преобразований получим (йу) =[Ку) [К ) (лу). С помощью итерационных методов или другим способом находят наименьшее значение величины оу н соответствующий собственный вектор (Ау В обсуждаемых задачах для балок и пластин вектор степеней свободы (Лу) состоит как из трансляционных шь так н из угловых перемещений йр Интуитивно может показаться, что знания трансляционных перемещений достаточно для адекватного определения моды выпучивания и по этой моде можно было бы в свою очередь достаточно точно вычислить интенсивность критической нагрузки. Провести в явном виде процедуру конденсации в задаче на собственные значения, представленной уравнением (13.27), неудобно, так как в результате получатся матрицы, нз которых нельзя выделить ы. В этом случае следовало бы применить итерационный процесс. С другой стороны, описанная в равд.
2.8 процедура конденсации, которая строго применима лишь для традиционных матриц жесткости, может быть использована и для геометрических матриц жесткости с целью получении приближенной конденсированной матрицы. Приспособим процедуру из равд. 2.8 для решения рассматриваемой задачи следующим образом. Предположим вначале, что вектор перемещений разбит на трансляционные и угловые составля1ощие, т. е.
[ Л ) =) уч ! й ). Дла матРицы [ку), напРимеР, имеем [В действительности, возможно любое разбиение общей совокупности степеней свободы, однако для простоты рассмотрения и обозначения оставим деление на степени свободы (уа) и (8). Согласно равд. 2.8, преобразование от [ уу [ к степеням свободы [ в;й ), основанное на традиционной матрице жесткости [йу), имеет вид ~ (~) = (1'а) (уу) (13.28) [1у! Г 1 '[ й1ое 1о Матрица преобразования [Га! используется теперь для преобразования обычной матрицы жесткости [йу) и геометрической матрицы 14 № 1647 13. Анализ устойчивости упругих тел 402 жесткости Щ. Имеем !й,]-]- ]й,](~)=о, (13.29) где (йг]=(Го]~!(су](Го] ° (]ту]=!Го] !(сх]!Га].
(13.29а, Ь) Собственное значение «т н соответствующая форма моды выпучива- ния выделяются из редуцированной системы (!3.29). Вопросы эф- фективности этой схемы будут описаны в дальнейшем. 13.3. Призматический элемент 13.3.1. Выпуинваниа прн изгиба Целью настоящих рассмотрений является преобразование энергии деформации (13.13) в явную формулировку для матрицы жесткости элемента посредством выбора функционального представления для ш. Точное представление для этого случая можно сформулировать, используя функцию перемещений, которая удовлетворяет соответствующему дифференциальному уравнению !!3.1].
Однако, стремясь, как обычно, при конечно-элементном анализе выбрать простое аппроксимирующее поле перемещений, альтернативно выберем (при $=х/Е) поле перемещений для изгибаемого элемента без осевой нагрузки (см. (5.14а)). Имеем нг= ] (1 — Зсот+2$о) (3$т — 2Р) (1 — 2~+во) х Я вЂ” ~о) х ] т т Использование выписанного выражения в (13.13) приводит к хорошо известному представлению для базисной изгибной матрицы Щ, задаваемой выражением (5,17), а также к следующей явной форме для матрицы (]44]: нг, та 0 0 36: (Симметрично) л„— 36 36 1 41 зи. Зй Зй 4Хт:.
', — Зй ЗŠ— Е,' 4Е' (13.30) В качестве примера применения инкрементальной матрицы жесткости при решении задач о потере устойчивости балок найдем критическую силу для изображенной на рис. !ЗА простой балки, используя один элемент. Здесь нгт=йт=О, Р„= — Р,, (.=тт2.
По- ааз 13.3. Прнаматнчесинй ваемент этому характеристическое уравнение примет вид решая которое получаем Р„=9.9чЕ111а. Зто решение лишь на 0.752ай отличается от точного решения иа(Е11!а1. Йвалалелав Р . 1ЗА. На рис. 13.5 представлена ошибка в процентах при решении этой задачи как функция от числа элементов разбиения. Для сравнения приведены соответствующие результаты для конечно-разностного решения 113.21. Пониженная точность конечно-разностного решения вызвана допущением линейного изменения тв между узлами по сравнению с принимаемым здесь кубическим характером и 1 О 2 4 а З 1О Числа ааеаеапта Рнс.
1З.з. Характериспчки сходиности методов — выпучиваиие колонны Эйлера. 14* 13. Анализ устойчивости упругих тел изменения. Заметим, однако, что конечно-разностные уравнения используют только одну степень свободы в каждом узле, а именно прогиб 2в. На рис. 13.6 изображен рафик зависимости ошибки в процентах от числа элементов в представлении при определении критической нагрузки суживающейся консольной балки. Сплошной линией Ь =и, (-,)" пт 1— Се пенне А-А Рппппнып нпннпнйна пнныйпнпнепне-, в ЯЯ1- - — — -и нне унена пнепгеннтпп Π— 2 и -6 чи -8 -~о — 16 Рис. 13.6. Характеристики сколимости методов — устойчивость суитавииейси балки изображен график для ступенчатого представления 113.31, в котором для задания элемента используются геометрические характеристики в центре элемента.
Следует отметить два аспекта, касающиеся полученных решений. Во-первых, точность решений при любой мелкости сетки строго меньше, чем для балки постоянного сечения. Во-вторых, решения для ступенчатого разбиения сходятся к точному решению снизу в отличие от решений для суживаюшихся элементов. Таким образом, становится очевидным, что более гибкая ! 3.3. Призматический злемеит 405 геометрическая аппроксимация оказывается более важной по сравнению с аппроксимацией в конечно-элементном представлении функции перемещений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
